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基于教材二次开发的概念教学


·1 0 1 4 年第 1 期 4 ·                   中学数学月刊               2

基于教材二次开发的概念教学
— — — 以“ 函数的概念和图象 ” 为例
) 丁   超  ( 江苏丰县教研室  2 2 1 7 0 0 作为 评 委 我 被 应 邀 参 加 本 0 1 3 年 9 月中旬 ,   2 县近三年上岗的青 年 教 师 基 本 功 大 赛 . 两轮专业 知识 、 说课选拔之 后 共 有 六 位 教 师 进 入 最 后 上 课 环节 , 为公平起见 , 评委会决定采用借班上课的形 课题是苏教版 “ 第 式, 2. 1. 1 函数的概念和图象 ” 这是一节核心概念起 始 课 , 是考量教师教 1 课时 . 材开发能力 、 彰显教育智慧的良好契机 . 但听完六 我发现部 分 教 师 在 对 教 材 二 次 开 发 中 暴 节课后 , 露出不少问题 . 作为教师应该如何审视与开发教 材? 这个问题值得我们深思和研究 . “ 函数 ”是 描 述 变 量 之 间 的 依 赖 关 系 的 重 要 数 学 模型 , 在此基础上 学 习 用 集 合 和 对 应 的 语 言 来 刻 画函数 , 体会对应关系在函数概念中的作用 ; 了解 构成函数的三要素 , 会求一些简单函数的定义域 和 值域 . 教师4为学生提供 “ 求y = x +1 和y = 1-2 x 的问题 , 这种明显超越课 x -1+x-1的值域 ” 槡 程标准要求的教材开发是毫无意义的 . ( )站在教材编写者的视角审视与开发教材 2 教材首先介绍了 “ 在初中 , 我们把函数看成是 , 刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型 ” 接着列举了三个生活实例 : 9 4 9-1 9 9 9年我国 ①1 人口数据表 ; ② 物体自由落体时下落距离与时间 的关系 ; 4 小时的气温变化图 . ③ 某市一天 2 教材编 写 这 三 个 引 例 的 目 的 是 什 么 ? 细细揣 摩, 我们会发现教材编写这三个引例 : 一是教材充 分考虑到素材的选取应当在反映数学本质的前提 以利于他们经历从现 下尽可能贴近学生 的 现 实 , 二是这三个引 实情境中抽象出函 数 概 念 的 过 程 ; 例描述的方法各不 相 同 , 它们与函数的三种表示 方法 ( 列表法 、 解析法 、 图象法 )相呼应 , 便于学生

1  对教材的审视与开发
1. 1  教材审视与开发的视角 ( )站在课程标准的视角审视与开发教材 1 课 程 纲 要、 课 程 标 准、 教材是课程 众所周知 , 课程标准中包含的课程性 实施的三个文本层 次 . 质、 课程基本理念 、 课程设计思路 、 课程目标 、 课程 内容 , 无不 影 响 着 教 材 的 编 写 , 因 此, 站在课程标 准的视角审视 与 开 发 教 材 才 能 收 到 “ 纲 ”举 “ 目” 张的效果 . 针对 “ 2. 1. 1 函 数 的 概 念 和 图 象 ”第 1 课 时 , 课程标准 明 确 指 出 : 通 过 丰 富 实 例, 进一步体会

檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 可以思考 : 知道什么 , 要求什么 , 属于哪一类问题 , 进入读者记忆库中的信息已经是经过读者加工了 这类问题有哪些常 用 的 解 决 方 法 等 . 相信经过一 段时间的积累 , 学生的数学阅读能力会有一定的 提高 . 3. 3  注意读写结合 这里的 写 不 仅 仅 指 上 课 记 笔 记 . 根据认知心 理理论和信息加工 理 论 , 数学学习的过程分为信 相互作用 、 操作训练 、 信息输出四个阶段 , 息输入 、 可见读和写是数学 学 习 过 程 中 必 需 的 两 步 . 在数 学阅读时 , 学生可 以 对 重 要 的 信 息 通 过 书 写 或 记 笔记来加强记忆 , 然后将得到的信息进行重新整 合, 进一 步 推 演 出 新 的 结 果 , 然 后 通 过 书 写 整 理, 将信息类型化 , 以后遇到这一类型的材料时就不 会手足无措了 . 另一方面 , 数学阅读是读者与编者 间无声的语言的交流 、 心灵的对话和思想的碰撞 , 期间读者可能 会 对 某 个 证 明 过 程 或 某 种 解 题 的, 方法持赞同 、 欣 赏 的 态 度, 或 提 出 建 议、 质疑甚至 另一些他认为更简 捷 的 方 法 , 这就需要读者借助 于文字把自己的想 法 表 达 出 来 . 历史上有很多名 人都有边读边写的习惯 , 可见 , 离开了写的阅读可 能仅仅只能读到一 些 表 面 的 东 西 , 而当读与写相 才会对数学材料有深层次的理解 . 结合的时候 , 对于学 生 数 学 阅 读 能 力 的 培 养 , 不是一朝一 夕就能完成的事情 , 需要教师在平时的教学过程 中不断地强化和刺 激 , 只有当学生形成了数学阅 读的兴趣 , 把数学阅读作为发自内心的迫切需要 , 学生的数学阅读能 力 才 会 提 高 , 才会对他的终身 学习有益 .

