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天津市五区县2013届高三质量检查试卷(一)理科数学 Word版含答案


天津市五区县 201 3 年高三质量调查试卷(一)
数 学(理工类)
本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟,第 1 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页, 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时,考生务必将答案涂 写在答题卡上,答在试卷上的无效, 祝各位考生考试顺利 l 一、

选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) i 是虚数单位,复数 (A) 2 ? i (C) 1 ? 2 i
3? i 1? i

等于

(B) 2 ? i (D) 1 ? 2 i
1 x ? 2 "的

(2)设 x∈R,则“x>0"是“ x ?

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 当输入的值为 10 时,输出 S 的值为 (A) 45 (B) 49 (C) 52 (D) 54 (4)在 ( x ? (A) 40 (C) 80
2 x ) 的二项展开式中, x 的系数为
5

2

(B) -40 (D) -80
1 a1 ? 1 a2 ? ??? ? 1 a5 ? 3 ,则 a 3 ?

(5)在等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 5 ? 2 7 , (A)±9 (C)±3 (B)9 (D)3

(6)设△ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? 2 , b ? 3, c o s C ?
15 4 6 4 15 8 6 4
?

1 4

,则 sinA=

(A)

(B)

( C)

(D)

? (7)直角三角形 ABC 中, C ? 9 0 , A B ? 2 , A C ? 1 , D 在斜边 AB 上, A D ? ? A B , ? ? R , 点 且

????

??? ?

若 C D ? C B ? 2 ,则 ? ? (A)
1 2

???? ??? ?

(B)
3

1 3

(C)

(D)

2 3

3

(8)定义在 R 上奇函数, f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 1 ) ? f ( 3 ? x ),若 f (1 ) ? ? 2 ,则
2012f (2012? ) 2 0 1 f3 (2 0 1?) 3

(A) -4026 (C) -4024

(B) 4026 (D) 4024

天津市五区县 201 3 年高三质量调查试卷(一) 数学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某奥运代表团由 112 名男运动员, 名女运动员和 28 名教练员组成, 84 现拟采用分层抽样的 方法抽出一个容量为 32 的样本,则女运动员应抽取_______人. (10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______. (11)已知集合 A ? ? x ? R | x ? 1 ? 2 ? ,集合
B ?

?

x? R |

2

x ?(

a ?1 ) x ?

a ? 0 A ? B ? (3, 5 ) ? ,若

则实数 a=______. (12)若直线 x - y+t=0 被曲线 ?
? x ? 1 ? 4 cos ? ? y ? 3 ? 4 s in ?

( ? 为参数)截得的

弦长为 4 2 ,则实数 t 的值为______。 (13)如图,在 ? O 中,CD 垂直于直径 AB,垂足为 D, DE ? BC,垂足为 E,若 AB =8, C E ? C B ? 7 , 则 AD=____. (14) 设 函 数
? ? x ? 1 (x ? 0 ) ? f (x) ? ? 2 ? x ? bx ? c(x ? 0 ?
2



f ( ? 3 ) ? f ( ? 1), f ( ? 2 ) ? ? 3 ,则关于 x 的方程 f ( x ) ? x 的解的个数为_______个,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? s in 2 x ? a c o s x , a , a 为常数, a ? R ,且 f (
2

?
4

) ? 0.

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期。
? ? 1 1? ?

, (Ⅱ)当 x ? ? 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值, ? ? 24 24 ?

(16)(本小题满分 13 分) 一盒中装有 9 个大小质地相同的小球,其中红球 4 个,标号分别为 0,1,2,3;白球 3 个,标号分别为 0,1,2;黑球 2 个,标号分别为 0,l;现从盒中不放回地摸出 2 个小球. (I)求两球颜色不同且标号之和为 3 的概率; .. (Ⅱ)记所摸出的两球标号之积为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. .. (17)(本小题满分 13 分) 在三棱锥 S -ABC 中, ? A B C 是边长为 2 的正三角形,平面 SAC ? 平面 ABC, S A ? S C ?
3 ,E,F 分别为 AB、SB 的中点.

(I)证明:AC ? SB; (Ⅱ)求锐二面角 F -CE –B 的余弦值; (Ⅲ)求 B 点到平面 CEF 的距离. 18. (本小题满分 13 分) 已 知 数 列 ? a n ? 中 a1 ? 2 , a n ?1 ? 2 ?
1 an

, 数 列 ?bn ? 中

bn ?

1 an ? 1

。其中 n ? N .

?

(I)求证:数列 ? b n ? 是等差数列: (Ⅱ)设 S n 最是数列 ? b n ? 的前 n 项和,求
?3 ? ?1 ? 1 S1 ? 1 S2 ? ... ? 1 Sn



(Ⅲ)设 T n 是数列 ? ( ) ? b n ? 的前 n 项和,求证: T n ?
n

? 1

? ?

