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第3讲 三角函数的图象与性质


第3讲 【2013 年高考会这样考】 三角函数的图象与性质 1.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用. 2.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值 域、求单调区间等问题中的应用. 【复习指导】 1.掌握正弦,余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过 三角函数的图象研究其性质. 2.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数

学思想方法的运用. 基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ? (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ? 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x y=cos x y=tan x R R π {x|x≠kπ+2,k∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R π 对称轴:x=kπ+2(k 对称性 ∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 对称轴:x=kπ(k∈ Z) 对称中心: π ? ? ?kπ+2,0??k∈Z? ? ? 无对称轴 ?kπ ? 对称中心:? 2 ,0?(k ? ? ∈Z) 周期 2π 单调增区间 π π? ? ?2kπ-2 , 2kπ+ 2?(k ? ? 2π π 单调性 ∈Z); 单调减区间 π 3π? ? ?2kπ+2 ,2kπ+ 2 ? ? ? (k∈Z) π ? 单调增区间?kπ-2 , ? π,2kπ](k∈Z);单 调减区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z) π? kπ+ 2?(k∈Z) ? 单调增区间[2kπ- 奇偶性 奇 偶 奇 两条性质 (1)周期性 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|, y=tan(ωx+φ)的最小 π 正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y =Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根 据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 双基自测 ? π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+3?,x∈R( ? ? A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C ?π ? 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ? ? ? ? ? ? ? π A.?x?x≠kπ-4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ). ). ? ? ? π B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? 答案 A π? ? 3.(2011· 全国新课标)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小

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