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一次函数性质及应用典型例题


一次函数性质与应用典型例题
一.选择题(共 2 小题) 1. (2014?宜宾)如图,过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B,则这个一次函数的解析式 是( )

A.y=2x+3

B.y=x﹣3

C.y=2x﹣3

D.y=﹣x+3 )

2. (2014?武侯区一模)已知 y 是 x 的一次函数,下表中列出了部分对应值,则 m 等于( x 0 1 ﹣1 y 1 m ﹣5 A.﹣1 B.0 C.﹣2 D.

二.解答题(共 28 小题) 3. (2014?怀化)设一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象经过 A(1,3) 、B(0,﹣2)两点,试求 k,b 的值. 4. (2014?钦州)某地出租车计费方法如图,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象解答下列问题: (1)该地出租车的起步价是 _________ 元; (2)当 x>2 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)若某乘客有一次乘出租车的里程为 18km,则这位乘客需付出租车车费多少元?

5. (2014?大兴区二模)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=﹣4x+8 的图象分别与 x、y 轴交于点 A、B,点 P 在 x 轴的负半轴上,△ ABP 的面积为 12.若一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P 和点 B,求这个一次函数 y=kx+b 表达式.

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www.jyeoo.com 6. (2014?门头沟区二模)如图,直线 AB 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,点 A 的纵坐标、点 B 的横坐标如图 所示. (1)求直线 AB 的解析式; (2)点 P 在直线 AB 上,是否存在点 P 使得△ AOP 的面积为 1,如果有请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标.

7. (2013?密云县一模)如图,已知直线 L1 经过点 A(﹣1,0)与点 B(2,3) ,另一条直线 L2 经过点 B,且与 x 轴相交于点 P(m,0) . (1)求直线 L1 的解析式. (2)若△ APB 的面积为 3,求 m 的值. (提示:分两种情形,即点 P 在 A 的左侧和右侧)

8. (2013?湖州一模)如图一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(﹣1,3)和点 B(2,﹣3) . (1)求出这个一次函数的解析式; (2)求出当 x= 时的函数值; (3)直接写出 y>0 时 x 的取值范围.

9. (2014?湘西州)如图,一次函数 y=﹣x+m 的图象和 y 轴交于点 B,与正比例函数 y= x 图象交于点 P(2,n) . (1)求 m 和 n 的值; (2)求△ POB 的面积.

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10. (2014?湘潭)已知两直线 L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2,若 L1⊥ L2,则有 k1?k2=﹣1. (1)应用:已知 y=2x+1 与 y=kx﹣1 垂直,求 k; (2)直线经过 A(2,3) ,且与 y= x+3 垂直,求解析式.

11. (2014?河南)某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元,销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利 润为 3500 元. (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润; (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台,其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍,设购进 A 型 电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润为 y 元. ① 求 y 关于 x 的函数关系式; ② 该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0<m<100)元,且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台,若商店 保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案. 12. (2014?烟台)山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的 A 型车去年销售总 额为 5 万元,今年每辆销售价比去年降低 400 元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少 20%. (1)今年 A 型车每辆售价多少元?(用列方程的方法解答) (2)该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆,且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍,应如何 进货才能使这批车获利最多? A,B 两种型号车的进货和销售价格如下表: A 型车 B 型车 1100 1400 进货价格(元) 2000 销售价格(元) 今年的销售价格 13. (2014?聊城)甲、乙两车从 A 地驶向 B 地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶 2h,并且甲车途中 休息了 0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离 y(km)与时间 x(h)的函数图象. (1)求出图中 m,a 的值; (2)求出甲车行驶路程 y(km)与时间 x(h)的函数解析式,并写出相应的 x 的取值范围; (3)当乙车行驶多长时间时,两车恰好相距 50km.

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www.jyeoo.com 14. (2014?陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除收取每次 6 元的包装费外,樱桃不超过 1kg 收费 22 元,超过 1kg,则超出部分按每千克 10 元加收费用.设该公司从西安到 南昌快递樱桃的费用为 y(元) ,所寄樱桃为 x(kg) . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知小李给外婆快寄了 2.5kg 樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元? 15. (2014?营口)随着生活质量的提高,人们健康意识逐渐增强,安装净水设备的百姓家庭越来越多.某厂家从去 年开始投入生产净水器,生产净水器的总量 y(台)与今年的生产天数 x(天)的关系如图所示.今年生产 90 天后, 厂家改进了技术,平均每天的生产数量达到 30 台. (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前 90 天平均每天的生产数量相同,求厂家去年生产的天数; (3)如果厂家制定总量不少于 6000 台的生产计划,那么在改进技术后,至少还要多少天完成生产计划?

16. (2014?德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划 购进甲,乙两种节能灯共 1200 只,这两种节能灯的进价、售价如下表: 进价(元/只) 售价(元/只) 25 30 甲型 45 60 乙型 (1)如何进货,进货款恰好为 46000 元? (2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%,此时利润为多少元? 17. (2014?昆明)某校运动会需购买 A,B 两种奖品,若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件,共需 60 元;若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 3 件,共需 95 元. (1)求 A、B 两种奖品的单价各是多少元? (2)学校计划购买 A、B 两种奖品共 100 件,购买费用不超过 1150 元,且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品数量的 3 倍,设购买 A 种奖品 m 件,购买费用为 W 元,写出 W(元)与 m(件)之间的函数关系式.求出自变量 m 的取 值范围,并确定最少费用 W 的值. 18. (2014?黄冈)某地实行医疗保险(以下简称“医保”)制度.医保机构规定: 一:每位居民年初缴纳医保基金 70 元; 二:居民每个人当年治病所花的医疗费(以定点医院的治疗发票为准) ,年底按下列方式(见表一)报销所治病的 医疗费用: 居民个人当年治病所花费的医疗费 医疗费的报销方法 不超过 n 元的部分 全部由医保基金承担(即全部报销) 超过 n 元但不超过 6000 元的部分 个人承担 k%,其余部分由医保基金承担 超过 6000 元的部分 个人承担 20%,其余部分由医保基金承担 如果设一位居民当年治病花费的医疗费为 x 元,他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担部分和年初缴 纳的医保基金)记为 y 元. (1)当 0≤x≤n 时,y=70;当 n<x≤6000 时,y= _________ (用含 n、k、x 的式子表示) .

