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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-2-1 双曲线及其标准方程


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
2.2 双曲线

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 1 课时 双曲线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第二章

2.2

第1课时

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课程目标解读

第二章

2.2

第1课时

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1.了解双曲线的定义,会推导双曲线的标准方程. 2.会用待定系数法求双曲线的标准方程.

第二章

2.2

第1课时

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重点难点展示

第二章

2.2

第1课时

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本节重点:双曲线的定义及其标准方程. 本节难点:双曲线标准方程的推导.

第二章

2.2

第1课时

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学习要点点拨

第二章

2.2

第1课时

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1.对于双曲线定义的理解,要抓住双曲线上的点所要满 足的条件,即双曲线上点的几何性质,可以类比椭圆的定义来 理解. 还要注意到对“定值”的限定. 即定值大于零且小于|F1F2|. 这样就能避免两种特殊情况,即:“当定值等于|F1F2|时,轨迹 是两条射线;当定值大于|F1F2|时,点不存在.”

第二章

2.2

第1课时

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2.类比椭圆标准方程的推导方法,建立适当坐标系,推 导出双曲线的标准方程,但要注意在椭圆标准方程推导中,是 令 b2=a2-c2,而在双曲线标准方程的推导过程中,是令 b2= c2-a2. 3.用待定系数法求双曲线方程 (1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下 ①确定焦点位置:根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还 是在 y 轴上,还是两坐标轴都有可能.

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 y2 ②确定方程的形式: 根据上述判断设方程为a2-b2=1 或a2 x2 -b2=1(a>0,b>0). ③确立参数的关系式:根据已知条件列出关于 a、b、c 的 方程组. ④解方程组:解上述方程组,得到参数 a、b、c 的值,代 入所设方程即为所求.

第二章

2.2

第1课时

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(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时, 应先判断焦点 所在位置,不能确定时应分类讨论. 在求过两定点的椭圆方程时,我们曾经将椭圆方程设为 mx2+my2=1(m>0,n>0)以简化运算,同理求经过两定点的双 曲线方程也可设为 mx2+ny2=1,但这里应有 m· n<0.

第二章

2.2

第1课时

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4.在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线 上的点到焦点距离问题中的作用,同样在双曲线中也应注意定 义的应用. 已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题,往往利用 正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式. 5.在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看 x2、 y2 项分母的大小,而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴 上,是看 x2,y2 系数的符号.

第二章

2.2

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.2

第1课时

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1.在平面内到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于定 值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______. 双曲线 这两个定点

焦点 焦距 叫做双曲线的_____,两焦点之间的距离叫做双曲线的____.
2.在双曲线的定义中,条件 0<2a<|F1F2|不应忽视,若 2a

两条射线 =|F1F2|,则动点的轨迹是_________;若 2a>|F1F2|,则动点的 不存在 轨迹是__________.

第二章

2.2

第1课时

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绝对值 3.双曲线定义中应注意关键词“________”,若去掉定 绝对值 双曲线一支 义中“________”三个字,动点轨迹只能是______________.
x2 y2 4.焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, a b y2 x2 b>0),焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 a2-b2=1(a>0, b>0).

a +b =c 5.在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为__________.

2

2

2

第二章

2.2

第1课时

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6.对比是学习数学中常用的有效的学习方法,应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识,深化对新知识的理解的作 用,也能有效的解决知识的混淆.在学习双曲线知识时,要时 时留意与椭圆进行对比. 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.

第二章

2.2

第1课时

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椭圆 定义|MF1|+|MF2|=2a 因为 a>c>0, 所以令 a2-c2=b2(b>0) x2 y2 y2 x2 + =1 或 2+ 2=1 a2 b 2 a b (a>b>0)

双曲线 定义|MF1|-|MF2|=± 2a 因为 0<a<c, 所以令 c2-a2=b2(b>0) x2 y2 y2 x2 - =1 或 2- 2=1 a2 b2 a b (a>0,b>0,a 不一定大于 b)

第二章

2.2

第1课时

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课堂典例讲练

第二章

2.2

第1课时

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

待定系数法求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双曲线过点(3,

9 -4 2)和(4,5),求双曲线的标准方程; x2 y2 (2)求与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双 曲线方程.

第二章

2.2

第1课时

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[分析]

可先设出双曲线的标准方程,再构造关于 a、b 的

方程组,求得 a、b,从而求得双曲线的标准方程.注意对平方 关系 c2=a2+b2 的运用.

第二章

2.2

第1课时

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[解析] b>0),

y2 x2 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0, a b

?32 9 ? a2 -b2=1 则? ?25- 81 2=1 2 ? a 16b

?a2=16 ? ,解得? 2 ?b =9 ?

.

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 (2)解法一:设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意 易求得 c=2 5. 又双曲线过点(3 2,2), ?3 2?2 4 ∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2, ∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4, x2 y2 ∴所求双曲线方程为12- 8 =1.

