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2011届北海中学新高三暑假数学作业3(理科)


2011 届北海中学高三暑假数学作业三(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.复数
1? i 1? i ? 2 i 等于

( B.2 C.-2i
1 x



A.-2

D.2i
? 0 |} ,则 A ? B 等于



2.已知集合 A ? { x ? Z || x ? 1 |? 2}, B ? { x ? R | 1 ? A.{-1,0,1,2,3} B.{-1} 3.函数 y
? | sin x | sin x ? |x| x





C.{-1,2,3}

D.{-1,1,2,3} ( )

的值域是 B.{0,-2} C.{0,2}

A.{0}

D.{-2,0,2}

4.已知命题 p:n=0;命题 q:向量 a与向量 m a ? n b 共线,则 p 是 q 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知空间三点 A、 C, B、 两条直线 a, 及平面 ? , b 给出下列命题: ①若 A ? ? , B ? ? , C ? AB , C ? ? ; 则 ②若 A ? ? , B ? ? , 则 AB // ? ;③若 a ? ? , b ? a , 则 b // ? 其中正确命题的个数是 ( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.已知直 x ? 2 y ? 3 ? ? ( x ? y ? 1) ? 0 或圆 x ? y ? 1 相切,则 ? 等于 A.-1 B.-5 C.-1 或-5 D.1 或-5
2 2

) ) ) ) )



7.等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n , 若 a 1 ? 0 , S 5 ? S 8 , 则数列 { S n } 中的最大项是 ( A.S6 B.S6,S7 C.S5,S6 8.奇函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ), 则 f ( 2008 ) A.1 B.0 C.-1 9. f
?1

D.S7 ( D.不确定
(10 ) =

( x )为函数 f ( x ) ? x ? ax
3

2

? 2 的反函数,则 f

?1

( D. ? 3 12

A.1002+100a 10.双曲线
x a
2 2

B. 3 1002 ? 100 a

C.2

? y

2

? 1 的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ

是双曲线的一条垂

( ) D.现 PQ 的位置及 a 的值有关 1 , 11.已知△ABC 的三个顶点在球面上,且 AB=1,AC=3,BC= 7 ,且球心 o 到平面 ABC 的距离为 3 ,( 则该球的表面积等于 ) 5 30 A.4 ? B.12 ? C. ? D.40 ?
2

直于实轴的弦,o 为坐标原点,则 OP ? OQ 等于 A.0 B.-1 C.1

6 3



12.已知函数 y ? f ( x ) 的图象如右图,则 f ( x ) 的导函数 y ? f ? ( x ) 的图象可能是 (



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.
1 ? 2 sin 10 ? cos 10 ? cos 10 ? ? 1 ? cos
2

的值为
?x ? 1 ?1

.

170 ?

14.已知 x,y 满足约束条件 ? y ?

则函数 Z ? 2 x ? y

的最大值为

.

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?

15.已知函数

? 1? x ? x , ( x ? 0) ? ? x f (x) ? ? 在x ? 0 1 ? , ( x ? 0) ? a ? sin x ?

点连续,则 a=

.

16.用四种不同的颜色给右图中的五个区域染色,要求两个有公共边的区域不能染同 一种颜色(四种颜色可以不全用) ,则不同的染色方案共有 种(用数字作答) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。 17. (本小题 10 分)已知函数 f ( x ) ?
sin
2

x ? cos x ? 1 cos x ? 1

(1)求函数 f ( x ) 的定义域并判断奇偶性; (2)求函数 f ( x ) 的最小正周期.

18. (本小题 12 分)已知甲袋中放有编号分别为 0,0,1,3 的四个红色小球,乙袋中放有编号为 0,1,3, 3,的四个黄色小球,丙袋中放有编号为 1,3,3,3 的四个兰色小球,现从中随机摸出红, 黄,兰 色小球各一个,求 (1)摸出小球的编号和小于 7 的概率; (2)摸出三个小球的编号和 ? 的数学期望.

19. (本小题 12 分)已知 ABCD 为边长为 1 的菱形,PA⊥面 ABCD,PA=AB=AC=1. (1)求证:面 PAC⊥PBD; (2)求二面角 B—PC—D 的大小

20. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间.

x?a x ?1
2

在点 x ?

1 2

处取得极值.

21. (本小题 12 分)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的准线与 x 轴交于点 M. (1)若 M 点的坐标为(-1,0) ,求抛物线的方程;
2

(2)过点 M 的直线 l 与抛物线交于两点 P、Q,若 FP ? FQ ? 0 (其中 F 是抛物线的焦点) ,求证:直 线 l 的斜率为定值.

22. (本小题 12 分)已知各项均为正数的数列 { a n }满足 a n ? 1 ? (1)设 b n ?
n? ?

an ? 4 an ? 1

.

an ? 2 an ? 2

, 当 a 1 ? 2时 , 求证数列 {b n } 是等比数列;

(2)求 lim a n ; (3)若数列 { a n }满足 a n ? 1 ? a n , ( n ? 1, 2 ,3 , K ) ,求首项 a1 的取值范围.

