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3.1.1两角差的余弦公式


3.1.1两角差的余弦公式

两个向量的数量积

温 故 知 新

a ? b ? a b cosθ 其中θ ∈[0,π ]

a ? ?x1 , y1 ?

b ? ?x2 , y2 ?

a ? b ? x1x2 ? y1y2

两角

差的余弦公式 问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、 余弦来表示cos(α -β )? 思考:你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?

??? ? OA ? ? cosα ,sinα ?

??? ? OB ? ? cosβ , sinβ ?
y

OA? OB ? OA OB cos(? ? ? )
? cos(? ? ? )
∵ OA? OB
A

1
α -β B β 1 x

α
-1 o

? cos? cos ? ? sin ? sin ?

-1



cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考:以上推导是否有不严谨之处?
当α -β 是任意角时,由诱导公式总可以找到 一个角θ ∈[0,2π ),使cosθ =cos(α -β ) 若θ ∈[0,π ],则 OA? OB ? cos? ? cos(? ? ? )
若θ ∈[π ,2π ),则2π -θ ∈[0,π ],且

OA? OB ? cos(2π –θ )=cosθ =cos(α -β )

对于任意角

α , β

结 cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ 论 归 差角的余弦公式 ? ? C 纳
α β

注意:1.公式的结构特点;
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦,就 可以求出cos(α-β)

cos( α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ

学 以 致 用

例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 ? cos 45 ? 30
? ?
? ?

?

? ? cos15 ? cos ? 60 ? 45 ?
?
?

思考:你会求 sin 75 的值吗?

?

cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ

学 以 致 用

3 ? ? ? cos ? ? ?α ? 例2.已知 cosα = - α ? ? ,? ?求 ? ? 的值. ?4 ? 5 ?2 ?

3 ?? ? 解: ∵ cosα = - α ? ? , ? ? 5 ?2 ?


cos(

4 sinα = 1 ? cos α ? 5 ? ? ?
2

4

-α ) ? cos

4 4 2 ? 3? 2 4 ? ??? ? ? ? 2 2 5 ? 5?
? 2 10

cosα + sin

sinα

cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ

学 以 致 用

4 ? ? ? cosβ = - 5 α ? ? ,? ?, , 例3.已知 sinα = , 13 5 ?2 ? β 是第三象限角,求cos(α -β )的值

cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ
1 ? 0 0 0 0 练习: 1. cos175 cos55 ? sin 175 sin 55 ? 2

2 2. cos(? ? 210 ) cos(? ? 240 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 240 ) ? 2

小结
两角差的余弦公式
对于任意角α ,β 都有

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 注意:1.公式的结构特点;
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦,就 可以求出cos(α-β).

作业:P137. 2、3 、4





cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ
思考题:已知 α ,β
5 cos ?α +β ? ? ? 13
4 都是锐角, cosα = , 5

求 cosβ 的值

α +β ? ?α 变角: β = ?
? cos??? ? ? ? ? ? ?

分析: cos?

?cosα ?sinα ? cos? α?β ? sin? α?β
5 4 12 3 ?? ? ? ? 13 5 13 5 16 ? 65


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