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1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象 (1)


(1)y=sinx与y=sin(x+?)的图象关系;
(2)y=sinx与y=sin?x的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(?x+?)的图象关系.

***复习回顾***

y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象
? 3? 关键点: (0,0),

( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y 1
O 1
?
2

?

3? 2

2?

x

1.y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系: ? ? 例1:试研究 y ? sin( x ? ), y ? sin( x ? ) 3 6 与 y ? sin x 的图象关系. y y ? sin x ? y ? sin( x ? ) 1 3 ?

?

?
2

O
?

y ? sin( x ? ) 6

?
3

? ? 2
6 2 3

?

?

3? 5? 2? 13? x 2 3 6

-1

一、函数y=sin(x+?)图象: 平移变换
函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? | 个单位

y=sinx

y=sin(x+?)

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

2.y=sin?x与y=sinx的图象关系:
1 例2:作函数 y ? sin 2 x及 y ? sin x的图象. 2
2x
0
0 ?
3? 2? 2 3? ? 4 1 x 2

x
y 1
O -1
? 4

?

2

?
?
2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

4

x
sin

? 1

2? 3? 4? 0 ?1

sin 2 x 0

1

0 ?1 0

1
2

0

0

? 2

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

间的变化关系. y 1

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

O

?
2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

二、函数y=sin?x(?>0)图象: 周期变换
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

3.y=Asinx与y=sinx的图象关系:

例3:作下列函数图象: y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2 y
2 1 O -1 -2
? 2

x sinx 2sinx
1 si n x 2

0 0 0 0

?
2
1 2
1 2

3? ? 2? 2
0
?1

0 0 0

0 ?2
1 0 ? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

三、函数y=Asinx(A>0)图象: 振幅变换
函数 y=Asinx(A>0且A?1) 的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. y=Asinx,x?R的值域是[-A, A], 最大值是A,最小值是-A.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变

A的大小决定这个函数的最大(小)值

例4:如何由 y ? sinx 变换得
y ? 3 sin ( 2x ?

?
3

) 的图象?

方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6

? ??
3

o
-1

6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y ? sin( x ? ) 3

y ? sin x

方法2:(按 ω,? , A 顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

? y ? sin( 2 x ? ) 3
7 ? 6

? ??
3

o
-1

6

? 6

? 3

2 5? 7 ? ? 12 3 6

?

5? 3

2?

x

-2 -3

y ? sin x ? ? ? ? y ? sin( 2 x ? ) ? sin ?2( x ? )? 3 6 ? ?
y ? sin 2 x

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω,? , A 顺序变换)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y ? A sin(?x ? ? ),其中A ? 0, ? ? 0
A:振幅 (运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2? T:周期T= ?
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 ) 1 ? f:频率f ? = T 2? (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )

?x ? ?:相位
x ? 0时的相位?称为初相

例5:图是某简谐运动的图象。 (1)这个简谐运动 y/cm A 2的振幅、周期与 0.4 B 频率各是多少? O
A ? 2 T ? 0.8 f ? 1.25
C

E 0.8 D 1.2 F

x/s

(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示 完成了一次往复运动?如从A点算起呢? (3)求这个简谐运动的函数表达式.

2? ? y ? 2 sin x ? 2 sin x, x ? ?0,?? ? 0.8 0.4

例6:已知函数y=Asin(?x+?)(?>0, A>0) 的图像如下: A ? 2
y 2
5? ? ? ? T? ??? ? ? ? 6 ? 6? 2? ?? ? 2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? ? (? ,0) ? 2(? ) ? ? ? 0 6 6 ? ? 5? x ?? ? 3 3 6

?

?
6

O

-2

求解析式?

? y ? 2 sin( 2 x ?

?

3

)

总结: y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ?x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

选择的点要认清其属“五点法”中的哪

? 一位置点,并能正确代人列式,求得

.

?? ? 0 ? “第二点”为: ? x0 ? ? ? 2 “第三点”为: ?x0 ? ? ? ? 3 ? “第四点”为: ?x0 ? ? ? 2 “第五点”为: ?x0 ? ? ? 2?
0

“第一点”为: ?x

练习1:如图,某地一天从6~14时的温 度变化曲线近似满足函数: T/度

y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
这段曲线对应的函数 是什么?

30 20 10

O

6

10

14

1 A ? ?30 ? 10 ? ? 10 ? 1 T ? 1 ? 2? ? 14 ? 6 ?? ? ? 2 2 2 ? 8 1 ? 3? 3? b ? ?30 ? 10 ? ? 20 (6,10) ? ? 6 ? ? ? ?? ? 2 8 2 4 ? 3? ? y ? 10 sin( x ? ) ? 20, x ? ?6,14 ? 8 4

t/h

练习2:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落
的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情

况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落
潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间

与水深关系表:
时刻

0

3

6

9

12

15

18

21

24

水深/米

5.0 7.5 5.0

2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0

求函数解析式?

时刻

0

3

6

9

12

15

18

21

24

水深/米

5.0 7.5 5.0

2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0

y 8 6 4 2

y ? A sin(?x ? ? ) ? b
1 5 A ? ?7.5 ? 2.5? ? 2 2 1 b ? ?7.5 ? 2.5? ? 5 2 ? ? ?0 T ? 12 ? ?
6 12 18 24
x

o

5 ? y ? sin x ? 5 2 6

6

【总一总★成竹在胸】
y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动

| ? | 个单位长度
横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?) y=sin?x y=Asinx

y=sinx y=sinx


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