第二章

2.2

第1课时

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[点评]

求双曲线标准方程的步骤:

(1)定位置:根据双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种 都有可能; x2 y2 y2 x2 (2)设方程:根据焦点位置,设方程为a2-b2=1 或a2-b2= 1(a>0,b>0),焦点不定时,亦可设为 mx2+ny2=1(m· n<0); (3)寻关系:根据已知条件列出关于 a、b(或 m、n)的方程 组; (4)得方程:解方程组,将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设 方程即为所求.
第二章 2.2 第1课时

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求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),经过点 A(-5,6); x2 y2 (2)与椭圆16+25=1 共焦点,且过点(-2, 10).

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

(1)解法一:由已知得,c=6,且焦点在 y 轴上,

则另一焦点坐标是(0,6). 因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a,即 2a=| ?-5?2+?6+6?2- ?-5?2+?6-6?2| =|13-5|=8, 得 a=4,b2=c2-a2=62-42=20. y2 x2 因此,所求的双曲线标准方程是 - =1. 16 20

第二章

2.2

第1课时

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解法二:由焦点坐标知 c=6,∴a2+b2=36, y2 x2 ∴双曲线方程为 2- =1. a 36-a2 ∵双曲线过点 A(-5,6), 36 25 ∴ a2 - =1,∴a2=16,b2=20. 36-a2 y2 x2 双曲线方程为16-20=1.

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 (2)由16+25=1 知焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). y2 x2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则有 a b ?10 4 ? 2 - 2=1 ?a b ,∴a2=5,b2=4. ?a2+b2=9 ? y2 x2 ∴所求的双曲线的方程为 5 - 4 =1.

第二章

2.2

第1课时

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命题方向

双曲线的定义

[例 2]

已知两定点 F1(-3,0)、F2(3,0),在满足下列条件 )

的平面内动点 P 的轨迹中,是双曲线的是( A.||PF1|-|PF2||=5 C.||PF1|-|PF2||=7

B.||PF1|-|PF2||=6 D.||PF1|-|PF2||=0

第二章

2.2

第1课时

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[解析] A 中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故 运点 P 的轨迹是双曲线; B 中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,∴动点 P 的轨迹是以 F1 或 F2 为端点的射线(含端点); C 中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,∴动点 P 的轨迹不存在; D 中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直 平分线的性质, 动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线, 故选 A.
[答案] A

第二章

2.2

第1课时

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[点评]

注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条

件,其依据是“三角形两边之差小于第三边”.实际上, (1)若 2a=|F1F1|,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知 识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以 F2 为端点的一条 射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以 F1 为端点的一 条射线;

第二章

2.2

第1课时

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(2)若 2a>|F1F2|, 即||PF1|-|PF2||>|F1F2|, 则与“三角形两边 之差小于第三边”相矛盾,故动点轨迹不存在; (3)特别的当 2a=0 时,|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线 的性质,动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 P 是双曲线64-36=1 上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦 点,且|PF1|=17,则|PF2|的值为________.

[答案] 33

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

x2 y2 在双曲线 - =1 中,a=8,b=6,故 c=10. 64 36

由 P 是双曲线上一点得,||PF1|-|PF2||=16. ∴|PF2|=1 或|PF2|=33. 又|PF2|≥c-a=2,∴|PF2|=33.

第二章

2.2

第1课时

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建模应用引路
命题方向 曲线类型的讨论

[例 3]

已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同

范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型. [分析] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的

系数应满足的条件进行分类讨论.

第二章

2.2

第1课时

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[解析] 线;

(1)当 k=0 时,y=± 2,表示两条与 x 轴平行的直

(2)当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点,半径 为 2 的圆; y2 x2 (3)当 k<0 时,方程为 - =1,表示焦点在 y 轴上的双 4 4 - k 曲线;

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 (4)当 0<k<1 时,方程为 4 + 4 =1,表示焦点在 x 轴上的椭 k 圆; x2 y2 (5)当 k>1 时, 方程为 4 + 4 =1, 表示焦点在 y 轴上的椭圆. k

第二章

2.2

第1课时

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[点评]

解决这类题的基本方法是分类讨论,在分类讨论

的过程中应做到不重不漏,选择适当的分界点.在讨论过程中 应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征.