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www.jyeoo.com (2)表二是该地 A、B、C 三位居民 2013 年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用,根据表中的数据, 求出 n、k 的值. 表二: A B C 居民 800 1500 某次治病所花费的治疗费用 x(元) 400 70 190 470 个人实际承担的医疗费用 y(元) (3)该地居民周大爷 2013 年治病所花费的医疗费共 32000 元,那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元? 19. (2014?南充)今年我市水果大丰收,A、B 两个水果基地分别收获水果 380 件、320 件,现需把这些水果全部 运往甲、乙两销售点,从 A 基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件 40 元和 20 元,从 B 基地运往甲、乙两销 售点的费用分别为每件 15 元和 30 元,现甲销售点需要水果 400 件,乙销售点需要水果 300 件. (1)设从 A 基地运往甲销售点水果 x 件,总运费为 W 元,请用含 x 的代数式表示 W,并写出 x 的取值范围; (2)若总运费不超过 18300 元,且 A 地运往甲销售点的水果不低于 200 件,试确定运费最低的运输方案,并求出 最低运费. 20. (2014?甘孜州)已知某工厂计划用库存的 302m 木料为某学校生产 500 套桌椅,供该校 1250 名学生使用,该 厂生产的桌椅分为 A,B 两种型号,有关数据如下: 桌椅型 一套桌椅所坐学生 生产一套桌椅所需 一套桌椅的生产成 一套桌椅的运费(单位: 号 人数(单位:人) 木材(单位:m3) 本(单位:元) 元) A 2 0.5 100 2 B 3 0.7 120 4 设生产 A 型桌椅 x(套) ,生产全部桌椅并运往该校的总费用(总费用=生产成本+运费)为 y 元. (1)求 y 与 x 之间的关系式,并指出 x 的取值范围; (2)当总费用 y 最小时,求相应的 x 值及此时 y 的值. 21. (2014?咸宁)在“黄袍山国家油茶产业示范园”建设中,某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共 1000 株.已知乙 种树苗比甲种树苗每株贵 3 元,且用 100 元钱购买甲种树苗的株数与用 160 元钱购买乙种树苗的株数刚好相同. (1)求甲、乙两种油茶树苗每株的价格; (2)如果购买两种树苗共用 5600 元,那么甲、乙两种树苗各买了多少株? (3)调查统计得,甲、乙两种树苗的成活率分别为 90%,95%.要使这批树苗的成活率不低于 92%,且使购买树 苗的费用最低,应如何选购树苗?最低费用是多少? 22. (2014?仙桃)为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在江汉堤坡种植白杨树,现甲、乙两家林场有相同的 白杨树苗可供选择,其具体销售方案如下: 甲林场 乙林场 购树苗数量 销售单价 购树苗数量 销售单价 不超过 1000 棵时 4 元/棵 不超过 2000 棵时 4 元/棵 超过 1000 棵的部分 3.8 元/棵 超过 2000 棵的部分 3.6 元/棵 设购买白杨树苗 x 棵,到两家林场购买所需费用分别为 y 甲(元) 、y 乙(元) . (1)该村需要购买 1500 棵白杨树苗,若都在甲林场购买所需费用为 _________ 元,若都在乙林场购买所需费 用为 _________ 元; (2)分别求出 y 甲、y 乙与 x 之间的函数关系式; (3)如果你是该村的负责人,应该选择到哪家林场购买树苗合算,为什么? 23. (2014?泸州)某工厂现有甲种原料 380 千克,乙种原料 290 千克,计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件.已知生产一件 A 产品需要甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利 700 元;生产一件 B 产品需要甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元.设生产 A、B 两种产品总利润为 y 元,其中 A 种产品生产件数是 x.
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3

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www.jyeoo.com (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如何安排 A、B 两种产品的生产件数,使总利润 y 有最大值,并求出 y 的最大值. 24.在平面直角坐标系中,O 为原点. (1)点 A 的坐标为(3,﹣4) ,求线段 OA 的长; (2)点 B 的坐标为(2,2) ,点 C 的坐标为(5,6) ,求线段 BC 的长.

25.在 x 轴上有一点 P,它与点 A(0,3) 、B(4,﹣1)的距离相等,求点 P 的坐标? 26.在直角坐标系中,△ ABC 满足,∠ C=90°,AC=2,BC=1,点 A,C 分别在 x 轴、y 轴上,当 A 点从原点开始在 正 x 轴上运动时,点 C 随着在正 y 轴上运动. (1)当 A 在原点时,求原点 O 到点 B 的距离 OB; (2)当 OA=OC 时,求原点 O 到点 B 的距离 OB; (3)求原点 O 到点 B 的距离 OB 的最大值,并确定此时图形应满足什么条件? 27.已知平面上点 A(﹣1,4) ,B(11,12) ,P(﹣5,y) ,点 P 到点 A 和点 B 的距离相等,求 y 的值. 28.当 m 为何值时,点 P(3m﹣1,m﹣2)到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍?求出此时点 P 到原点的距离. 29. (2014?鼓楼区二模)计算:2 ﹣ + .

30. (2014?张家界)计算: (

﹣1) (

+1)﹣(﹣ ) +|1﹣

﹣2

|﹣(π﹣2) +

0



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2014 年 11 月 01 日 dfzx_zlp 的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 2 小题) 1. (2014?宜宾)如图,过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B,则这个一次函数的解析式 是( )

A.y=2x+3

B.y=x﹣3

C.y=2x﹣3

D.y=﹣x+3

考点: 待定系数法求一次函数解析式;两条直线相交或平行问题. 专题: 数形结合. 分析: 根据正比例函数图象确定 B 点坐标再根据图象确定 A 点的坐标,设出一次函数解析式,代入一次函数解析 式,即可求出. 解答: 解:∵ B 点在正比例函数 y=2x 的图象上,横坐标为 1, ∴ y=2×1=2, ∴ B(1,2) , 设一次函数解析式为:y=kx+b, ∵ 一次函数的图象过点 A(0,3) ,与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B(1,2) ,
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∴ 可得出方程组 解得 ,



则这个一次函数的解析式为 y=﹣x+3, 故选:D. 点评: 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,解决问题的关键是利用一次函数的特点,来列出方程组, 求出未知数,即可写出解析式. 2. (2014?武侯区一模)已知 y 是 x 的一次函数,下表中列出了部分对应值,则 m 等于( x 0 1 ﹣1 y 1 m ﹣5 A.﹣1 B.0 C.﹣2 D. )

考点: 待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征. 专题: 计算题. 分析: 设一次函数解析式为 y=kx+b,找出两对 x 与 y 的值代入计算求出 k 与 b 的值,即可确定出 m 的值.
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www.jyeoo.com 解答: 解:设一次函数解析式为 y=kx+b, 将 x=﹣1,y=1;x=1,y=﹣5 代入得: ,

解得:k=﹣3,b=﹣2, ∴ 一次函数解析式为 y=﹣3x﹣2, 令 x=0,得到 y=2, 则 m=﹣2, 故选 C 点评: 此题考查了待定系数法求一次函数解析式,以及一次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解 本题的关键. 二.解答题(共 28 小题) 3. (2014?怀化)设一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象经过 A(1,3) 、B(0,﹣2)两点,试求 k,b 的值. 考点: 待定系数法求一次函数解析式. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 直接把 A 点和 B 点坐标代入 y=kx+b,得到关于 k 和 b 的方程组,然后解方程组即可. 解答: 解:把 A(1,3) 、B(0,﹣2)代入 y=kx+b 得 ,
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解得



故 k,b 的值分别为 5,﹣2. 点评: 本题考查了待定系数法求一次函数解析式: (1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设 y=kx+b; (2)将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或 方程组; (3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式. 4. (2014?钦州)某地出租车计费方法如图,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象解答下列问题: (1)该地出租车的起步价是 7 元; (2)当 x>2 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)若某乘客有一次乘出租车的里程为 18km,则这位乘客需付出租车车费多少元?