3 4



? 3

(19)(本小题满分 14 分) 设椭圆的中心在坐标原点, 对称轴是坐标轴, 一个顶点为 A ( 0 , 2 ) , 右焦点 F 到点 B ( 2 , 2 ) 的距离为 2. (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)设经过点(0,-3)的直线 Z 与椭圆相交于不同两点 M,N 满足 A M ? A N ,试
???? ? ????

求直线 l 的方程. (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程为 6x+3y -10=0,且对任意
3 2

的 x ? ? 0 , ? ? ? f '( x ) ? k ln ( x ? 1) 恒成立. (I)求 a,b 的值; (Ⅱ)求实数 k 的最小值;
n

(Ⅲ)证明: ?
i ?1

1 i

? ln ( n ? 1) ? 2 ( n ? N ) .

?

天津市五区县 2013 年高三质量调查试卷参考答案 数 学(理工类)
(6)C (7)D (8)A 一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分. (1)B (2)C (3)D (4)A (5)C

二、填空题:每小题 5 分,共 30 分. (9)12 (10) 3 6 ? (11)5 (12) - 2 或 6 (13)1 三、解答题 (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 f (
1

(14)3

? 4

)= s in

? 2

+ a cos

2

? 4

? 0

即 1 + a = ,………………………………………………………………2 分 0
2

所以 a = - 2
2 所以 f ( x ) ? s i n x
2

………………………………………………3 分
2 c ox s = sx i n 2 - c o ……………………4 分 x s 2 1

=

2 s i n x( -2

? 4

-

)

1

…………………………………5 分 …………………………………6 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 π
? ? 11? ? ? ? ? 2? ?

, (Ⅱ)由 x ? ? ,得 2 x - ? ? - , ? …………………………………7 分 ? 4 ? 24 24 ? ? 6 3 ? ? 4 ? 1 ? ?) - , 1 ……………………………………………………9 分 ? 2 ? ? ? ? 4 2 2

则 s i n (x 2

所以 -

2 2

-1≤

2 s ixn (

- )≤ 1

-

2 …………………………………11 分 1

所以函数 y ? f ( x ) 的最大值为 2 - 1 ;最小值为 -

- 1 …………………13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)从盒中不放回地摸出 2 个小球的所有可能情况有 C 92
? 36



………… 2 分

颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 ………………………………… 4 分 ∴P
? 6 36 ? 1 6

…………………………………………… 5 分

(Ⅱ) 依题意 ? 的可取值为 0,1,2,3,4,6

P (? ? 0 ) ?

C 3C 6 ? C 3
1 1

2

?

21 36

?

7 12



………………………………………………6 分 ………………………………………………7 分 ………………………………………………8 分 ………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分

36 P ( ? ? 1) ? C3
2

?
1

1 12 ? 1 12

; 1 6 ;

36 P (? ? 2 ) ? C 2C 3 36 P (? ? 3 ) ? C3
1 1



?

36

P (? ? 4 ) ?

1 36


1

P (? ? 6 ) ?

C2

?

1 18

………………………………………………11 分 0
7

36

?

1
1 12

2
1 6

3
1 12

4
1 36

6
1 18

P

12

(不列表不扣分)
E? ? 7 12 ?0? 1 12 ?1? 1 6 ?2? 1 12 ?3? 1 36 ?4? 1 18 ?6? 10 9

…………………13 分

(17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)法一:取 A C 中点 O ,连结 S O , B O . ∵ S A ? S C ,A B ? A C , ∴ A C ? S O 且 A C ? B O , ∴ A C ? 平面 S O B ,又 S B ? 平面 S O B ,∴ A C ? S B …………………………3 分 法二:取 A C 中点 O ,以 O 为原点, z S 分别以 O A 、 O B 、 O S 为 x 轴、 y 轴、 z 轴, F 建立空间直角坐标系,则 A (1,0 ,0 ) , B ( 0 , 3 ,0 ) O
S ( 0 ,0 , 2 )

C A x B E y

,E( ,
2

1

3 2

,0 ) , F ( 0 ,

3 2

,

2 2

) , C ( - 1,0 ,0 )

???? ??? ∴ A C ? ( - 2 ,0 ,0 ) , S B ? ( 0 , 3 ,? ???? ??? ? A C ? S B ? ( ? 2 ,0 ,0 ) ? ( 0 , 3 ,?

2)

2) ? 0

∴ AC ? SB .

……………………………………………………………………3 分
3 2 ???? 1 2 ,0 ) , E F ? ( ? ,0 , ), 2 2 2 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 C E ? ( ,

??? ?

