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数列的通项及求和教案


数列的通项及求和教案

高考定位 高考对本讲知识主要以解答题的形式考查以下两个问题:1.以递推公式或图、表 形式给出条件,求通项公式,考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力, 属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、等比数 列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题. [考点整合] 1.求数列的通项公式 (1)

观察法:利用递推关系写出前几项,根据前几项的特点观察、归纳猜想出 an 的表达式,然后用 数学归纳法证明. (2)利用前 n 项和与通项的关系 an=?
?S1 ? ? ?Sn-Sn-1

?

?n=1?, ?n≥2?.

(3)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (4)在已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+?+f(n)可求,则可用累加法求数列 的通项 an. (5)在已知数列{an}中,满足 通项 an. (6)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列). 2.常见的求和的方法 (1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和.对等比数列利用公式法求和时,一定注意公式 q 是否 取 1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中 {an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求通项为 前 n 项和.其中{an} 若为等差数列,则 1

an+1 =f(n),且 f(1)·f(2)·?·f(n)可求,则可用累积法求数列的 an

anan+1

的数列的

? ? anan+1 d?an an+1?
= -

1

1? 1

1 ?

.

(4)倒序相加法 这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法.将一个数列倒过来排序,它与原数列相加时,若有公 因式可提,并且剩余的项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (5)分组求和法 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个 可以求和的部分,即能分别求和,然后再合并.

热点一 数列的通项问题 [微题型 1] 由 Sn 与 an 的关系式,求 an

2Sn 1 2 2 【例 1-1】 (2013·广东卷节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, =an+1- n -n- ,n n 3 3 ∈N ,求数列{an}的通项公式. ? 规律方法 给出 Sn 与 an 的递推关系,求 an,常用思路是:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2) 转化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间 的关系,再求 an.
*

【微题型 2】 已知 an 与 an+1 的递推关系式求 an 【例 1-2】 已知正项数列{an}满足 a1=1,(n+2)an+1-(n+1)an+anan+1=0,求数列{an}的通项. ? 规律方法 已知 an 与 an+1 的关系式求通项 an 时,常有以下类型:①形如 an+1=an+ f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法;②形如 an+1=an·f(n)(f(n)不是常数)的解决 方法是累乘法;③形如 an+1=pan+q(p,q 均为常数且 p≠1,q≠0)解决方法是将其构造成 一个新的等比数列;④形如 an+1=pan+qn(p,q 均为常数,pq(p-1)≠0)解决方法是在递 推公式两边同除以 qn+1.
2 2

【训练 1】 (2014·湖南卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

n2+n
2

,n∈N .

*

热点二 数列的前 n 项和问题 [微题型 1] 裂项求和
2 2

【例 2-1】(2014·广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn 满足 Sn-(n +n-3)Sn -3(n +n)=0,n∈N . (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 1
2 *

a1?a1+1? a2?a2+1?



1

+?+

1

an?an+1? 3

1 < .

1 1 ? ?. < 探究提高 (1)解决本题的关键是先放缩后裂项求和可得?即 ? ? 2n?2n+1? ?2n-1??2n+1?? (2)裂项相消法的基本思想就是把通项 an 分拆成 an=bn+k-bn(k≥1,k∈N )的形式,从而达到在求和 时某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 {an}的通项公式,使之符合裂项 相消的条件.
*

[微题型 2]

错位相减求和
*

【例 2-2】 (2014·南阳联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N ), (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ?

n

an+1-an

,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.

规律方法 错位相减法适用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等 比数列;所谓“错位” ,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的 和,此时一定要查清其项数.

【训练 2】 (2014·菏泽模拟)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,记 A(n)=a1+a2+?+an, B(n)=a2+a3+?+an+1, C(n)=a3+a4+?+an+2(n∈N*), 若对于任意 n∈N*, A(n), B(n), C(n)成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和.

归纳总结 1.在使用关系式 an=?
?S1,n=1, ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2,n∈N
*

时,一定要注意分 n=1,n≥2 两种情况考虑,求出

结果后, 再分析这两种情况能否整合在一起. 2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型 (1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解. (2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和. (3)分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的 和求解. 提醒:运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的 n+1 项中的前 n 项,哪些项构成等比数 列,以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零. 3.裂项求和的常见技巧 (1) (2) (3) 1 1

n?n+1? n n+1


1 1 = - . 1 ? 1?1 - . - 1 ? .

? ? n?n+k? k?n n+k? ? ? n2-1 2?n-1 n+1?
= 1 1? 1

1 ? 1 1? 1 - (4) 2 = ? ?. 4n -1 2?2n-1 2n+1?


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