考点: 待定系数法求一次函数解析式. 分析: (1)根据函数图象可以得出出租车的起步价是 7 元; (2)设当 x>2 时,y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b,运用待定系数法就可以求出结论; (3)将 x=18 代入(2)的解析式就可以求出 y 的值. 解答: 解: (1)该地出租车的起步价是 7 元;
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(2)设当 x>2 时,y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b,代入(2,7) 、 (4,10)得

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www.jyeoo.com 解得

∴ y 与 x 的函数关系式为 y= x+4;

(3)把 x=18 代入函数关系式为 y= x+4 得 y= ×18+4=31. 答:这位乘客需付出租车车费 31 元. 点评: 此题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,由函数值求自变量的值的运用,解答时理解函数图象 是重点,求出函数的解析式是关键. 5. (2014?大兴区二模)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=﹣4x+8 的图象分别与 x、y 轴交于点 A、B,点 P 在 x 轴的负半轴上,△ ABP 的面积为 12.若一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P 和点 B,求这个一次函数 y=kx+b 表达式.

考点: 待定系数法求一次函数解析式. 专题: 计算题. 分析: 对于一次函数 y=﹣4x+8,分别令 y 与 x 为 0 求出 x 与 y 的值,确定出 A 与 B 坐标,根据三角形 PAB 面积 求出 AP 的长,确定出 P 坐标,将 P 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值,即可确定出一次函数解析式. 解答: 解:对于一次函数 y=﹣4x+8, 令 y=0,得 x=2,∴ A 点坐标为(2,0) 令 x=0,得 y=8,∴ B 点坐标为(0,8) , ∵ S△APB=12,
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∴ ?AP?8=12,即 AP=3, ∴ P 点的坐标分别为 P1(﹣1,0)或 P2(5,0) , ∵ 点 P 在 x 轴的负半轴上, ∴ P(﹣1,0) , ∵ 一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P 和点 B, ∴ 将 P 与 B 坐标代入得: 解得: , ,

∴ 这个一次函数 y=kx+b 的表达式为 y=8x+8. 点评: 此题考查了待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 6. (2014?门头沟区二模)如图,直线 AB 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,点 A 的纵坐标、点 B 的横坐标如图 所示.
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www.jyeoo.com (1)求直线 AB 的解析式; (2)点 P 在直线 AB 上,是否存在点 P 使得△ AOP 的面积为 1,如果有请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标.

考点: 待定系数法求一次函数解析式;三角形的面积. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意确定出 A 与 B 的坐标,设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0) ,将 A 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值,即可确定出直线 AB 解析式; (2)设 P 横坐标为 a,三角形 AOP 以 OA 为底边,a 的绝对值为高,表示出三角形 APO 面积,根据已知 面积求出 a 的值,即可确定出的坐标. 解答: 解: (1)根据题意得,A(0,2) ,B(4,0) , 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0) ,
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∴ 直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+2; (2)设 P 横坐标为 a, 根据题意得:S△AOP= OP?|a|=|a|=1, 解得:a=1 或 a=﹣1, 则 P 坐标为(1,1.5)或(﹣1,2.5) . 点评: 此题考查了待定系数法求一次函数解析式,以及三角形面积,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 7. (2013?密云县一模)如图,已知直线 L1 经过点 A(﹣1,0)与点 B(2,3) ,另一条直线 L2 经过点 B,且与 x 轴相交于点 P(m,0) . (1)求直线 L1 的解析式. (2)若△ APB 的面积为 3,求 m 的值. (提示:分两种情形,即点 P 在 A 的左侧和右侧)

考点: 待定系数法求一次函数解析式. 专题: 分类讨论;待定系数法. 分析: (1)设直线 L1 的解析式为 y=kx+b,由题意列出方程组求解;
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www.jyeoo.com (2)分两种情形,即点 P 在 A 的左侧和右侧分别求出 P 点坐标,再求解. 解答: 解: (1)设直线 L1 的解析式为 y=kx+b, ∵ 直线 L1 经过点 A(﹣1,0)与点 B(2,3) , ∴ 解得 , .

所以直线 L1 的解析式为 y=x+1. (2)当点 P 在点 A 的右侧时,AP=m﹣(﹣1)=m+1, 有 S△APB= ×(m+1)×3=3, 解得:m=1. 此时点 P 的坐标为(1,0) . 当点 P 在点 A 的左侧时,AP=﹣1﹣m, 有 S△APB= ×|﹣m﹣1|×3=3, 解得:m=﹣3, 此时,点 P 的坐标为(﹣3,0) . 综上所述,m 的值为 1 或﹣3. 点评: 本题要注意利用一次函数的特点,列出方程组,求出未知数求得函数解析式;利用 P 点坐标求三角形的面 积. 8. (2013?湖州一模)如图一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(﹣1,3)和点 B(2,﹣3) . (1)求出这个一次函数的解析式; (2)求出当 x= 时的函数值; (3)直接写出 y>0 时 x 的取值范围.

考点: 待定系数法求一次函数解析式;一次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)将 A 与 B 两点坐标代入一次函数解析式得到关于 k 与 b 的方程组,求出方程组的解得到 k 与 b,即可 确定出一次函数解析式; (2)将 x 的值代入一次函数解析式即可求出对应函数值; (3)令 y 大于 0 列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集即可得到 x 的范围. 解答: 解: (1)将 A 与 B 代入一次函数解析式得: ,
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解得:



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www.jyeoo.com 则一次函数解析式为:y=﹣2x+1; (2)将 x= 代入一次函数解析式得:y=﹣2× +1=﹣2; (3)由题意得到﹣2x+1>0, 解得:x< . 点评: 此题考查了待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

9. (2014?湘西州)如图,一次函数 y=﹣x+m 的图象和 y 轴交于点 B,与正比例函数 y= x 图象交于点 P(2,n) . (1)求 m 和 n 的值; (2)求△ POB 的面积.

