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19、函数的模型及应用


柳林联盛中学数学一轮复习学案

编写人:李宝林

刘辉

第 14 讲:函数模型及其应用
◆考纲要求: 1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数 增长等不同的函数类型增长的含义. 2、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使 用的函数模型)的广泛应用. ◆基础复习: 1、函数模型:以下是一些常用函数模型 (1)一次函数模型: (2)二次函数模型: (3)指数函数模型: f ( x) ? a ? b x ? c(a, b, c为常数, a ? 0, b ? 0, b ? 1) (4)对数函数模型: f ( x) ? m ? loga x ? n(m, n, a为常数, m ? 0, a ? 0, a ? 1) (5)幂函数模型: f ( x) ? a ? xn ? b(a, b, n为常数, a ? 0, n ? 1) (6)分段函数模型. 2、三种增长型函数模型的性质: 在(0,+ ? )上, y ? a (a ? 1) 、 y ? loga x(a ? 1) 、 y ? x ? (? ? 0) 都是
x

函数, 但它们的增长速度不同.

的增长速度较快;

的增长

速度较慢;因此,总会存在一个数 x0 ,当 x ? x0 时,有 3、函数模型应用;解答应用题步骤: ① ② ③ ④

◆问题探究: 问题 1: (一次、二次函数、分段函数模型模型的应用) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知, 从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与 上市时间的关系用图中(1)的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图中(2) 的抛物线表示. (1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ; 写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t) ;

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

1

柳林联盛中学数学一轮复习学案

编写人:李宝林

刘辉

问题 2: (函数模型选择的应用) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品, 估计能获得 10 万元~1000 万元 的投资收益.现准备制定一个队科研课题组的奖励方案:资金 y(单位:万元) 随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金 不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数模型制定奖励方案, 试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基 本要求;

(2)现有两个奖励函数模型:① f ( x) ?

x ? 2 ;② f ( x) ? 4 lg x ? 3 ; 150

试分析这两个函数模型是否符合公司要求?

◆纠错思考: 1、因为指数模型增长速度比幂函数模型快,故 2 ? x 对于 x ? R 都成立.(
x 2



2、 2 ? log2 x 对于 x ? (0,??) 恒成立.(
x



◆练习反馈: 1.下列函数中,随 x 的增大而增大速度最快的是 ( )

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行 驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是( )

3.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税外还要征收附加税,已知某种酒 2

柳林联盛中学数学一轮复习学案

编写人:李宝林

刘辉

每瓶售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶,若每销售 100 元国家要征 附加税为 x 元(税率 x%),则每年销售量减少 10x 万瓶,为了要使每年在此项经营中 收取的附加税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为( A.2 B.6 C.8 D.10 )

4.水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、乙所示,某天 0 点到 6 点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口) :

给出以下 3 个论断:(1)0 点到 3 点只进水不出水;(2)3 点到 4 点不进水只出水; (3)4 点到 6 点不进水也不出水。则一定正确的论断是

3


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