第二章

2.2

第1课时

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(2012~2013 学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)讨论方程 x2 y2 + =1(m<3)所表示的曲线类型. 5-m 2-m

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

x2 当 2<m<3 时,5-m>0,2-m<0,此时方程 + 5-m

y2 =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线;当 m<2 时,5-m>2- 2-m x2 y2 m>0,此时方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆. 5-m 2-m

第二章

2.2

第1课时

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探索延拓创新
命题方向
[例 4]

双曲线的焦点三角形问题
x2 y2 若 F1、F2 是双曲线 9 -16=1 的两个焦点,P 在双

曲线上,且|PF1|· 2|=32,求∠F1PF2 的大小. |PF

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

由双曲线的对称性,可设点 P 在第一象限,

由双曲线的方程,知 a=3,b=4,∴c=5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6. 上式两边平方, 得|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· 2|=36+64 |PF =100, 由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|· 2| |PF 100-100 =2|PF |· |=0. 1 |PF2 ∴∠F1PF2=90° .
第二章 2.2 第1课时

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[点评]

在焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双曲线

的定义等是经常使用的知识点.另外,还经常结合|PF1|-|PF2| =2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|· 2|的联系,请同学们 |PF 多加注意.

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 设 P 为双曲线 - =1 上一点,F1、F2 该双曲线的两个 16 9 焦点,若∠F1PF2=60° ,求△PF1F2 的面积.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

x2 y2 由方程 - =1,得 a=4,b=3,故 c= 16+9 16 9

=5,∴|F1F2|=2c=10. 又由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=8,两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=64. ① 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60° ,即 |PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100. ② ①-②,得|PF1||PF2|=36, 1 1 3 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|sin60° ×36× =9 3. = 2 2 2
第二章 2.2 第1课时

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名师辨误做答

[例 5] 的值. [错解]

已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),求 k

x2 y2 将双曲线方程化为标准方程 1 - 8 =1.因为焦点在 y k k
2

8 2 1 轴上, 所以 a = , = , b 所以 c= a2-b2= k k 7 9,所以 k= . 9

8 1 7 - =3, = 即 k k k

第二章

2.2

第1课时

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[辨析]
2

上述解法有两处错误:一是 a2、b2 确定错误,应

8 2 1 该是 a =- ,b =- ;二是 a、b、c 的关系式用错了.在双 k k 曲线中应为 c2=a2+b2.

第二章

2.2

第1课时

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[正解]

k 2 x2 y2 将双曲线方程化为 kx2- y =1, - =1.因为 即 8 1 8 k k
2

8 2 一个焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a =- ,b k 1 8 1 9 2 2 2 =-k,所以 a +b =-k- k=-k=c =9.所以 k=-1.

第二章

2.2

第1课时

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课堂巩固练习

第二章

2.2

第1课时

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一、选择题 1.(2012~2013 学年度湖南益阳市一中高二期末测试)双曲线 方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( 2 5 A.( 2 ,0) B.( 2 ,0) 6 C.( ,0) D.( 3,0) 2
[答案] C

)

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

y2 双曲线方程 x2-2y2=1 化为 x2- 1 =1, 2
2

1 ∴a =1,b =2,
2

3 6 ∴c =a +b = ,∴c= , 2 2
2 2 2

6 ∴双曲线的右焦点坐标为( 2 ,0).

第二章

2.2

第1课时

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2.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

)

[答案]

D

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

y2 x2 方程 mx2-my2=n 可化为: n - n =1, - - m m

n ∵mn<0,∴-m>0, ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.

第二章

2.2

第1课时

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3.双曲线的两焦点坐标是 F1(3,0)、F2(-3,0),b=2,则双曲 线的标准方程是( )

x2 y2 y2 x2 A. 5 - 4 =1 B. 5 - 4 =1 x2 y2 x2 y2 C. 3 - 2 =1 D. 9 -16=1

[答案]

A

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

由题意得,双曲线的焦点在 x 轴上,c=3,b=2,∴

x2 y2 a2=c2-b2=5,故双曲线的标准方程为 5 - 4 =1.

第二章

2.2

第1课时

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二、填空题 y2 2 4.双曲线 2 -x =1 的两个焦点坐标是________.

[答案]
[解析]

(0,± 3)
a2=2,b2=1,c2=3,∴c= 3,又焦点在 y 轴上,

所以两焦点坐标为(0,± 3).

第二章

2.2

第1课时

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x2 y2 5.方程 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 k+2 k-6 ________.

[答案]

(-2,6)

[解析]

由条件知(k+2)(k-6)<0,∴-2<k<6.

第二章

2.2

第1课时

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三、解答题 6.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在 x 轴上,c= 6且经过点(-5,2); 15 16 (2)过 P(3, 4 )和 Q(- 3 ,5)两点.

第二章

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[解析]

x2 y2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意得

?25 4 ? 2 - 2=1 ?a b , ?a2+b2=6 ? 解之得 a2=5,b2=1, x2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 5

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(2)设双曲线方程为 Ax2+By2=1(AB<0),由题意得 225 ? ?9A+ 16 B=1 ? ?256A+25B=1 ? 9 1 ? ?A=-16 ,解之得? ?B=1 9 ?

.

y2 x2 ∴所求双曲线方程为 9 -16=1.

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