考点: 两条直线相交或平行问题;二元一次方程组的解. 专题: 计算题;代数几何综合题. 分析: (1)先把 P(2,n)代入 y= x 即可得到 n 的值,从而得到 P 点坐标为(2,3) ,然后把 P 点坐标代入 y=
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﹣x+m 可计算出 m 的值; (2)先利用一次函数解析式确定 B 点坐标,然后根据三角形面积公式求解. 解答: 解: (1)把 P(2,n)代入 y= x 得 n=3, 所以 P 点坐标为(2,3) , 把 P(2,3)代入 y=﹣x+m 得﹣2+m=3,解得 m=5, 即 m 和 n 的值分别为 5,3; (2)把 x=0 代入 y=﹣x+5 得 y=5, 所以 B 点坐标为(0,5) , 所以△ POB 的面积= ×5×2=5. 点评: 本题考查了两条直线相交或平行问题:若直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2 平行,则 k1=k2;若直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2 相交,则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标. 10. (2014?湘潭)已知两直线 L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2,若 L1⊥ L2,则有 k1?k2=﹣1. (1)应用:已知 y=2x+1 与 y=kx﹣1 垂直,求 k; (2)直线经过 A(2,3) ,且与 y= x+3 垂直,求解析式.

考点: 两条直线相交或平行问题. 专题: 代数综合题. 分析: (1)根据 L1⊥ L2,则 k1?k2=﹣1,可得出 k 的值即可; (2)根据直线互相垂直,则 k1?k2=﹣1,可得出过点 A 直线的 k 等于 3,得出所求的解析式即可. 解答: 解: (1)∵ L1⊥ L2,则 k1?k2=﹣1, ∴ 2k=﹣1,
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www.jyeoo.com ∴ k=﹣ ;

(2)∵ 过点 A 直线与 y=

x+3 垂直,

∴ 设过点 A 直线的直线解析式为 y=3x+b, 把 A(2,3)代入得,b=﹣3, ∴ 解析式为 y=3x﹣3. 点评: 本题考查了两直线相交或平行问题,是基础题,当两直线垂直时,两个 k 值的乘积为﹣1. 11. (2014?河南)某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元,销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利 润为 3500 元. (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润; (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台,其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍,设购进 A 型 电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润为 y 元. ① 求 y 关于 x 的函数关系式; ② 该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0<m<100)元,且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台,若商店 保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案. 考点: 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)设每台 A 型电脑销售利润为 a 元,每台 B 型电脑的销售利润为 b 元;根据题意列出方程组求解, (2)① 据题意得,y=﹣50x+15000, ② 利用不等式求出 x 的范围,又因为 y=﹣50x+15000 是减函数,所以 x 取 34,y 取最大值, (3)据题意得,y=(100+m)x﹣150(100﹣x) ,即 y=(m﹣50)x+15000,分三种情况讨论,① 当 0<m< 50 时,y 随 x 的增大而减小,② m=50 时,m﹣50=0,y=15000,③ 当 50<m<100 时,m﹣50>0,y 随 x 的增 大而增大,分别进行求解. 解答: 解: (1)设每台 A 型电脑销售利润为 a 元,每台 B 型电脑的销售利润为 b 元;根据题意得
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解得 答:每台 A 型电脑销售利润为 100 元,每台 B 型电脑的销售利润为 150 元. (2)① 据题意得,y=100x+150(100﹣x) ,即 y=﹣50x+15000, ② 据题意得,100﹣x≤2x,解得 x≥33 , ∵ y=﹣50x+15000,﹣50<0, ∴ y 随 x 的增大而减小, ∵ x 为正整数, ∴ 当 x=34 时,y 取最大值,则 100﹣x=66, 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大. (3)据题意得,y=(100+m)x+150(100﹣x) ,即 y=(m﹣50)x+15000, 33 ≤x≤70 ① 当 0<m<50 时,y 随 x 的增大而减小,
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www.jyeoo.com ∴ 当 x=34 时,y 取最大值, 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大. ② m=50 时,m﹣50=0,y=15000, 即商店购进 A 型电脑数量满足 33 ≤x≤70 的整数时,均获得最大利润; ③ 当 50<m<100 时,m﹣50>0,y 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x=70 时,y 取得最大值. 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑的销售利润最大. 点评: 本题主要考查了一次函数的应用, 二元一次方程组及一元一次不等式的应用, 解题的关键是根据一次函数 x 值的增大而确定 y 值的增减情况. 12. (2014?烟台)山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的 A 型车去年销售总 额为 5 万元,今年每辆销售价比去年降低 400 元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少 20%. (1)今年 A 型车每辆售价多少元?(用列方程的方法解答) (2)该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆,且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍,应如何 进货才能使这批车获利最多? A,B 两种型号车的进货和销售价格如下表: A 型车 B 型车 1100 1400 进货价格(元) 2000 销售价格(元) 今年的销售价格 考点: 一次函数的应用;分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)设今年 A 型车每辆售价 x 元,则去年售价每辆为(x+400)元,由卖出的数量相同建立方程求出其解 即可; (2)设今年新进 A 型车 a 辆,则 B 型车(60﹣a)辆,获利 y 元,由条件表示出 y 与 a 之间的关系式,由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值. 解答: 解: (1)设今年 A 型车每辆售价 x 元,则去年售价每辆为(x+400)元,由题意,得
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, 解得:x=1600. 经检验,x=1600 是原方程的根. 答:今年 A 型车每辆售价 1600 元; (2)设今年新进 A 型车 a 辆,则 B 型车(60﹣a)辆,获利 y 元,由题意,得 y=(1600﹣1100)a+(2000﹣1400) (60﹣a) , y=﹣100a+36000. ∵ B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍, ∴ 60﹣a≤2a, ∴ a≥20. ∵ y=﹣100a+36000. ∴ k=﹣100<0, ∴ y 随 a 的增大而减小. ∴ a=20 时,y 最大=34000 元. ∴ B 型车的数量为:60﹣20=40 辆. ∴ 当新进 A 型车 20 辆,B 型车 40 辆时,这批车获利最大. 点评: 本题考查了列分式方程解实际问题的运用,分式方程的解法的运用,一次函数的解析式的运用,解答时由 销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键.
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www.jyeoo.com 13. (2014?聊城)甲、乙两车从 A 地驶向 B 地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶 2h,并且甲车途中 休息了 0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离 y(km)与时间 x(h)的函数图象. (1)求出图中 m,a 的值; (2)求出甲车行驶路程 y(km)与时间 x(h)的函数解析式,并写出相应的 x 的取值范围; (3)当乙车行驶多长时间时,两车恰好相距 50km.