2011 届北海中学高三暑假数学作业三参考答案
一、选择题:ACDAB BBCC BB 1 二、填空题:13.1 14.5 16.96 ,15.2 三、解答题 3 17. (2)由 cos x ? 1 ? 0 得 x ? 2 k,? ? ? , k ? Z f ( x ) ? 2 ? cos x , f ( ? x ) ? f 5x ) (
? f ( x ) 的定义域为 { x ? R | x ? 2 k ? ? ? , k ? Z } ;偶函数.

(2)? f ( x ) ? 2 ? cos x , ( x ? 2 k ? ? ? , k ? Z )
? f ( x ) 的最小正周期为 2 ? .

18. (1)三个小球的编号和不小于 7 的概率 P ?

C 2C 3 ? C 3 ? C 2 ? C 2C 3
1 1 1 1 1

1

4?4?4

?

17 64

.

(2) ? 的所有可能的取值为 1,2,3,4,5,6,7,9. 分布列为
? P

1
2 64

2
3 64 6 64

3
7 64 ? 6? 15 64

4
14 64 ?7? 11 64

5
6 64 ? 9?

6
15 64 6 64 ? 21 4

7
11 64

9
6 64

E? ? 1?

2 64

? 2?

3 64

? 3?

7 64

? 4?

14 64

? 5?

19. (1)∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD. 又∵PA⊥面 ABCD. ∴PA⊥BD,∴BD⊥面 PAC 又 BD ? 面 PBD, ∴面 PAC⊥面 PBD. (2)作 BE⊥PC,连结 DE(如图) ∵△PAB≌△PAD, ∴PB=PD, ∴△ABC≌△PDC ∴DE⊥PC, ∴∠BED 为二面角 B—PC—D 的平面角 又 PA=AB=AC=1, ∴PB=PC= 2 由
1 2 BE ? 2 ? 1 2 ?1? 7 4
5 7 , 5 7 )

有 BE ?

7 8

.

又 BD= 3

∴ arccos ? ?

∴二面角 B—PC—D 的大小为 ar cos( ? 20. (1) f ( x ) ?
x ? 1 ? 2 x(x ? a)
2 2

( x ? 1)
2

2

?

? x ? 2 ax ? 1 ( x ? 1)
2 2



1 5 f ?( ) ? 0 ? a ? ? , 2 4

x?

5

(2) f ( x ) ?

4 , ?1 5 2 ? x ? x ?1 1 2 f ?( x ) ? , 令 f ?( x ) ? 0 ? ? x ? 1或 1 ? x ? 2 . 2 2 2 ( x ? 1) x
2

? f ( x ) 的单调区间为(

1 2

, 1)或(1,2 ] 1 2 ), ( 2 , ?? )

单调减区间为 ( ?? , ? 1), ( ? 1, ?

21. (1) ?

p 2

? ? 1,

? p ? 2,

∴抛物线方程为 y ? 4 x
2

(2)设 P(x,y) ,Q(x2,y2)l 的斜率为 k.
? FP ? FQ ? 0 , ? ( x 1 ?
x1 x 2 ? p 2 ( x1 ? x 2 ) ? p
2

p 2

, y1 ) ? ( x 2 ?

p 2

, y 2 ) ? 0,

4
P 2
2

? y , y 2 ? 0,
2


2 2 2

l 的方程为 y ? k ( x ?
? x1 ? x 2 ?
2

), 联立 y =2px,得 k x ? ( pk

? 2 p)x ?

k p 4

2

2

? 0,

2 p ? pk k
2

, x1 x 2 ? p 2
2 2

p

2

. p


2

4 ).

又 y1 y 2 ? k ( x1 x 2 ? 联立①②③得 k ? ? 经检验, k ? ?
2 2

( x1 ? x 2 ) ?
.



4

时,l 与抛物线交于两个点. 证毕.
an ? 4 ?2 ? ? ?2

22. (1) b n ? 1 ?

a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2

?

an ? 1 an ? 4 an ? 1

1 an ? 2 1 ? ? ? bn . 3 an ? 2 3
a1 ? 2 a1 ? 2 an ? 2 an ? 2

又 a ? 2 由数学归纳法易得 a n ? 2 ,
? { b n }是以 ?
n? ?

? b1 ?

? 0, bn

? 0,

1 3

为公比的等比数列

(2)设 lim a n ? A 又 a n ?1 ?
an ? 4 an ? 1 ,? A ?
A?4 A ?1 ? A ? 2 ( A ? ? 2 舍去 ) 即 lim a n ? 2
n? ?

(3)不存在正实数 a 1 使 a n ?1 ? a n 恒成立,证明如下: 当 a1=2 时,an=2(n=1,2,3,…)不满足 当 a1>2 时, a 1 ? 1 ?
3 a1 ? 1 3 a1 ? 1 ? 2 ? a 1 ,不满足. ? 2

当 0<a1<2 时, a 2 ? 1 ?

? a 3 ? 2 ,也不满足.证毕.


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