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2011届湛江市高三年级摸底考试数学试题(文科)


珠海市 2011 届高三年级摸底考试

数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

-2 -1 0, 2, 4, 6} , ,2 , 01 3, 5, 1 . 全 集 U={-3,,,1, 3, 5, , 集 合 A ? {? 1 , , 3} B ? {-2, 4, 6} , 则

CU ( A ? B) ?
A. {?3}





? B. {?3, 2}
D. {3} ( )

-2 -1 0,2, 5, C. {-3,,,1, 4, 6}
x

2.函数 f ( x) ? log a (2 ? ) ( a ? 0, a ? 1) 的定义域是

1 2

, A A . (1 ? ?)

? B. (??, 1)

1) C. (??,

, D. (?1 ? ?)
( )

3.函数 f ( x) ? a x ? a? x ? 1 , g ( x) ? a x ? a? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则 A. f ( x)、g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数 B. f ( x)、g ( x) 均为奇函数

D. f ( x ) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

4.如右图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( ) A.

4 3 ? 3 3 ? 3

B.

1 ? 2

C.

D.

3 ? 6

正视图

侧视图

俯视图
2 , 5. a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在区间 [?1 ? ?) 上为增函数”的 “





A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D.90 ) )

6.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 18 ? a6 ,则 S8 = A.68 B.72 C.54

7.已知点 A(1, ?2), B(5,6) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a 的值等于( A.-2 或 1 B.1 或 2 C.-2 或-1 D.-1 或 2 8.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ?
第 1 页 共 9 页





C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m 9.抛物线 y ? 4x 2 的焦点到准线的距离为

D.若 l //? , m//? ,则 l //m ( )

1 1 1 B. C. D.4 16 8 4 ? ? ? ? ? ? ? 10.已知 | a |? 2, | b |? 4 ,且 (a ? b ) 与 a 垂直,则 a与b 的夹角是
A.





A. 60 ? B. 90 ? C. 120 ? D. 150 ? 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 .

12 . 在 区 间 ?0,3? 上 任 取 一 个 数 x , 使 得 不 等 式 x ? 3x ? 2 ? 0 成 立 的 概 率
2




0

13.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、b 、c 且 a ? 1 , ?B ? 45 , S?ABC ? 2 , 则b ? .

0) 14. (坐标系与参数方程选做题)圆的半径为 1,圆心的极坐标为 (1, ,则圆的极坐标方程
是 .

15. (几何证明选讲选做题)如图 P 是 ? O 的直径 AB 延长线上一点, PC 与 ? O 相切于点

C , ?APC 的角分线交 AC 于点 Q ,则 ?AQP 的大小为



A Q

O

B

P

C
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

f ( x) ? 3 cos 2

1 1 1 x ? sin x cos x , 2 2 2

0 (Ⅰ)将 f (x) 化为 A sin(?x ? ? ) ? k (? ? 0, ? ? ?
(Ⅱ)写出 f ( x ) 的最值及相应的 x 值; (Ⅲ)若 ?

?
2

) 的形式;

?
3

?? ?

?
6

,且 f (? ) ?

3 3 ? ,求 cos 2? . 5 2

第 2 页 共 9 页

17. (本小题满分 12 分) 某学校共有高一、高二、高三学生 2000 名,各年级男、女生人数如下图:
女生人数 x 373 y 男生人数

377

370 z

高一

高二 高三

年级

高一

高二

高三

年级

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名?

, (Ⅲ)已知 y ? 245 z ? 245 ,求高三年级中女生比男生多的概率. .

18. (本小题满分 14 分) 如图,在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2, AA1 ? 1, E 为 BB1 的中点. (Ⅰ) B1 D // 平面 AEC ; (Ⅱ)求证: AC ? B1 D ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? ACD 的体积.