考点: 一次函数的应用;一元一次方程的应用. 专题: 行程问题;数形结合. 分析: (1)根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出 a 的值和 m 的值; (2)由分段函数当 0≤x≤1,1<x≤1.5,1.5<x≤7 由待定系数法就可以求出结论; (3)先求出乙车行驶的路程 y 与时间 x 之间的解析式,由解析式之间的关系建立方程求出其解即可. 解答: 解: (1)由题意,得 m=1.5﹣0.5=1. 120÷(3.5﹣0.5)=40, ∴ a=40. 答:a=40,m=1;
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(2)当 0≤x≤1 时设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=k1x,由题意,得 40=k1, ∴ y=40x 当 1<x≤1.5 时, y=40; 当 1.5<x≤7 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=k2x+b,由题意,得 ,

解得: ∴ y=40x﹣20.



y=



(3)设乙车行驶的路程 y 与时间 x 之间的解析式为 y=k3x+b3,由题意,得
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解得:



∴ y=80x﹣160. 当 40x﹣20﹣50=80x﹣160 时, 解得:x= . 当 40x﹣20+50=80x﹣160 时, 解得:x= = , 答:乙车行驶 小时或 . . 小时,两车恰好相距 50km.

点评: 本题考出了行程问题的数量关系的运用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,一次函数与一元一次方 程的运用,解答时求出一次函数的解析式是关键. 14. (2014?陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除收取每次 6 元的包装费外,樱桃不超过 1kg 收费 22 元,超过 1kg,则超出部分按每千克 10 元加收费用.设该公司从西安到 南昌快递樱桃的费用为 y(元) ,所寄樱桃为 x(kg) . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知小李给外婆快寄了 2.5kg 樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元? 考点: 一次函数的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据快递的费用=包装费+运费由分段函数就,当 0<x≤1 和 x>1 时,可以求出 y 与 x 的函数关系式; (2)由(1)的解析式可以得出 x=2.5>1 代入解析式就可以求出结论. 解答: 解: (1)由题意,得 当 0<x≤1 时, y=22+6=28; 当 x>1 时 y=28+10(x﹣1)=10x+18;
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∴ y=



(2)当 x=2.5 时, y=10×2.5+18=43. ∴ 这次快寄的费用是 43 元. 点评: 本题考查了分段函数的运用,一次函数的解析式的运用,由自变量的值求函数值的运用,解答时求出函数 的解析式是关键. 15. (2014?营口)随着生活质量的提高,人们健康意识逐渐增强,安装净水设备的百姓家庭越来越多.某厂家从去 年开始投入生产净水器,生产净水器的总量 y(台)与今年的生产天数 x(天)的关系如图所示.今年生产 90 天后, 厂家改进了技术,平均每天的生产数量达到 30 台.
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www.jyeoo.com (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前 90 天平均每天的生产数量相同,求厂家去年生产的天数; (3)如果厂家制定总量不少于 6000 台的生产计划,那么在改进技术后,至少还要多少天完成生产计划?

考点: 一次函数的应用;一元一次不等式的应用. 专题: 应用题;分段函数. 分析: (1)本题时一道分段函数,当 0≤x≤90 时和 x>90 时由待定系数法就可以分别求出其结论; (2)由(1)的解析式求出今年前 90 天平均每天的生产数量,由函数图象可以求出去年的生产总量就可以 得出结论; (3)设改进技术后,至少还要 a 天完成不少于 6000 台的生产计划,根据前 90 天的生产量+改进技术后的 生产量≥6000 建立不等式求出其解即可. 解答: 解: (1)当 0≤x≤90 时,设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,由函数图象,得
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, 解得: .

则 y=20x+900. 当 x>90 时,由题意,得 y=30x. ∴ y= ;

(2)由题意,得 ∵ x=0 时,y=900, ∴ 去年的生产总量为 900 台. 今年平均每天的生产量为: (2700﹣900)÷90=20 台, 厂家去年生产的天数为:900÷20=45 天. 答:厂家去年生产的天数为 45 天; (3)设改进技术后,至少还要 a 天完成不少于 6000 台的生产计划,由题意,得 2700+30a≥6000, 解得:a≥110. 答:改进技术后,至少还要 110 天完成不少于 6000 台的生产计划. 点评: 本题考查了分段函数的运用,待定系数法起一次函数的解析式的运用,列不等式解实际问题的运用,解答 时求出一次函数的解析式及分析函数图象的意义是关键. 16. (2014?德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划 购进甲,乙两种节能灯共 1200 只,这两种节能灯的进价、售价如下表: 进价(元/只) 售价(元/只) 25 30 甲型 45 60 乙型
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www.jyeoo.com (1)如何进货,进货款恰好为 46000 元? (2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%,此时利润为多少元? 考点: 一次函数的应用;一元一次方程的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)设商场购进甲型节能灯 x 只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,根据两种节能灯的总价为 46000 元 建立方程求出其解即可; (2)设商场购进甲型节能灯 a 只,则购进乙型节能灯(1200﹣a)只,商场的获利为 y 元,由销售问题的 数量关系建立 y 与 a 的解析式就可以求出结论. 解答: 解: (1)设商场购进甲型节能灯 x 只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,由题意,得 25x+45(1200﹣x)=46000, 解得:x=400. ∴ 购进乙型节能灯 1200﹣400=800(只) . 答:购进甲型节能灯 400 只,购进乙型节能灯 800 只进货款恰好为 46000 元;
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(2)设商场购进甲型节能灯 a 只,则购进乙型节能灯(1200﹣a)只,商场的获利为 y 元,由题意,得 y=(30﹣25)a+(60﹣45) (1200﹣a) , y=﹣10a+18000. ∵ 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%, ∴ ﹣10a+18000≤[25a+45(1200﹣a)]×30%, ∴ a≥450. ∵ y=﹣10a+18000, ∴ k=﹣10<0, ∴ y 随 a 的增大而减小, ∴ a=450 时,y 最大=13500 元. ∴ 商场购进甲型节能灯 450 只,购进乙型节能灯 750 只时的最大利润为 13500 元. 点评: 本题考查了单价×数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解 答时求出一次函数的解析式是关键. 17. (2014?昆明)某校运动会需购买 A,B 两种奖品,若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件,共需 60 元;若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 3 件,共需 95 元. (1)求 A、B 两种奖品的单价各是多少元? (2)学校计划购买 A、B 两种奖品共 100 件,购买费用不超过 1150 元,且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品数量的 3 倍,设购买 A 种奖品 m 件,购买费用为 W 元,写出 W(元)与 m(件)之间的函数关系式.求出自变量 m 的取 值范围,并确定最少费用 W 的值. 考点: 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)设 A 奖品的单价是 x 元,B 奖品的单价是 y 元,根据条件建立方程组求出其解即可; (2) 根据总费用=两种奖品的费用之和表示出 W 与 m 的关系式, 并有条件建立不等式组求出 x 的取值范围, 由一次函数的性质就可以求出结论. 解答: 解(1)设 A 奖品的单价是 x 元,B 奖品的单价是 y 元,由题意,得
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, 解得: .

