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1.2正弦、余弦定理应用举例导学案


1.2 应用举例 学习目标:会用正弦定理和余弦定理解决一些有关的实际问题 学习过程:一、复习 1、正弦定理 (1)定 理 : 在 一 个 三 角 形 中 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 的 比 相 等 , 即 =

a ? sin A

c ? 2R sin C

(2)应用:利用正弦定理可以解决一下两类解三角形问题; 1、已知两角和一边,解三角形; 2、已知两边与其中一边的对角,解三角形。 2、余弦定理 (1)定理: 三角形中任何一边的 等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的 倍。即在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2bc cos A, b ?
2 2 2 2



c2 ?
(2)推论:cosA= cosB=



CosC= (3)应用;利用余弦定理可以解决一下两类解三角形的问题 1、已知三边,解三角形; 2、已知两边及其夹角,解三角形。 3、基线 在测量上,根据需要确定适当的线段叫做基线。一般来说基线越长,测量的精度就越高。 二、阅读教材 P11——P18,解决以下问题 1、距离问题 典型题例 题型一:测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 例题 1:如图所示,在河岸边有一点 A,河对岸有一点 B,要测量 A,B 两点之间的距离,先 在岸边取基线 AC,测得 AC=120m, ?BAC ? 45 ,?BCA ? 75 , A,B 两点间的距离。 求
? ?

总结:如图所示,设 A(可到达),B(不可到达)是地面上两点,要测量 A,B 两点之间的距

离步骤是: (1)取基线 (2)测量

; ; .

(3)用正弦定理解 ?ABC ,得 题型二:测量两个不可到达的点之间的距离问题

例题 2, 如图所示,隔河看到两个目标 A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km,的 C,D 两 点,并测得 ?ACB ? 75 ,?BCD ? 45 ,?ADC ? 30 , ?ADB ? 45 (A,B,C,D 在同一平 面内)求两个目标 A,B 之间的距离。
? ? ? ?

总结:如图所示,不可到达的 A,B 是地面上两点,要测量 A,B 两点之间的距离,步骤是: (1)取基线 ; (2)测量 ; (3)在 ?ACD 中, (4)在 ?ABC 中,利用余弦定理得 2、高度问题 测量中的有关概念 (1)坡角:坡面与斜面的夹角,如图所示, ? 为坡角。 (2)坡比:坡面的铅直高度与水平距离之比,即 i ? ;在 ?BCD 中, ; ..

h ? tan ? ,如图所示。 l

(3)仰角与俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平线下方时叫俯角(如图所示) 典型题例 题型一:测量能看到底部但不可到达的物体的高度 例题 1 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量 点 C 和 D。现测得 ?BCD ? ? , ?BDC ? ? , CD ? s, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求 塔高 AB.

总结: (你学到了什么) 。 题型二:测量不能看到底部且不能到达的物体的高度 例题 2 如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? ,在塔底 C 处测得点 A 的俯角为 ? ,已知铁塔 BC 部分的高为 h,求山高 CD.

总结:(你学到了什么)测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类问 题不能直接用解直角三角形的方法解决, 但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底 部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题。 3、角度问题 测量中的有关概念 (1) 方位角: 指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角。 如点 B 的方向角为 ?(如 图所示) 方位角的其他表示,如: 1、正南方向:指从原点 O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南 的方向线上,以此类推正北方向,正东方向和正西方向。 2、东南方向:指经过目标的射线是正东和正南的夹角度数。 3、北偏东 ? ,指以正北方向为始边,顺时针方向向东旋转 ? 。 (如图 1) 4、南偏西 ? ,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转 ? 。 (如图 2) (2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于 90 的水平角。如南偏西 60 ,指以正 南方向为始边,顺时针方向向西旋转 60 。 典型题例 例题:如图所示:渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里, 渔船乙以 10 海里每小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿 北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好 2 小时追上。 (1) 求渔船甲的速度; (2) 求 sin ? 的值
? ? ? ?

总结: (你学到了什么) 疑问: (你有什么疑问)

。 。


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