C1

B1 E

D1 C D
2 2

A1 B

19. (本小题满分 14 分)

A

已知椭圆 C 以 F (?1, ,F2 (1, 为焦点,且离心率 e ? 0) 0) 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过 M (0, 2) 点斜率为 k 的直线 l1 与椭圆 C 有两个不同交点 P 、Q ,求 k 的范围; (Ⅲ)设椭圆 C 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A、B ,是否存在直线 l1 ,满 足(Ⅱ)中的条件且使得向量 OP ? OQ 与 AB 垂直?如果存在,写出 l1 的方程; 如果不存在,请说明理由.

??? ???? ?

??? ?

第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2x . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值;

2] (Ⅱ)当 x ? [?1, 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? [1,??)) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? e, (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)求 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ; (Ⅲ)求证: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? e
n ( n ?1) 2

an?1 ? e(n ? N * ) . an

(n ? N * ).

第 4 页 共 9 页

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1—5ADCDA 6—10BCBBC 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11. 63 12. 13.5 14. ? ? 2cos ? 15. 135
0

2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 cos .
2

? 3?

1 ? cos x 1 ? sin x ????????????2 分 2 2

1 1 1 x ? sin x cos x 2 2 2

? 3 ??????????????4 分 ? sin( x ? ) ? 3 2
(Ⅱ) .当 x ?

?

? 5? =2k? ? ,k ? Z 即 x=2k? ? ,k ? Z 时 ????5 分 3 2 6
3 ????????????6 分 2

f ( x) 得到最小值 ?1 ?
当x?

?
3

= 2 k? ?

?
2

,k ? Z 即 x ?= 2k? ?

?
6

,k ? Z 时 ??????7 分

f ( x) 得到最大值 1 ?

3 ????????????8 分 2

(Ⅲ) .由 f (? ) ? sin(? ? ∵?

?
3

)?

? 3 3 3 3 ? ? 得 sin(? ? ) ? 3 5 2 5 2

?
3

?? ?

?
6

,∴ 0 ? ? ?

?
3

?

?
2

,∴ cos(? ?

?
3

)?

2? ? ? 24 ) ? 2sin(? ? ) ? cos(? ? ) ? 3 3 3 25 2? ? 7 cos(2? ? ) ? 2 cos 2 (? ? ) ? 1 ? ????????????10 分 3 3 25 2? 2? 2? 2? 2? 2? ) ? ] ? cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? ) sin ∴ cos 2? ? cos[(2? ? 3 3 3 3 3 3
∴ sin(2? ?
第 5 页 共 9 页

4 ??????9 分 5

?

24 3 ? 7 ????????????12 分 50

17. (本小题满分 12 分)

x ? 0.19,? x ? 380 ; 分) (4 2000 (2)由(1)知高二男女生一起 750 人,又高一学生 750 人,所以高三男女生一起 500
解: (1)由已知有 人, 按分层抽样,高三年级应抽取

48 ? 500 ? 12 人; 分) (8 2000

, , (3)因为 y ? z ? 500 y ? 245 z ? 245,所以基本事件有: y ? 245, z ? 255; y ? 246, z ? 254; y ? 247, z ? 253 y ? 248, z ? 252; y ? 249, z ? 251 ; y ? 250, z ? 250; y ? 251 z ? 249, y ? 252, z ? 248 y ? 253 z ? 247; y ? 254, z ? 246 , ; ,

y ? 255, z ? 245
一共 11 个基本事件.其中女生比男生多,即 y ? z 的基本事件有:

y ? 251 z ? 249, y ? 252, z ? 248 y ? 253 z ? 247; y ? 254, z ? 246; y ? 255, z ? 245 , ; ,
共 5 个基本事件, 故女生必男生多的事件的概率为

5 . 11

(12 分)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)设 AC 与 BD 交于点 O ,

? E 为中点,? OE // B1 D ,
又 B1 D ? 平面 AEC , OE ? 平面 AEC ,

(2 分)

? B1 D // 平面 AEC .

