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高中数学 4.2.1 直线与圆的位置关系教案 新人教A版必修2


甘肃省永昌县第一中学高中数学 4.2.1 直线与圆的位置关系学案新 人教 A 版必修 2 学习目标 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3) 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 学习重点 直线与圆 的位置关系的几何图形及其判断方法. 学习难点 用 坐标法判直线与圆的位置关系。 教学设计 一、目标展示 二、自主学习 2 2 2 2 2 直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)与圆(x-a) +(y-b) =r (r>0)的位置关系及判断方法 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 几何法:设圆心到直线的距离 |Aa+Bb+C| 判 d= A2+B2 定 方 代数法:由 法 法 ? ?Ax+By+C=0, ? 2 ? x-a + y-b ? =r 消元得到一元二次方程,判别式为 Δ 图形 2 2 三、合作探究 1.过平面 内一点 P 可作几条圆的切线? 2.如何用几何法计算过圆外一点向圆引的切线长? 3.直线和圆相交时,弦长、弦心距和半径三者之间满足什么关系? 四、精讲点拨 2 2 [例 1] 已知圆 x +y =2 和直线 y=x+b,当 b 为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点;(2)只有一个公共点; (3)没有公共点. ————— —————————————————————————— 直线与圆的位置关系的判定方法: (1)代数法:将直线 l 和圆 C 的方程联立 ?Ax+By+C=0, ? ? 2 2 ?x +y +Dx+Ey+F=0. ? 可以用消元法将方程组转化为一个关于 x(或 y)的一元二次方程,其判别式为 Δ ,①若 Δ <0,则直线与圆相离;②若 Δ =0,则直线与 圆相切;③若 Δ >0,则直线与圆相交. 2 2 2 (2)几何法:如果直线 l 和圆 C 的方程分别是:Ax+By+C=0,(x-a) +(y-b) =r . |Aa+Bb+C| 可以用圆心 C(a, b)到直线 l 的距离 d= 与半径 r 的大小关系来判断直线与圆的 A2+B2 位置关系:①直线与圆相交?d<r;②直线与圆相切?d=r;③直线与圆相离?d>r. ——————— —————————————————————————————— 1. 若直线 4x-3y+a=0 与圆 x +y =100:①相交;②相切;③相离,试分别求实数 a 的取值范围. 2 2 [ 例 2] 设圆上的点 A(2 ,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且圆与直线 x -y+1=0 相交所得的弦长为 2 2,求此圆的方程. 将本例 中“与直线 x- y+1=0 相交的弦长为 2 2,”变为“与直线 x-y+1=0 在 A 点相切,”则圆的方程如何? ————— —————————————————————————— 1.求圆的切线一般有三种方法 (1)设切线斜率.利用圆心到直线距离等于半径求出斜率. (2)设切点, 利用切线的性质解出切点坐标, 由直线方程的两点式写出直线方程. (3)设切线斜率,利用判别式等于零解出斜率. 2.直线与圆相交时,弦长的求法如图,直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,设弦心距 |AB| 2 2 2 为 d,圆的半径为 r,弦长为|AB|,则有( ) + d =r . 2 即|AB|=2 r -d . ————————————————————————————————————— 2.自点 P(-6,7)发出的光线 l 射到 x 轴上点

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