? ? ??? ? 3 3 CE ?n ? x? y ? 0 ? ? 2 2 设 n ? ( x , y , z ) 为平面 C E F 的一个法向量,则 ? ???? ? 1 2 ? EF ?n ? ? x ? z ? 0 ? ? 2 2

取 z =1 , x = 2 , y ? ? 6 . ∴ n ? ( 2 , ? 6 ,1) . …………………………………………………………6 分
? ??? ? ? ??? ? n? O S 1 ∴ c o s n , O S ? ? ??? ? ? n ? O S 3

??? ? 又 O S ? ( 0 ,0 , 2 ) 为平面 A B C 的一个法向量,

∴二面角 F ? C E ? B 的余弦值为
??? ? 1 2

1 3


3

………………………………………9 分

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 E B ? ( ?

,

? ,0 ) , n ? (

2 ,?

6 ,1)

为平面 C E F 的一个法向量

2

∴点 B 到平面 C E F 的距离

? ??? ? n ? EB 2 2 d ? ? ? 3 n

……………………………13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) b n ? 1 ?
1 a n ?1 ? 1 ? 1 1? 1 an
1 an ? 1

?

an an ? 1



………………………………1 分



bn ?





bn ?1 ? bn ?

an an ? 1

?

1 an ? 1 1 a1 ? 1

? 1.n ? N

*

…………………………3 分



{ b n }是首项为 b1 ?

? 1 ,公差为 1 的等差数列.

…………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 b n ? n , ………………………………………………………5 分
1 3 bn ?
1 Sn

1 3

n. ? S n ?
6 n ( n ? 1)

1 3

(1 ? 2 ? ? ? n ) ?
1 n 1 n ?1

n ( n ? 1) 6

,

…………………………………6 分

于是

?

=6(

?

),

…………………………………………7 分

故有

1 S1

?

1 S2

?? ?

1 Sn

? 6 (1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

1 n ?1

)

=6 (1 ?

1 n ?1

) ?

6n n ?1
1

…………………………………9 分 ……………………………10 分

(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知 ( ) ? b n ? n ? ( ) n ,
n

1

3

3

则Tn ? 1 ?
1

1

1 2 1 n ? 2 ?( ) ?? ? n ?( ) . 3 3 3

1 n ?1 ?1? . ∴ Tn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ( ) 3 3 3 3 ?3? 1
2

1

n

3

…………11 分



2 3

Tn ?

1

1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ? ( ) ? ( ) +…+ ( ) ? n ? ( ) 3 3 3 3 3

?

1 ? 1 n? 1 n ?1 1? ( ) ? n ?( ) , ? ? 2 ? 3 ? 3



Tn ?

3 4

?

1 4

(

1 n ?1 n 1 n ) ? ? ( )? 3 2 3


4

3

………………………13 分

(19) (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b
2

2 2

? 1(a ? b ? 0 ),

则其右焦点坐标为 F ( c , 0 ) , c ? 由 | FB | ? 2 ,得 ( c ? 即 (c ?
2

a

?b
2

2

, ………………………………1 分

2 ) ? (0 ?
2

2)

? 2 ,

2 ) ? 2 ? 4 ,故 c ? 2
2

2 .

…………………………………………2 分

又∵ b ? 2 ,

∴ a ? 1 2 , ……………………………………………………3 分

∴所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

12

4

?1.

……………………4 分 ……………………5 分

(Ⅱ)由题意可设直线 l 的方程为 y ? k x ? 3 ( k ? 0 ) , 由 | AM | ? | AN | ,知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,
? y ? kx ? 3 ? 2 由? x2 y ? ?1 ? 4 ? 12
2 2

得 x ? 3(kx - 3) ? 1 2
2 2

即 (1 ? 3 k ) x - 1 8 k x ? 1 5 ? 0 ……(*)

………………………………………6 分

? = ( - 1 8 k ) - 4 (1 ? 3 k ) ? 1 5 ? 1 4 4 k
2 2

2

- 60 ? 0

即k >
2

5 12

时方程(*)有两个不相等的实数根

…………………………7 分

设 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x 0 , y 0 ) 则 x 1 , x 2 是方程(*)的两个不等的实根,故有 x 1 ? x 2 ?
x1 ? x 2 2 9k 1 ? 3k
2

18k 1 ? 3k
2

2

…………8 分
-3 1 ? 3k
2

从而有 x 0 ?

?

, y0 ? kx0 - 3 ?

9k

2

- 3 (1 ? 3 k ) 1 ? 3k
2

?

