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35空间向量与立体几何


新课标高三数学一轮复习 学案 35 空间向量与立体几何
考纲解读 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量; 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直平行关系; 3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; 4. 能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题, 点到直线, 点到平面的距离问题。 考点分析 1. 能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行 与垂直问题; 2. 会求线线角、线面角,点点距、点面距等距离问题,培养用向量法思考、解决问题的能力; 3. 会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角度、距 离等问题。 知识梳理 1. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合,则称此向量 a 为直线 l 的方向向量。 注:在直线上任取两点,这两点确定的向量即直线的方向向量。 (2)平面的法向量:与平面垂直的任何一个向量都可称为该平面的法向量。 注:一个平面的法向量不唯一,平面向量的法向量可利用方程组求解。 设 a 、 b 是平面 ? 内的两个不共线的向量, n 为平面 ? 的法向量,则可以依据方程组 ?

?n ? a =0 ? ? ? n ? b =0

来求解法向量。

例: 若点 A ? 0,, 平面 ? 的法向量为 n , 求解法向量 n 。 2 -1, ? ,C ? -2, 1, ? 是平面 ? 内的三个点, ? ,B ?1, 2. 空间位置关系的向量表示 (1)空间两直线 l1 、 l2 的方向向量分别为 n1 、 n2 ,那么 l1 //l2 ? n1 =? n2 , l1 ? l2 ? n1 ? n2 =0 ; (2)直线 l 的方向向量为 n ,平面 ? 的法向量为 m ,那么 l //? ? m ? n=0 , l ? ? ? m=? n ; (3)平面 ? 、 ? 的法向量分别为 m 、 n ,那么 ? //? ? m=? n , ? ? ? ? m ? n=0 。 例:若平面 ? 、 ? 的法向量分别为 m 、n ,m= ? -1,2,4 ? ,n= ? x,-1,-2 ? ,并且 ? ? ? ,则 x= 3. 空间角的向量求法 (1)异面直线所成的角:两条异面直线 l1 、 l2 的方向向量分别为 n1 、 n2 ,所成的角为 ? , ? ? ? 0, ;

? ?

19 ? 8?

? ?

5? 8?

? ?

5? 8?

? ?

??

? 2?

,那么

cos ? = cos < n1, n2 > =



(2)直线和平面所成的角:设直线 l 的方向向量为 e ,平面 ? 的法向量为 n , ? 为直线和平面所成的角,

? ? ? ?? ? ?? ? ? ?0, ? , ? 为 方 向 向 量 与 法 向 量 所 成 的 角 , ? ? ? 0, ? , 那 么 我 们 可 以 得 到 ? +? = 或 ? + =? , 2 2 ? 2? ? 2?
sin ? = cos ? =


(3)二面角:设二面角 ? -l -? 的两个半平面 ? 、 ? 的法向量分别为 n1 、 n2 ,二面角的平面角为 ? ,两个法向 量的夹角为 ? ,那么 ? =? 或 ? +? =? , cos ? = 。

例:已知向量 m 、 n 分别为直线 l 的方向向量、平面 ? 的法向量,若 cos < m,n >= ? 角的大小为 ;

1 ,则直线 l 与平面 ? 所成 2

AD ? 1 ,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的 长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中, AB=AA 1 ? 2,
余弦值为 ; 4. 点到平面的距离的向量求法 求解平面 ? 外一点 P 到平面的距离的步骤为 (1) 求平面 ? 的法向量 n ; (2)在平面 ? 内任意取一点 A,确定向量 PA 的坐标; (3)代入公式 d =

n ? PA n



例:已知正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中,棱长为 a,求点 C1 到平面 AB 1D 1 的距离。 练习巩固 一.解答题 1.平行、垂直问题

CD 的中点, 在正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中,M、N 分别为 CC1 、 B 1C1 的中点,E、F 分别为 BB1 、
(1)求证:MN//平面 A (2)平面 AED ? 平面 A 1BD ; 1 FD 1。

2.角、距离问题 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面 ABCD, AB= 3 , BC ? 1 , PA ? 2 , E 为 PD 的中点, (1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使得 NE ? 平面PAC ,并求出点 N 到直 线 AB 和 AP 的距离。

3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB=60 ,AB=2AD,PD⊥平面 ABCD, (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=BD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

4.如图几何体中,底面为梯形 ABCD,AB//CD,AD=DC=CB=1, ?ABC ? 60 ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ⊥ABCD,CF=1, (1)求证:BC⊥平面 ACFE;

0 ) (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 ? , (? ? 9 ,求 cos ? 的范围。

5. 如图所示,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB=90 ,AC=1, CB ? 对角线交于点 D, B1C1 的中点为 M。 (1) 求证:CD⊥平面 BDM; (2) 求面 B1BD 与面 CBD 所成的二面角的余弦值。

2 ,侧棱 AA1 ? 1 ,侧面 AA1B1B 的两条


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