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福建省福州三中2009-2010学年高二下学期期末考试文科数学试题


福州三中 2009—2010 学年度高二第二学期期末考试

数 学 试 题(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 。 、 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? { x | x ? 4 ? 0}, 则 CU M ?
2





A. { x | ?2 ? x ? 2} C. { x | x ? ?2或x ? 2} 2.下列命题中,真命题是

B. { x | ?2 ? x ? 2} D. { x | x ? ?2或x ? 2} (
2



A. ?m ? R ,使函数 f ( x ) ? x ? mx ( x ? R ) 是偶函数 B. ?m ? R ,使函数 f ( x ) ? x ? mx ( x ? R ) 是奇函数
2

C. ?m ? R ,使函数 f ( x ) ? x ? mx ( x ? R ) 都是偶函数
2

D. ?m ? R ,使函数 f ( x ) ? x ? mx ( x ? R ) 都是奇函数
2

3.若 角 ? 的终边经过点 P (?

2 3

,

5 3

) ,则 tan ? cos ? 等于





A. ?

2 3

B.
2

2 3

C. ?
2

5 3

D.

5 3
( )

4.已知 tan ? ? 2, 则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? = A. ?

4 3
2

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5
( )

5.函数 f ( x ) ? x ? mx ? 1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 A.m=-2
2

B.m=2

C.m=-1

D.m=1 ( )

6.函数 y ? sin x ? sin x ? 1 的值域为 A.[-1,1] 7 .函数 y ? B. [ ?

5 4

, ? 1]

C. [?

5 4

,1]

D. [? 1, ]

5

4

1 log 0.5 ( 4 x ? 3)

的定义域为





A. ( ,1)

3 4

B. ( , ? )

3 4

C. (1,?? )
x

D. ( ,1) ? (1,?? )

3 4

8.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b (b 为常数) ,则 f (?1) = ( A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( D. (3,4) ( D. y ? ?2 x ? 2 ( C.20 D.10 ) ) ) 9.若 x 0 是方程式 log 2 x ? x ? 4 的解,则 x 0 属于区间 A. (0,1)
3



B. (1,2)

C. (2,3)

10.曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 A. y ? x ? 1 11.设 2 ? 5 ? m, 且
a b

B. y ? ? x ? 1

C. y ? 2 x ? 2

1 a

?

1 b

? 2, 则 m ?

A. 10

B.10

12.在集合 {a , b, c, d } 上定义两种运算 ? 和*如下

那么 d ? ( a?c ) ? A.a B.b C.c D.d 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上。 13.已知集合 A ? {1,2,3}, B ? {2, m,4}, A ? B ? {2,3}, 则m ? 14.命题“存在 x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ” 的否定是
2
x





。 。 。

15.若直线 y=2a 与函数 y ?| a ? 1 | ( a ? 0且 a ? 1) 有两个不同的公共点,则 a 的取值范围是 16.已知函数 f ( x ) ? log 2 x, 令g ( x ) ? f (1? | x |) ,则关于函数 g (x ) 有下列命题: ①g(x)的图象关于原点对称; ②g(x)的图象关于 y 轴对称; ③g(x)的最小值为 0; ④g(x)在区间(-1,0)上单调递增。 其中正确的命题是 (把正确命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. (本小题满分 12 分) 设 p:指数函数 f ( x ) ? ( a ? 1) 在 R 上是增函数;q:函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? 1 的图象在 x 轴的
x 2

上方。若 p 且 q 为真,求实数 a 的取值范围。

[来源:Z|xx|k.Com]

18. (本小题满分 12 分) 已知 sin ?是方程 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 的根, ? 是第三象限,求
2

sin(? ?

3 2

? ) cos(? ? ? ) tan(? ? ? ) 的值。

19. (本小题满分 12 分) 已知 0 ? x ? 2, 函数 f ( x ) ? 9 ? 4 ? 3 ? 6, 求 f ( x ) 的最值及单调区间。
x x

[来源:ZXXK]

20. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? x (

[来源:]

1 ? )( x ? 0). 2 ?1 2
x

1

(1 )判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f ( x ) ? 0

21. (本小题满分 12 分) 经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均 为销售时间 t(天)的函数,且销售量近拟地 满足 f (t ) ? ?2t ? 200 (1 ? t ? 50 , t ? N ) 。前 30 天价 格为 g (t ) ?

1 2

t ? 30

(1 ? t ? 30 , t ? N ) ,后 20 天价格为 g (t ) ? 45 (31 ? t ? 50 , t ? N ).
(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值。

[来源:学。科。网]

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

x , g ( x ) ? a ln x, a ? R.

(I)若曲线 y ? f (x ) 与曲线 y ? g (x ) 相交,且在 交点处有相同 的切线,求 a 的值及该切线的方程; (II)设函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,当 h(x)存在最小值时,求 其最小值 ? (a ) 的解析式; (III)对(II)中的 ? (a ) ,证明:当 a ? (0,?? ) 时, ? (a ) ? 1 .