答:A 奖品的单价是 10 元,B 奖品的单价是 15 元;

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www.jyeoo.com (2)由题意,得 W=10m+15(100﹣m)=﹣5m+1500 ∴ ,

解得:70≤m≤75. ∵ m 是整数, ∴ m=70,71,72,73,74,75. ∵ W=﹣5m+1500, ∴ k=﹣5<0, ∴ W 随 m 的增大而减小, ∴ m=75 时,W 最小=1125. ∴ 应买 A 种奖品 75 件,B 种奖品 25 件,才能使总费用最少为 1125 元. 点评: 本题考查了一次函数的性质的运用,二元一次方程组的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求一次函 数的解析式是关键. 18. (2014?黄冈)某地实行医疗保险(以下简称“医保”)制度.医保机构规定: 一:每位居民年初缴纳医保基金 70 元; 二:居民每个人当年治病所花的医疗费(以定点医院的治疗发票为准) ,年底按下列方式(见表一)报销所治病的 医疗费用: 居民个人当年治病所花费的医疗费 医疗费的报销方法 不超过 n 元的部分 全部由医保基金承担(即全部报销) 超过 n 元但不超过 6000 元的部分 个人承担 k%,其余部分由医保基金承担 超过 6000 元的部分 个人承担 20%,其余部分由医保基金承担 如果设一位居民当年治病花费的医疗费为 x 元,他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担部分和年初缴 纳的医保基金)记为 y 元. (1)当 0≤x≤n 时,y=70;当 n<x≤6000 时,y= 0.01k(x﹣n)+70(n<x≤6000) (用含 n、k、x 的式子表示) . (2)表二是该地 A、B、C 三位居民 2013 年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用,根据表中的数据, 求出 n、k 的值. 表二: A B C 居民 800 1500 某次治病所花费的治疗费用 x(元) 400 70 190 470 个人实际承担的医疗费用 y(元) (3)该地居民周大爷 2013 年治病所花费的医疗费共 32000 元,那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元? 考点: 一次函数的应用;列代数式;二元一次方程组的应用. 专题: 函数思想. 分析: (1)根据医疗报销的比例,可得答案; (2)根据医疗费用的报销费用,可得方程组,再解方程组,可得答案; (3)根据个人承担部分的费用,可得代数式,可得答案. 解答: 解: (1)由题意得 当 0≤x≤n 时,y=70; 当 n<x≤6000 时,y=0.01k(x﹣n)+70(n<x≤6000) ;
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(2)由 A、B、C 三人的花销得



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www.jyeoo.com 解得 ;

(3)由题意得 70+(6000﹣500)×40%+(32000﹣6000)×20% =70+2200+5200 =7470(元) . 答:这一年他个人实际承担的医疗费用是 7470 元. 点评: 本题考查了一次函数的应用,根据题意列函数解析式是解题关键. 19. (2014?南充)今年我市水果大丰收,A、B 两个水果基地分别收获水果 380 件、320 件,现需把这些水果全部 运往甲、乙两销售点,从 A 基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件 40 元和 20 元,从 B 基地运往甲、乙两销 售点的费用分别为每件 15 元和 30 元,现甲销售点需要水果 400 件,乙销售点需要水果 300 件. (1)设从 A 基地运往甲销售点水果 x 件,总运费为 W 元,请用含 x 的代数式表示 W,并写出 x 的取值范围; (2)若总运费不超过 18300 元,且 A 地运往甲销售点的水果不低于 200 件,试确定运费最低的运输方案,并求出 最低运费. 考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)表示出从 A 基地运往乙销售点的水果件数,从 B 基地运往甲、乙两个销售点的水果件数,然后根据 运费=单价×数量列式整理即可得解,再根据运输水果的数量不小于 0 列出不等式求解得到 x 的取值范围; (2)根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案,然后求解即可. 解答: 解: (1)设从 A 基地运往甲销售点水果 x 件,则从 A 基地运往乙销售点的水果(380﹣x)件, 从 B 基地运往甲销售点水果(400﹣x)件,运往乙基地(x﹣80)件, 由题意得,W=40x+20(380﹣x)+15(400﹣x)+30(x﹣80) , =35x+11200, 即 W=35x+11200,
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∴ 80≤x≤380, 即 x 的取值范围是 80≤x≤380; (2)∵ A 地运往甲销售点的水果不低于 200 件, ∴ x≥200, ∵ k=35>0, ∴ 运费 W 随着 x 的增大而增大, ∴ 当 x=200 时,运费最低,为 35×200+11200=18200 元<18300 元, 此时,方案为: 从 A 基地运往甲销售点的水果 200 件,运往乙销售点的水果 180 件, 从 B 基地运往甲销售点的水果 200 件,运往乙销售点的水果 120 件. 点评: 本题考查了一次函数的应用,一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,准确表示出从 A、B 两个基地运 往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键. 20. (2014?甘孜州)已知某工厂计划用库存的 302m 木料为某学校生产 500 套桌椅,供该校 1250 名学生使用,该 厂生产的桌椅分为 A,B 两种型号,有关数据如下:
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www.jyeoo.com 桌椅型 一套桌椅所坐学生 生产一套桌椅所需 3 号 人数(单位:人) 木材(单位:m ) A 2 0.5 B 3 0.7

一套桌椅的生产成 一套桌椅的运费(单位: 本(单位:元) 元) 100 2 120 4

设生产 A 型桌椅 x(套) ,生产全部桌椅并运往该校的总费用(总费用=生产成本+运费)为 y 元. (1)求 y 与 x 之间的关系式,并指出 x 的取值范围; (2)当总费用 y 最小时,求相应的 x 值及此时 y 的值. 考点: 一次函数的应用. 专题: 应用题;函数思想. 分析: (1)利用总费用 y=生产桌椅的费用+运费列出函数关系,根据需用的木料不大于 302 列出一个不等式,两 种桌椅的椅子数不小于学生数 1250 列出一个不等式,两个不等式组成不等式组得出 x 的取值范围; (2)利用一次函数的增减性即可确定费用最少的方案以及费用. 解答: 解: (1)设生产 A 型桌椅 x 套,则生产 B 型桌椅的套数(500﹣x)套,
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根据题意得,



