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高中数学必修四(综合测试题+详细答案)


必修四

综合练习
( )

1.已知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3),且BC ∥ DA ,则 x+2y 的值为 A.0 B. 2 C. 1
2

D. -2

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP ? ?cos? , si

n? ?,OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P1 P2 长度的 1 最大值是( A. 2 ) B. 3 C. 3 2 D. 2 3

3.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为( A. ?
6

?

?

?

?

? ?

?

?



B. ?
4

C. ?
3

D. ?
2

4.如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? ( A. ? BC ?

)高考资源网

1 1 1 BA C. BC ? BA D. BC ? BA 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 5.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则 ? =( )
B. ? BC ?

1 BA 2

?

?

A.0 6.已知向量 a ? A. ? 3 , 1 ? ? ? ? 2 2?
? ?

B.-1

C.-2

D.0.5
3 ,则 b =(

? 3,1?, b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ?
B. ? 1 , 3 ? ? ?
?2 ? 2 ? ?



C. ? 1 , 3 ?
?4 ?

3? ? 4 ? ?

D. (1,0)

??? ? ??? ? ???? ??? ? 7.在 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 ? 等 于(
A. a ? (b ? a)
a ?b
2



B. a ? (a ? b) 2 a ?b

C. a ? (b ? a) a ?b

D. a ? (a ? b)
a ?b

?? ? 8.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m ? ? b ? c, c ? a ? , n ? ? b, c ? a ? ,
若向量 m ? n ,则角 A 的大小为 ( A. ?
6

?? ?

?

)高考资源网 C.
? 2

B. ?
3

D. 2?
3

9.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,且有 BC ? ?CE, 若 AB ? 2 AC 则 ? 等于( A 2 B
1 2

??? ?

??? ?



C

-3

D

- 1 高考资源网
3

10.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是(
1



A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. (?

2? 3 , ) 3 2

D. ( ? , ? 3) 3 )

11. (1 ? tan 210 )(1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 )(1 ? tan 240 ) 的值是( A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
2

cos x 12.当 0 ? x ? ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是( 4 cos x sin x ? sin 2 x
A. 4 B.



1 1 C. 2 D. 4 2 ? ? ? ? 13.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 __________. ? ? ? ? ? 14.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? ______________.
15.在 ?AOB 中, OA ? (2 cos? ,2 sin ? ), OB ? (5 cos? ,5sin ? ) ,若 OA ? OB ? ?5 ,则 ?AOB 的面积为___. 16. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是 17. ? ABC 中, sin A ? 3 , cos B ? 5 ,则 cos C =
5
13
?

________. ___________.

18.已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =________________. 3 2
? ? 2? ?

19.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ?0, ? ? 上的最小值为

_______.

20.函数 y ? (a cos x ? b sin x)cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a ? ______, b ? ______. 21.已知|a|= 2 ,|b|=3,向量 a 与向量 b 夹角为 45 ,求使向量 a+ ? b 与 ? a+b 的夹角是锐角时,
?

? 的取值范围

22.已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0,

?
2

).

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? 10 , 0 ? ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

23.已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). 若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

?

?

?

?

2

24. 求函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin x 在 ? ?

? ? ?? 上的最值. , ? 2 2? ?

25.已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0, ,若 BC ? a , CA ? b 且 a, b 满足:

??? ?

?

??? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? a ? ? ?9 , a ? 3, b ? 5 , ? 为 a, b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。 b

26.已知 0 ? x ?

?
4

, sin(

?
4

? x) ?

5 ,求 13

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值。

27.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

3

大题参考答案 21、解:∵ |a|= 2 ,|b|=3 ,a 与 b 夹角为 45 ∴ a ? b ?| a || b | cos 45? ? 3 2 ?
2 2 2 2 2
?

2 ?3 2

而(a+ ? b)( ? a+b)= ?a ? ab ? ? ba ? ?b ? 2? ? 3 ? 3? ? 9? ? 3? ? 11? ? 3 · 要使向量 a+ ? b 与 ? a+b 的夹角是锐角,则(a+ ? b)( ? a+b)>0 即 3?2 ? 11? ? 3 ? 0 · 从而得 ? ? ? 11? 85 或? ? ? 11? 85
6 6

23、解: 由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5,

?

?

所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin 2 ? ? 5.

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ? ? ) ? ? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知,
4 2

?
4

? 2? ?

?
4

?

9? , 4

所以 2? ? ? ? 5? ,或 2? ? ? ? 7? .
4 4
4 4

因此 ? ? ? ,或 ? ? 3? .
2

4

? ? ? ? ? 5 26、解:? ( ? x) ? ( ? x) ? ,? cos( ? x) ? sin( ? x) ? , 4 4 2 4 4 13
而 cos 2 x ? sin( ? ? 2 x) ? sin 2( ? ? x) ? 2sin( ? ? x) cos( ? ? x) ? 120
2 4 4 4 169

120 12 ? ? 169 ? 。 ? 5 13 cos( ? x) 4 13 cos 2 x
27、解: f ( x) ? 1 a sin 2 x ? 3a (1 ? cos 2 x) ? 3 a ? b ? a sin 2 x ? 3a cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ? ) ? b 2 2 2 2 2 3 (1) 2k? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 3? , k? ? 5? ? x ? k? ? 11? ?[k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 为所求
2 3 2 12 12
12 12

(2) 0 ? x ? ? , ? ? ? 2 x ? ? ? 2? , ? 3 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 2 3 3 3 2 3
f ( x)min ? ? 3 a ? b ? ?2, f ( x)max ? a ? b ? 3, 2

? 3 ? a ? b ? ?2 ? a ? 2 ?? ?? ? 2 ?b ? ?2 ? 3 ? ?a ? b ? 3 ?

4


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