于是,可得线段 M N 的中点 P 的坐标为 P (

9k 1 ? 3k
2

-3 , ) 2 1 ? 3k

………………9 分

-3

又由于 k ? 0 ,因此直线 A P 的斜率为 k 1 ? 1 ? 3 k 9k

2

-2 ?
2

-5 - 6k 9k

2

………10 分

1 ? 3k

由 A P ? M N ,得

-5 - 6k 9k

2

? k ? -1

…………………………11 分

即 5 ? 6 k ? 9 ,解得 k ?
2

2

2 3

?

5 12
6 3

,∴ k ? ?

6 3

, …………………………12 分

∴所求直线 l 的方程为: y ? ?

x-3.

…………………………14 分

方法二:设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 ( k ? 0 ) , ………………………………5 分
? y ? kx ? 3 ? 2 则? x2 y ? ?1 ? 4 ? 12

得: (1 ? 3 k ) x ? 1 8 k x ? 1 5 ? 0
2 2

………………………………………6 分

由 ? ? 144k - 60 ? 0
2

18k ? x ? x2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3k 设 M ( x 1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 由韦达定理得 ? 15 ?x x ? 1 2 2 ? 1 ? 3k ?
2 2 2



……………8 分

又 | AM | 2 ? | AN | 2 ,则 x 1 ? ( y 1 ? 2 ) ? x 2 ? ( y 2 ? 2 )

2

……………9 分

移项得: k =

y 2 ? y1 x 2 ? x1

=-

x 2 ? x1 y 2 ? y1 ? 4

=-

x 2 ? x1 k ( x 2 ? x1 ) ? 1 0

=-
k ?

1 1 0 (1 ? 3 k )
2

18k
6 3

解得 k ? ?



…………………………………………………………12 分

此时△>0 适合题意, ∴所求直线 l 的方程为: y =±
6 3
x

-3

…………………………………14 分

(20) (本小题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x , f ? ( 2 ) ? ? 2 , ∴ 1 2 a ? 4 b ? ? 2 ①

………………1 分 ………………2 分

将 x ? 2 代入直线方程得 y ? ? ①②联立,解得 a ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? ?
2 2

2 3

,∴ 8 a ? 4 b ? ?
,b ? 1 2 1 2 x
2

2 3



1 3

……………………………………………4 分

1 3

x ?
3

f ? ( x ) = ? x ? x ,∴ ? x ? x ? k ln ( x ? 1) 在 x ? ? 0 , ? ? ? 上恒成立;

即 x ? x ? k ln ( x ? 1) ? 0 在 x ? ? 0 , ? ? ? 恒成立;
2
2 设 g ( x ) ? x ? x ? k ln ( x ? 1) , g ( 0 ) ? 0 ,

………………………………5 分

∴只需证对于任意的 x ? ? 0 , ? ? ? 有 g ( x ) ? g ( 0 )
k x ?1 2x ? x ? k ?1
2

…………………………6 分

g ?( x ) ? 2 x ? 1 ?

?

x ?1

, x ? ?0, ??

?

2 设h(x) ? 2 x ? x ? k ? 1 ,

1)当 ? =1 ? 8 ( k ? 1) ? 0 ,即 k ?

9 8

时, h ( x ) ? 0 ,∴ g ? ( x ) ? 0 ……………………………………7 分

g ( x ) 在 ? 0 , ? ? ? 单调递增,∴ g ( x ) ? g ( 0 )

2)当 ? =1 ? 8 ( k ? 1) ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x 2 ? ?
1 2

9 8

2 时,设 x 1 , x 2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x 1 ? x 2

,可知 x 1 ? 0 ,

分析题意可知当 x 2 ? 0 时对任意 x ? ? 0 , ? ? ? 有 g ( x ) ? g ( 0 ) ;

∴ k ? 1 ? 0 , k ? 1 ,∴ 1 ? k ?

9 8

…………………………………8 分 …………………………………9 分
2

综上分析,实数 k 的最小值为 1 .
2

(Ⅲ)令 k ? 1 ,有 ? x ? x ? ln ( x ? 1), 即 x ? x ? ln ( x ? 1) 在 x ? ? 0 , ? ? ? 恒成立…10 分 令x ?
n

1 n

,得

1 n

?

1 n
2

? ln (

1 n

? 1) ?

1 n
2

? ln ( n ? 1) ? ln n

……………………11 分

∴?
i =1

1 i

?1?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

? ( ln 2 ? ln 1) ? ( ln 3 ? ln 2 ) ? ? ? [ ln ( n ? 1) ? ln n ]

= 1?

1 2
2

? 3
?

1
2

?? ? n
1

1

2

?

ln ( n?
1

1)

?1?

1 1? 2

2 ?

?? ? 3 n( ?

? l nn( ? n1 )

1)

? 2 ?

1 n

? l nn(

? 1)
2

? lnn ? 1) ( ?

∴原不等式得证.

……………………………………………………………14 分


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