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江苏省连云港市2013-2014学年度第一学期期末测试高二数学试题(理)


江苏省连云港市 2013-2014 学年度第一学期期末测试 高二数学试题(选修物理)
注意事项: 1.本试题共两大题,共 20 小题,满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.请直接在答题卡上作答. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.双曲线

x2 ? y

2 ? 1 的渐近线方程是 2



. ▲ .

2.命题“若 a 是偶数,则 a ? 2 是偶数”的逆否命题是 3.抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程是 ▲ .

4.在 ?ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 4 3 , c ? 13 ,则最小内角的度数是 5.已知实数 x , y 满足 x2 ? y 2 ? 2 ,则 xy 的取值范围是 ▲ .



.

6.关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? [1, ??) 恒成立,则 a 的取值范围是



.

? x ≤ 0, ? 7.记不等式组 ?3 x ? y ? 4 ≥ 0, 所表示的区域为 D .若直线 y ? k ( x ? 2) 与 D 有公共点,则 ?x ? 3y ? 4 ≤ 0 ?

整数 k 的值为



.

8.已知点 N (2, 0) ,圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 36 ,点 A 是圆 M 上一动点,线段 AN 的垂直平分 线交直线 AM 于点 P ,则点 P 的轨迹方程是 9.函数 f ( x) ? f '(1) ln ▲ ▲ . .

1 ? e3 x ?3 ,则 f '(1) = 2x ? 1

10.已知集合 A ? {x | 2 ? a ≤ x ≤ 2 ? a} , B ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ≤ 0} .若“ x ? A ”是“ x ? B ”的 必要条件,则实数 a 的取值范围为
3



. ▲ .

11.若函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x 在 (1, ??) 是增函数,则 a 的取值范围是 12.已知数列 {an } 满足: a1 为正整数,且 an ?1

? an an 为偶数, ? , ?? 2 如果 a1 ? a2 ? a3 ? 29 , ?3a ? 1, a 为奇数. n ? n

则 a1 ?



.
高二数学试题(选修物理) 第 1 页 (共 8 页)

13.椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA1 斜率的取值范 2
▲ .

围是 [1, 2] ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是

14.等差数列的前 n 项的和为 Sn ,已知 S4 ? ?8 , S10 ? 0 ,则 nS n 的最小值是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a ? b cos C ?

3 c sin B . 3

(1)求 B 的大小; (2)若 b ? 2 , c ? 1 ,求 a .

16. (本题满分 14 分) 在三棱锥 S ? ABC 中,底面是边长为 2 3 的正三角形,点 S 在底面 ABC 上的射影 O 是

AC 中点,侧棱 SB 和底面成 45 ? 角.
(1)若 D 为 SB 的中点,求 AB , CD 所成角的余弦值; (2)求二面角 S ? BC ? A 的平面角的余弦值. A

S D O C

B (第 16 题图)

高二数学试题(选修物理) 第 2 页 (共 8 页)

17. (本题满分 14 分) 如图, 在 ?ABC ? 600 ,?C ? 90? ,BC ? 40 米的直角三角形地块中划出一块矩形 CDEF 地块进行绿化. (1)若要使矩形地块的面积不小于 300 3 平方米,求 CF 长的取值范围; (2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路 MN ,把矩形地块分成面积为 1:3 的两部分,且点 M 在边 CF 上,点 N 在边 CD 上,求 MN 的最小值. A

E

D

B

F

C

(第 17 题图) 18. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? Sn ? n ? 1 (n ? N*). (1)证明数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)设数列 {cn } 满足 cn ?
1 a n ?1 ? 1 a n a n ?1

,Wn 为其前 n 项和,求使 Wn ?

2013 成立的最大的 2014

n 的值.

高二数学试题(选修物理) 第 3 页 (共 8 页)

19. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,点 P(1, ) 在椭圆上,过点 P 任作两条斜率互为 2 a b 2

相反数的动直线 PA ,PB ,分别交椭圆 C 于 A ,B 两点.当直线 PA 过坐标原点 O 时, 直线 PB 恰好过椭圆 C 的右顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当线段 AB 取最大值时,求 ?APB 的正切值. y

·
O

P

x

(第 19 题图)

20. (本题满分 16 分) 已知 a ?R,函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 6a ? 2 . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 f ( x) 的最大值.

