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2015-4-21 2.5指数与指数函数(1)运算及函数图象变换


2.5指数与指数函数(1)



练习:
4

(1)若x ? 16,则x的值为__________
(2)化简 16 x y (x, y ? 0)得__________
4 8 4

题型一

指数幂的运算

例1:化简与求值 () 1 1 1 ( a ? 0, b ? 0) 1 1 ? 4 3 3 4 2 (a b ) a b
1 27 ? 2 ? 0 -1 2 3 (2)(- ) +(0.002) -10( 5-2) +( 2- 3) . 8

ab

3 23

ab

2

指数函数的定义
x y = a (a>0,且 a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数. 形如

指数函数的图像与性质 y=ax a>1 0<a<1

图像

定义域 值域

(-∞,+∞)

(0,+∞)

过定点 (0,1) 当 x>0 时, y>1 性质 当 x<0 时, 0<y<1 在(-∞,+∞)上 是 增函数

;当 x>0 时,0<y<1 ; 当 x<0 时, y>1 在(-∞,+∞)上 是 减函数

题型二
例2

指数函数的图象变换及性质应用

(1) 函数 f(x) = ax - b 的图象如图所示,其中 a , b 为常数, )

则下列结论正确的是(

A.a>1,b<0
B.a>1,b>0

C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0 跟踪训练 2 (1) 若函数 y=2 - x + 1 +m 的图象不经过第一

象限,则m的取值范围是____________.

题型二

指数函数的图象变换及性质应用
【例 3】 (1)已知函数 ① 作出图像;
?1? + y=?2? |x 2|, ? ?

②指出该函数的单调递增区间; ③求值域.

例3 (2)k为何值时,方程|3x-1|=k有两解?

无解?有一解?

练习:若关于x的方程|ax-1|=2a (a>0且a≠1)有两个不

等实根,则a的取值范围是(

)

A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞)
解析

B.(0,1)
? ? 1 ? ? D.?0,2? ? ?

方程 |ax -1| = 2a (a>0且 a≠1)有两个实数根转化为

函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.

①当0<a<1时,如图(1),则0<2a<1,即0<a< 1 .

2

②当a>1时,如图(2),而y=2a>1不符合要求. 综上,0<a< 1 .

2

答案 D

题型三

比较大小
0.9 0.48

一、若底数相同,则可用单调性比较
练习:设 y1=4 ,y2=8 A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3
解析 y1=4 =2 ,y2=8
0.9 1.8

?1?- ,y3=?2? 1.5,则( ? ?

)

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2
0.48

=2

1.44

?1?- ,y3=?2? 1.5=21.5.由 ? ?

于指数函数 f(x)=2x 在 R 上是增函数,且 1.8>1.5>1.44,所以 y1>y3>y2,选 D.
答案 D

二、若指数相同,则可用图像比较 比较 0.7a 与 0.8a 的大小.
[解] 如图.

比较30.4与0.43的大小.

设函数 y=0.7x 与 y=0.8x, 则两个函数的图像关系

当 x=a≥0 时,0.8a≥0.7a; 当 x=a<0 时,0.8a<0.7a.

三、若底数与指数均不同,则可用中间值 1 比较 30.4 与 0.43 的大小.

[解]

因为 y=3x 是增函数,所以 30.4>30=1,又 y=0.4x

是减函数,所以 0.43<0.40=1,故 30.4>0.43.

四、作商法比较 比较 aabb 与 abba(a>b>0)的大小.

[解]

aabb ?a?a ?b?b ?a?a ?a?-b ? ? =? ? · ? ? ∵abba=?b? · ? ? ?a? ?b? ?b?

?a? - a a b ? ? = b ,∵a>b>0,∴b>1,a-b>0. ? ?
a b ?a? - a b a b ∴?b? >1,即abba>1,∴aabb>abba. ? ?

[方法与技巧] 当底数与指数都不同,中间量又不好找, 可采用作商比较法,即对两值作商,看其值大于 1 还是小于 1.从而确定所比值的大小,一般情况下,这两个值最好是正 数.


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