解这个不等式组得,240≤x≤250; 总费用 y=(100+2)x+(120+4) (500﹣x)=102x+62000﹣124x=﹣22x+62000, 即 y=﹣22x+62000, (240≤x≤250) ; (2)∵ y=﹣22x+62000,﹣22<0, ∴ y 随 x 的增大而减小, ∴ 当 x=250 时,总费用 y 取得最小值, 此时,生产 A 型桌椅 250 套,B 型桌椅 250 套,最少总费用 y=﹣22×250+62000=56500 元. 点评: 本题考查了一次函数的应用,一元一次不等式组的应用,此类题目难点在于从题目的熟练关系确定出两个 不等关系,从而列出不等式组求解得出 x 的取值范围. 21. (2014?咸宁)在“黄袍山国家油茶产业示范园”建设中,某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共 1000 株.已知乙 种树苗比甲种树苗每株贵 3 元,且用 100 元钱购买甲种树苗的株数与用 160 元钱购买乙种树苗的株数刚好相同. (1)求甲、乙两种油茶树苗每株的价格; (2)如果购买两种树苗共用 5600 元,那么甲、乙两种树苗各买了多少株? (3)调查统计得,甲、乙两种树苗的成活率分别为 90%,95%.要使这批树苗的成活率不低于 92%,且使购买树 苗的费用最低,应如何选购树苗?最低费用是多少? 考点: 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为 x 元,y 元,根据条件中树苗的数量与单价之间的关系建立 二元一次方程组求出其解即可; (2)设购买甲种树苗 a 株,乙种树苗则购买(1000﹣a)株,根据两种树苗共用 5600 元建立方程求出其解 即可; (3)设甲种树苗购买 b 株,则乙种树苗购买(1000﹣b)株,购买的总费用为 W 元,根据条件建立不等式 和 W 与 b 的函数关系式,由一次函数的性质就可以得出结论. 解答: 解: (1)设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为 x 元,y 元,由题意得
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www.jyeoo.com 解得: .

答:甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为 5 元,8 元; (2)设甲购买了 a 株,已购买了(1000﹣a)株,由题意得 5a+8(1000﹣a)=5600, 解得:a=800, ∴ 乙种树苗购买株数为:1000﹣800=200 株. 答:甲种树苗 800 株,乙种树苗购买 200 株; (3)设甲种树苗购买 b 株,则乙种树苗购买(1000﹣b)株,购买的总费用为 W 元,由题意得 90%b+95%(1000﹣b)≥1000×92%, ∴ b≤600. W=5b+8(1000﹣b)=﹣3b+8000, ∴ k=﹣3<0, ∴ W 随 b 的增大而减小, ∴ b=600 时,W 最低=6200 元. 答:购买甲种树苗 600 株,乙种树苗 400 株费用最低,最低费用是 6200 元. 点评: 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,一元一次不等式解实际问题的运用,一次函数的解析式 的运用,解答时由方程组求出两种树苗的单价是关键. 22. (2014?仙桃)为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在江汉堤坡种植白杨树,现甲、乙两家林场有相同的 白杨树苗可供选择,其具体销售方案如下: 甲林场 乙林场 购树苗数量 销售单价 购树苗数量 销售单价 不超过 1000 棵时 4 元/棵 不超过 2000 棵时 4 元/棵 超过 1000 棵的部分 3.8 元/棵 超过 2000 棵的部分 3.6 元/棵 设购买白杨树苗 x 棵,到两家林场购买所需费用分别为 y 甲(元) 、y 乙(元) . (1)该村需要购买 1500 棵白杨树苗,若都在甲林场购买所需费用为 5900 元,若都在乙林场购买所需费用为 6000 元; (2)分别求出 y 甲、y 乙与 x 之间的函数关系式; (3)如果你是该村的负责人,应该选择到哪家林场购买树苗合算,为什么? 考点: 一次函数的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用; (2)根据分段函数的表示法,分别当 0≤x≤1000,或 x>1000.0≤x≤2000,或 x>2000,由由单价×数量就可
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以得出购买树苗需要的费用表示出 y 甲、y 乙与 x 之间的函数关系式; (3)分类讨论,当 0≤x≤1000,1000<x≤2000 时,x>2000 时,表示出 y 甲、y 乙的关系式,就可以求出结论. 解答: 解: (1)由题意,得. y 甲=4×1000+3.8(1500﹣1000)=5900 元, y 乙=4×1500=6000 元; 故答案为:5900,6000; (2)当 0≤x≤1000 时, y 甲=4x, x>1000 时.
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www.jyeoo.com y 甲=4000+3.8(x﹣1000)=3.8x+200, ∴ y 甲= 当 0≤x≤2000 时, y 乙=4x 当 x>2000 时, y 乙=8000+3.6(x﹣2000)=3.6x+800 ∴ y 乙= ; ;

(3)由题意,得 当 0≤x≤1000 时,两家林场单价一样, ∴ 到两家林场购买所需要的费用一样. 当 1000<x≤2000 时,甲林场有优惠而乙林场无优惠, ∴ 当 1000<x≤2000 时,到甲林场优惠; 当 x>2000 时,y 甲=3.8x+200,y 乙=3.6x+800, 当 y 甲=y 乙时 3.8x+200=3.6x+800, 解得:x=3000. ∴ 当 x=3000 时,到两家林场购买的费用一样; 当 y 甲<y 乙时, 3.8x+200=3.6x+800, x<3000. ∴ 2000<x<3000 时,到甲林场购买合算; 当 y 甲>y 乙时, 3.8x+200>3.6x+800, 解得:x>3000. ∴ 当 x>3000 时,到乙林场购买合算. 综上所述,当 0≤x≤1000 或 x=3000 时,两家林场购买一样, 当 1000<x<3000 时,到甲林场购买合算; 当 x>3000 时,到乙林场购买合算. 点评: 本题考查了运用一次函数的解析式解实际问题的运用,方案设计的运用,单价×数量=总价的运用,解答时 求出一次函数的解析式是关键. 23. (2014?泸州)某工厂现有甲种原料 380 千克,乙种原料 290 千克,计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件.已知生产一件 A 产品需要甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利 700 元;生产一件 B 产品需要甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元.设生产 A、B 两种产品总利润为 y 元,其中 A 种产品生产件数是 x. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如何安排 A、B 两种产品的生产件数,使总利润 y 有最大值,并求出 y 的最大值. 考点: 一次函数的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据等量关系:利润=A 种产品的利润+B 种产品的利润,可得出函数关系式; (2)这是一道只有一个函数关系式的求最值问题,可根据等量关系:总利润=A 种产品的利润+B 种产品的 利润,可得出函数关系式,然后根据函数的性质确定自变量的取值范围,由函数 y 随 x 的变化求出最大利 润.
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www.jyeoo.com 解答: 解: (1)由题意:y=700x+1200(50﹣x) , 即 y=﹣500x+60000; (2)由题意得 解得 30≤x≤36, ∵ y=﹣500x+60000, ∴ y 随 x 的增大而减小, ∴ 当 x=30 时,y 最大=45000, 故生产 B 种产品 20 件,A 种产品 30 件时,总利润 y 有最大值,y 最大=45000 元. 点评: 本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意利用一次函数求最值时, 关键是应用一次函数的性质;即由函数 y 随 x 的变化,结合自变量的取值范围确定最值. 24.在平面直角坐标系中,O 为原点. (1)点 A 的坐标为(3,﹣4) ,求线段 OA 的长; (2)点 B 的坐标为(2,2) ,点 C 的坐标为(5,6) ,求线段 BC 的长. ,

考点: 两点间的距离公式. 专题: 代数几何综合题. 分析: (1)利用两点间的距离公式(d=
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)求解;

(2)在直角三角形中,根据勾股定理解答. 解答: 解: (1) …(3 分)

(2)如图,CM=|6﹣2|=4, BM=|5﹣2|=3,则由勾股定理,得 .…(6 分)

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点评: 本题考查了两点间的距离公式.解答此类题目,需熟记两点间的距离公式 d= .