高二数学试题(选修物理) 第 4 页 (共 8 页)

高二数学答案(选修物理)
一、填空题 1. x ? 2 y ? 0 5. [?1,1] 10. [1, ??) 二、解答题 15.解: (1)因为 a ? b cos C ?
3 c sin B , 3

2.若 a ? 2 不是偶数,则 a 不是偶数 7. ?2 或 ?1

3. x ? ?

3 2

4.

? 6

6. ?0,??? 11. [?2, ??)

8.

x2 y2 ? ?1 9 5
1 1 ,? ] 2 4

9.

9 5

12.5

13. [?

14. ?49

由正弦定理得 sin A ? sin B cos C ?

3 sin C sin B , 3 又 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ,

………………2 分 ………………6 分 ………………8 分

所以有 cos B ?

3 sin B , 3

即 tan B ? 3 ,所以 B ? 60? .

(2)由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos 60? ,即 a 2 ? a ? 3 ? 0 , ………………10 分 解得 a ?
1 ? 13 1 ? 13 (a ? 舍) . 2 2

………………14 分

16.解: (1)以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OS 为 z 轴建立空间直角坐标系. 由题意知∠SBO=45° , OB ? 3 ,所以 SO=3. ∴A(0,? 3 ,0),B(3,0,0),C(0, 3 ,0),S(0,0,3). 所以 AB =(3, 3 ,0), D ( , 0, ) , CD ? ( , ? 3, ) . ………………3 分 ………………5 分

3 2

3 2

3 2

3 2

9 ?3 10 2 ? 设 AB , CD 所成角为 ? ,则 cos ? ? , 20 9 12 ?3 2
S 即 AB , CD 所成角的余弦值为

z

10 . 20

………………8 分 D A x B O C y

(2)平面 ACB 的法向量为 n1=(0,0,1). 设平面 SBC 的法向量 n2=(x,y,z),
高二数学试题(选修物理) 第 5 页 (共 8 页)

则?

?3x ? 3 z ? 0, ? ? ? x ? z, 解得 ? 取 n2=(1, 3 ,1),………………11 分 3 y ? 3 z ? 0, y ? 3 z , ? ? ? ?
1? 0 ? 3 ? 0 ? 1?1 1 ? 1 ? ( 3)
2 2 2

所以 cos<n1,n2>=

? 1 , 5

又显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的平面角的余弦值为 5 .

5

………………14 分

17.解: (1)设 CF ? x ,则 BF ? 40 ? x . 因为 ?ABC ? 60 ,所以 EF ? 3(40 ? x) , SCDEF ? 3x(40 ? x) .………………2 分
0

由于矩形地块的面积不小于 300 3 ,所以有 3x(40 ? x) ? 300 3 , 解得 CF 长度的取值范围为 ?10,30? . (2)由(1)可知 SCDEF ? 3x(40 ? x) ≤ 3( …………………6 分

x ? 40 ? x 2 , ) ? 400 3 ( x ? (0,40) ) 2

当 x ? 20 时取最大值.所以矩形地块的面积最大值为 400 3 ; …………………8 分 当矩形面积被分为两块的面积之比为 1:3 时,则有 S CMN ?

1 S CDF = 100 3 . 2

设 CM ? m , CN ? n ,则有 mn ? 200 3 (0 ? m ? 20 , 0 ? n ? 20) ………………10 分 所以 MN ? 分 18.解: (1) an?1 ? S n ? n ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? S n?1 ? n , 则有 an?1 ? an ? an ? 1,即 an?1 ? 2an ? 1,所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) .………………4 分 又 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,

m2 ? n 2 ? 2mn = 20 4 3 .当且仅当 m ? n ? 200 3 时取最小值.……14

a2 ? 1 ? 2 .所以数列 ?an ? 1? 是公比为 2 的等比数列.………16 分 a1 ? 1
1 an?1 ? 1 1 1 (1 ? ) = a n an?1 a n ?1 an
…………………10 分 以
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(2)由(1)得 an ? 2 n ? 1 ,则 cn ?

=

1 2 n ?1 ? 1

(1 ?