参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题要求的。 1—6 CADDAC 7—1 2 AACAAA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上 13.3 14.对任意 x ? R ,都有 x ? 2 x ? 5 ? 0
2

15. ( 0, )

1

2

16.②④

[来源:]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解: p : a ? 2
[来源:ZXXK]

q : ? ? ( a ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? ?1 ? a ? 3
因为 p 且 q 为真,所以 ? 所以 2 ? a ? 3 18.解:因为 sin ? 是方程 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,所以 sin ? ? ?
2

?a ? 2 ?? 1 ? a ? 3

3 5

因为 ? 是第三象限角,所以 cos ? ? ? 所以 sin(? ?

4 5

,

3 2

? ) cos(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? cos ? ? ( ? cos ? ) ? tan ?
12 25
2 x

? cos ? ? sin ? ? ?
x

19.解: f ( x ) ? (3 ? 2) ? 2,1 ? 3 ? 9 , 当 3 ? 2, 即 x ? log 3 2时, f ( x ) min ? 2;
x

[来源:]

当 3 ? 9, 即 x ? 2时, f ( x ) max ? 51
x

因为函数 y ? (t ? 2) ? 2在( ?? ,2) 上为减函数,在 ( 2,?? ) 上为增函数,
2

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

y ? 3 x 为增函数
所以 f ( x ) ? (3 ? 2) ? 2 在 (0, log 3 2) 上为减函数,在 (log 3 2,2) 上为增函数
x 2

即 f ( x ) ? 9 ? 4 ? 3 ? 6 的减区间为 (0, log 3 2) ,增 区间为 (log 3 2,2)
x x

20.解: (1)定义域为 ( ?? ,0) ? (0,?? )

f ( x) ? x(

1 2x ?1 ? ) ? x? 2x ?1 2 2 ( 2 x ? 1) 1 2?x ? 1 2 ( 2 ? x ? 1) ? ?x ? 1? 2x 2 (1 ? 2 x ) ? x? 1? 2x 2 ( 2 x ? 1)
[来源:]

f (? x) ? ? x ?

? f ( x)

? f (x ) 为偶函数

(2)当 x ? 0时,2 x ? 1, 所以 x (

1 1 1 ? ) ? 0, 故 f ( x ) ? x ( x ? )?0 2 ?1 2 2 ?1 2
x

1

当 x ? 0时,? x ? 0, 所以 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 所以 f ( x ) ? 0

1 ? ?( ?2t ? 200 )( t ? 30 ),1 ? t ? 30 , t ? N 21.解: (1) S ? ? 2 ? 45 ( ?2t ? 200 ), 31 ? t ? 50 , t ? N ?
? ? t 2 ? 40 t ? 6000 ,1 ? t ? 30 , t ? N ?? ? ? 90 t ? 9000 ,31 ? t ? 50 , t ? N
(2)①当 1 ? t ? 30 , t ? N时, S ? ? (t ? 20 ) ? 6400
2

∴当 t=20 时,S 的最大值 为 6400; ②当 31 ? t ? 50 , t ? N 时, S ? ?90 t ? 9000 为减函数 ∴当 t=31 时,S 的最大值为 6400; ∴当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6400 22.解: (I) f ' ( x ) ?

1 2 x

, g ' ( x) ?

a x

( x ? 0) ,

? x ? a ln x , e ? 2 由已知得 ? 1 a 解得 a ? , x ? e , ? , 2 ? x ?2 x
2 ∴两条曲线交点的坐标为 (e , e) ,切线的斜率为 k ? f ' ( e ) ?
2

1 2e

∴切线的方程为 y ? e ? (II)由条件知 h ( x ) ?

1 2e

( x ? e 2 ), 即 x ? 2ey ? e 2 ? 0

x ? a ln x ( x ? 0)

? h' ( x) ?

1 2 x

?

a x

?

x ? 2a 2x
2

(i)当 a ? 0时, 令h ' ( x ) ? 0, 解得 x ? 4 a

?当 0 ? x ? 4 a 2时, h ' ( x ) ? 0, h ( x )在(0,4 a 2 ) 上递减;
当 x ? 4 a 时, h ' ( x ) ? 0, h ( x )在( 4 a ,?? ) 上递增。
2 2

? x ? 4a 2 是 h( x )在(0,?? ) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点。
∴最小值 ? ( a ) ? h ( 4 a ) ? 2 a ? a ln 4 a ? 2 a (1 ? ln 2 a )
2 2

(ii)当 a ? 0时, h ' ( x ) ?

x ? 2a 2x

? 0, h ( x )在 (0,?? ) 上递增,无最小值。

故 h(x)的最小值 ? (a ) 的解析式为 ? ( a ) ? 2a (1 ? ln 2a )( a ? 0) (III)由(II)知 ? ( a ) ? 2a (1 ? ln 2 ? ln a ). 则 ? ' ( a ) ? ?2 ln 2 a , 令 ? ‘ ( a )解得 a ? 当0 ? a ?

1 2

.

[来源:学|科|网]

1 时, ? ' ( a ) ? 0, ? ? ( a )在(0, ) 上递增, 2 2 1 1 当 a ? 时, ? ' ( a ) ? 0,? ? ( a )在( ? ? ) 上递减。 2 2 1 1 ? ? ( a )在 a ? 处取得最大值 ? ( ) ? 1, 2 2 1 、 ? ? ( a )在(0,?? ) 上有且只有一个极值点,所以 ? ( ) ? 1 也是 ? (a ) 的最大值。 2
? 当a ? (0,?? ) 时,总有 ? ( a ) ? 1.

1


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