(5 分)

(2)在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, B1 B ? 平面 ABCD,? AC ? B1 B , 又 AB ? AD,?矩形 ABCD 为正方形,? AC ? BD , 分) (6

? AC ? 平面 B1 BD,? AC ? B1 D . (9 分)
(3)因为? EB ? 平面 ACD, 且 S ?ACD ? 2,?V E ? ACD ? 19. (本小题满分 14 分)

1 1 S ?ACD ? EB ? . (14 分) 3 3

第 6 页 共 9 页

解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为 a 、b、c 由题设知: c ? 1 ????????1 分, 由e ?

c 1 1 ,得 a ? 2 , ????????????2 分 ? ? a a 2

则 b ? 1 ????????????????????????3 分 ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ????????????4 分 2

(Ⅱ)过 M (0, 2) 点斜率为 k 的直线 l1 : y ? 2 ? kx 即 l1 : y ? kx ? 2 ??????????5 分 与椭圆 C 方程联立消 y 得 (2k 2 ?1) x2 ? 4 2x ? 2 ? 0? ? ????6 分 “” 由 l1 与椭圆 C 有两个不同交点知 其 ? ? 32k 2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 得 k ? ?

2 2 ????????7 分 或k ? 2 2

∴ k 的范围是 (??, ?

2 2 ) ? ( , ?) 。 ????????????8 分 ? 2 2

“ 的二根 (Ⅲ)设 P( x1 ,y1 )、Q( x2 ,y2 ) ,则 x1 、x2 是 ?”
则 x1 ? x2 ? ?

4 2k 2 2 ,则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 4 2k 2 2 , ) ??????10 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? (?

??? ??? ? ?

由题设知 A( 2 , 、B(0, ,∴ AB ? (? 2 , ??????????11 分 0) 1) 1) 若 (OP ? OQ) ? AB ,须 (OP ? OQ) ? AB ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ???? ??? ? ?

8k 2 2 ? 2 ? 0 ??12 分 2 2k ? 1 2 k ? 1

得k ? ?

2 2 2 ? ) ? ( , ?) ????????????13 分 ? ? (??, 2 2 4

∴不存在满足题设条件的 l1 。 ????????????14 分 20. (本小题满分 14 分)

2 解: (Ⅰ) .解 f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? 0 得 x ? ? 或 x ? 1 3

(3 分)

第 7 页 共 9 页

2 解 f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? 0 得 ? ? x ? 1 ,如下表 3

x
f ' ( x)
f ( x)
极值 (6 分)

2 (??, ) ? 3
+

?
0

2 3

2 (? , 1) 3


1
0

(1 ? ?) ,
+

22 27
极大

?

3 2

极小

2 22 时, y极大 ? 3 27 3 当 x ? 1 时, y极小 ? ? 2
当x??

(7 分) (8 分)

? 1) , (Ⅱ) .由(Ⅰ)知, f (x) 在区间 (??, ) 和 (1 ? ?) 上递增,在区间 ( ? , 上递减,
∵ f (? ) ?

2 3

2 3

2 3

22 , f (2) ? 2 27

(10 分)

2] ∴当 x ? [?1, 时, f ( x ) 最大值是 2 , (12 分)
若 f ( x) ? m 恒成立,须 m ? 2 (13 分)

? ∴ m 范围是 (2, ?) 。 (14 分)
21. (本小题满分 14 分) 解: (1)?

a n?1 ? e ,? ?an ? 是等比数列,又 a1 ? e,? an ? e n . an

(3 分)

(2)由(1) f (an ) ? ln e n ? e n ? 1 ? (n ? 1) ? e n ,

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? [2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? (e ? e 2 ? ? ? e n )


n2 ? 3n e ? e n?1 ? . 2 1? e

(7 分)

(3) f ?( x) ?

1 ? 1,? x ? 1,? f ?( x) ? 0,? f ( x) 递减, (9 分) x

? f ( x) ? f (1) ,即 f ( x) ? 0, 也就是 ln x ? x ? 1 , (11 分)
于是 ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? 0 ? 1 ? ? ? (n ? 1) , (12 分) 即

l n1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (
n ( n ?1) 2

n(n ? 1) , (13 分) 2

故 1 ? 2 ? 3? ? n ? e

. (14 分)

第 8 页 共 9 页

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