1 1 1 2n ) ? n ?1 = = n . n n ?1 n 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1



Wn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn =
=1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

2013 . 2 ? 1 2014 1 1 n ?1 ? 即 n ?1 ,解得 2 ? 2015, 2 ? 1 2014 2013 所以 n ? 9 ,满足 Wn ? 的最大的 n 的值为 9. 2014
n ?1

1

?

…………………14 分 …………………16 分

19.解: (1)设直线 PA , PB 的斜率分别为 k1 , k2 . 当 k1 ?

3 3 , k2 ? 时, k1 ? k 2 ? 0 ,得 a ? 2 . 2 2(1 ? a) 3 2

又因为椭圆过点 P (1, ) ,解得 b ?

3.
…………………4 分

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

3 3 ? k ( x ? 1) , PB 的方程为 y ? ? ? k ( x ? 1) . 2 2 3 3 9 ( y ? ) 2 ? 3( y ? ) ? x2 y2 ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 2 2 4 ? 1, ? ? 1 变形可得 由 ? 4 3 4 3 x ?1 1 1 2 ? ? k ( x ? 1) ? k ? 0 , …………………6 分 把直线 PA 的方程代入上式可得 4 2 3
(2)设直线 PA 的方程为 y ?

1 ? ? ?k ? ?6 ? 12k 2 , ? x1 ? 1 ? 1 1 ? ?6 ? 12k 3 ?6k ? 12k 2 3 ? 4k 2 ? 2 ? k , ? ). 可得 ? 可得 A(1 ? 4 3 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 2 ? 3 ?6k ? 12k 2 ? y ? ? , 1 ? 2 3 ? 4k 2 ?
? x2 ? 1 ? ? ? 同理可得 ? ?y ? 3 ? 2 ? 2 ? ?6 ? 12k , ?6 ? 12k 3 6k ? 12k 2 3 ? 4k 2 B (1 ? , ? ) ,……………10 分 即 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 2 6k ? 12k 2 , 3 ? 4k 2

高二数学试题(选修物理) 第 7 页 (共 8 页)

则弦 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ?

12 5 k 3 ? 4k
2

=

12 5 12 5 ? ? 15 , 3 2 12 ? 4k k
…………………12 分

当且仅当 k ? ?

3 时,取最大值. 2 3 , 2

设直线 PA 的倾斜角为 ? ,则 tan? ?

…………………14 分

? ? 2? ) ? ? tan2? = ? 则 tan?APB ? tan(

2 tan ? = ? 4 3 .…………………16 分 1 ? tan 2 ?

20.解: (1)由题意 f '( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3a ,故 f '(0) ? 3a . 又 f (0) ? ?6a ? 2 ,所以切线方程为 y ? 6a ? 2 ? 3ax ,即 y ? 3ax ? 6a ? 2 .………4 分 (2)由于 f '( x) ? 3( x ? 1)2 ? 3(a ? 1) , 0 ≤ x ≤ 2 ,所以 当 a ≤ 0 时, f '( x) ≤ 0 ,此时 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递减, 故 f ( x)max ? f (0) ? 2 ? 6a ; 当 a ? 1 时, f '( x) ≥ 0 ,此时 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增, 故 f ( x)max ? f (2) ? ?2 . …………………8 分 …………………6 分

当 0 ? a ? 1 时,设 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ,则 0 ? x1 ? x2 ? 2 .……………10 分

f ( x1 ) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3a ,令 1 ? a ? t ? (0,1) ,则 f ( x1 ) ? 2t 3 ? 3t 2 ? 3 .
当 2t 3 ? 3t 2 ? 3 ? f (2) ? ?2 时,解得 t ? 即当 0 ? a ? 当1 ? a ?

1 1 .于是 t ? 时, f ( x1 ) ? ?2 , 2 2

3 时, f ( x1 ) ? f (2) ,所以 f ( x)max ? f ( x1 ) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3a ; 4
…………………14 分

3 时, f ( x1 ) ? f (2) ,所以 f ( x)max ? f (2) ? ?2 . 4

综上所述, f ( x) max

3 ? a? , ? ?2, 4 ? 3 ? ? ?2(1 ? a ) 1 ? a ? 3a, 0 ? a ? , 4 ? a ? 0. ? 2 ? 6 a, ? ?

…………………16 分

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