25.在 x 轴上有一点 P,它与点 A(0,3) 、B(4,﹣1)的距离相等,求点 P 的坐标? 考点: 两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 设点 P 的坐标为(a,0) ,根据两点间的距离公式列式求解即可,两点间的距离公式:
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d= 解答: 解:设点 P 的坐标为(a,0) , ∵ A(0,3) 、B(4,﹣1) , ∴ AP= BP= ∵ AP=BP, ∴
2



, ,

=
2



两边平方得,a +9=(a﹣4) +1, 即 8a=8, 解得 a=1. ∴ 点 P 的坐标是(1,0) . 点评: 本题考查了两点间的距离公式,熟记公式是解题的关键. 26.在直角坐标系中,△ ABC 满足,∠ C=90°,AC=2,BC=1,点 A,C 分别在 x 轴、y 轴上,当 A 点从原点开始在 正 x 轴上运动时,点 C 随着在正 y 轴上运动. (1)当 A 在原点时,求原点 O 到点 B 的距离 OB; (2)当 OA=OC 时,求原点 O 到点 B 的距离 OB; (3)求原点 O 到点 B 的距离 OB 的最大值,并确定此时图形应满足什么条件? 考点: 两点间的距离公式;坐标与图形性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据勾股定理即可求解; (2)当 OA=OC 时,如图,△ OAC 是等腰直角三角形,过点 B 作 BE⊥ OA 于 E,过点 C 作 CD⊥ OC,且 CD 与 BE 交于点 D,再根据两点间的距离公式即可求解;
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www.jyeoo.com (3)取 AC 的中点 E,连接 OE,BE.在 Rt△ AOC 中,OE 是斜边 AC 上的中线,所以 O,E,B 在一条直线上时,OB 取到最大值时即可求解; 解答: 解: (1)当 A 点在坐标原点时,如图, .证明当

AC 在 y 轴上,BC⊥ y 轴, 所以 .

目的是从特殊情况理解题意,考察勾股定理的基本应用与计算. (2)当 OA=OC 时,如图,△ OAC 是等腰直角三角形,AC=2. 所以∠ 1=∠ 2=45°, . 过点 B 作 BE⊥ OA 于 E,过点 C 作 CD⊥ OC,且 CD 与 BE 交于点 D, 则∠ 3=90°﹣∠ ACD=90°﹣(90°﹣45°)=45°.又 BC=1, 所以 , ,

因此



(3)解法一:如图所示,设∠ ACO=θ,过 C 作 CD⊥ OC,

由于∠ BCA=90°,所以∠ BCD=θ.由 AC=2,BC=1,可以得 B 点的坐标 2 2 2 为 B(cosθ,sinθ+2cosθ) .则 l =OB =cos θ+(sinθ+2cosθ) 2 2 2 2 2 2 =cos θ+sin θ+4sinθcosθ+4cos θ=1+2sin2θ+4cos θ=3+2sin2θ+2(2cos θ﹣1) =3+2sin2θ+2cos2θ= =

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www.jyeoo.com 当 时, ,所以 . .

解法二:如图,取 AC 的中点 E,连接 OE,BE.在 Rt△ AOC 中,OE 是斜边 AC 上的中线,所以

在△ ACB 中,BC=1, 所以 .



若点 O,E,B 不在一条直线上,则 , 若点 O,E,B 在一条直线上, 则 , 所以当点 O,E,B 在一条直线上时,OB 取到最大值, 最大值是 . 当 O,E,B 在一条直线上时,OB 取到最大值时, 从下图可见,OE=1, .∠ CEB=45°,但 CE=OE=1,

. 点评: 本题考查了两点间的距离公式及坐标与图形的性质,难度较大,主要是巧妙地利用了线段的基本性质:两 点间线段最短.一般地说,线段基本性质常用来求最小值.即线段 AB 长为定值时,AC+BC 的最小值为 AB,此时 C 在 AB 上.这是线段基本性质的一种应用;而另一种应用往往为人们所忽视:如果两条线段 AC 和 CB 在 C 点接在一起,AC=m 与 CB=n 都是定长;那么 AC+BC 的最大值为 m+n,此时 C、A、B 三 点共线. 27.已知平面上点 A(﹣1,4) ,B(11,12) ,P(﹣5,y) ,点 P 到点 A 和点 B 的距离相等,求 y 的值. 考点: 两点间的距离公式. 专题: 探究型. 分析: 先根据两点间的距离公式得出
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=

, 求出 y 的值

再代入原式进行检验即可. 解答: 解:∵ 平面上点 A(﹣1,4) ,B(11,12) ,P(﹣5,y) ,点 P 到点 A 和点 B 的距离相等, ∴ ,两边平方,得 16+y ﹣8y+16=256+y ﹣
2 2

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www.jyeoo.com 24y+144. 解得 y=23. 经检验:y=23 是原方程的根. ∴ 所求的 y 的值是 23. 点评: 本题考查的是两点间的距离公式,解答此题时要注意在解无理方程同解分式方程一样,最后所得结果要代 入原式进行验根. 28.当 m 为何值时,点 P(3m﹣1,m﹣2)到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍?求出此时点 P 到原点的距离. 考点: 两点间的距离公式. 分析: 点 P(3m﹣1,m﹣2)到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍,即横坐标的绝对值是纵坐标的绝对值的 3 倍, 就得到一个关于 m 的方程.化简就可以求出 m 的值. 解答: 解:根据题意得到|3m﹣1|=3|m﹣2|,两边平方,解得 m=
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因而 P 的坐标是( ,﹣ ) ,则 OP=



点评: 已知点 P(3m﹣1,m﹣2)到 y 轴的距离是到 x 轴距离的 3 倍就可以得到关于 m 的方程,转化为方程问题 就是解决本题的关键. 29. (2014?鼓楼区二模)计算:2 ﹣ + .

考点: 二次根式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先把各二次根式化为最简二次根式,然后进行乘法运算后合并即可. 解答: 解:原式=2× ﹣ ×4 +
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= =﹣

﹣2 .

+

点评: 本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并 同类二次根式.
﹣2

30. (2014?张家界)计算: (

﹣1) (

+1)﹣(﹣ ) +|1﹣

|﹣(π﹣2) +

0



考点: 专题: 分析: 解答:

二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂. 计算题. 根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+ ﹣1﹣1+2 ,然后合并即可. 解:原式=5﹣1﹣9+ ﹣1﹣1+2 =﹣7+3 . 点评: 本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后 合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂.
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