2 0 1 4 年第 1 期                  中学数学月刊                · 1 5· 从三个不同 的 侧 面 提 炼 函 数 的 本 质 ( 并非教师3 ; 的理解 ) 三是这三个引例是基于学生刚迈进高中 “ 数学门槛的数学现 实 . 随 着 数 学 学 习 的 深 入, 学 生所积累的 数 学 知 识 ( 如 初 中 函 数 概 念 )和 方 法 ( , 如归纳法 )就成为学生的 ‘ 数学现 实 ’ 这些现实 选用这 就应当成为学生进 一 步 学 习 数 学 的 素 材 . 些素材 , 不仅有利于学生理解所学知识的内涵 , 还 能更好地揭示相关 数 学 知 识 之 间 的 内 在 关 联 , 有 建构数学认知结 利于 学 生 从 整 体 上 理 解 数 学 ,
[ 1] ” 四是教材以生活中 的 实 例 为 背 景 , 引出描 构. 述两个变量之间依赖关系的必要性 , 上承集合 , 下

“ 在出示三个问题后 , 教师首先提出 : 上面的三 ”这 个问题中 , 它们是否确定了函数关系 ? 为什么 ? 种问题设计 , 比直接提出 “ 上面的三个问题中 , 它们 , 有什么共同特点 ” 思维的指向性更加明确 . 在学生经过 合 作 交 流 后 , 进 行 第 一 次 归 纳: “ 上述的每个问题中都含有两个变量 , 当一个变量 的取值确定后 , 另一个变量的取值随之惟一确定 , 每一个问题都涉及 一 个 确 定 的 函 数 ” 接 着, 教师 . “ 如何用集合语言来阐述上述三个问题 继续追问 : ”让 学 生 进 行 第 二 次 归 纳 : “ 的共同特点 ? 对于集 , , 合 A 中的任意一个数 按照某种对应关系 集合 B ” 中都有惟一的一个数与之对应 . “ ” 师: 如 何 用 集 合 的 观 点 理 解 函 数 的 概 念? , : “ 通过教师的点拨 学 生 进 行 第 三 次 归 纳 每 一 个 , “ 问题都涉及两个非空 数 集 A, 存在某种对应 B” 法则 , 对于 A 中任意元素x, B 中总有一个元素y 与之对应 ” . 这时 , 教师可以进一步借 助 于 “ 箭 头 图 ”清 晰 地表示出这两个集 合 间 的 对 应 关 系 , 这种对应具 一个输入值对应到惟一的输出值 ”的特征 . 有“ “ , 师: 具有这种特征的对应称为‘ 单 值 对 应’ 所以 , 函数是建立 在 两 个 非 空 数 集 之 间 的 单 值 对 ”在此基础上 , 应. 让学生自己给出函数的定义 . 在学生充分经历概念的一次次归纳 、 抽象 , 从 非正式定义到正式定义的生动的 “ 创 造 ”过 程 中 , 感受到数学归纳 、 抽象的思想方法的力量 , 享受着 “ 创造 ”的乐趣 ! 要注意多种语言的转换 2 . 2   在概念的表征阶段, “ 概念往往有多种表征方式 , 如利用现实情境 中的实物 、 模 型、 图 象 或 图 画 进 行 的 形 象 表 征; 利 , 用口语和书写符号进行的符号表征 等等 . 不同的 表征将导致不同的 思 维 方 式 , 概念多元表征可以 促进学生的多角度 理 解 ; 在不同的表征系统中建 立概念的不同表征 形 式 , 并在不同表征系统之间 进行转换训练 , 可以强化学生对概念联系性的认 识; 建立 概 念 不 同 表 征 间 的 广 泛 联 系, 并学会选 择、 使用与转化各种数学表征 , 是有效使用概念解 决复杂 、 综 合 问 题 的 前 提. 因 此, 使学生掌握概念 的多元表征 , 并能在各种表征间灵活转换 , 是数学 [ 2] ” 概念教学的基本策略 . 函数 概 念 的 文 字 表 征 : A →B 一般地 , 设 A, 是两个非空 B x →y f: 任意   唯一 的数集 , 如果按某种对应法 y∈B 则 f, 对 于 集 合 A 中 的 每 一 其中 x ∈ A, 图 1 个元素x, 在集合 B 中都有 惟一的元素 y 和它对应 , 这样的对应叫做从 A 到 , B 的一个函数 .函数概念的符号表征 : x) y = f(

引函数 , 易于激发学生的探究热情. 另 外, 这三个 问题是本章的核心 背 景 , 特别是“ 某市一天2 4小 , 时的气温变化图 ” 后面将多次引用 . ( ) 站在学生发展的视角审视与开发教材 3 站在学 生 发 展 的 视 角 , 不得不引发我们深层 ? 次的思考 : 我们为什么要继续学习 “ 函数 ” 这是每 个数学教师无法回避而必须正面回答的问题. ① 现实世界中的大 量 变 化 现 象 需 要 用 函 数 来 刻 画 , 需要认识函数的要素 ; ② 需要用现代数学的基本 — — 集合的语言来刻画函数概念 ; 语言 — ③ 需要提 升对函数概念的符 号 化 、 形式化的表示等三个主 要方面来进一步认 识 和 理 解 函 数 概 念 , 并在义务 教育阶段学习函数 三 种 基 本 表 示 法 的 基 础 上 , 通 过具体的问题背景 , 让学生恰当选择相应的表示 方法去解决问题 , 在解决问题中帮助学生加深对 函数概念的认识和理解 . 基于此 , 我们就能更加深刻地理解教材设计 就能更好地把握是否需 三个引例的真实意 图 了 , 要开发 、 如何开发教材的尺度了 . 1. 2  教师对教材审视与开发的权限 教师对教材的审视与开发应该基于课程标准 和学生的需要 . 如前所述 , 课程标准是教材编写的 指导性文件 , 那么 教 师 对 教 材 的 审 视 与 开 发 就 应 该遵循课程 标 准 , 维护课程体系中关于“ 课程结 学习领域 、 科目数量 、 总课时数 、 课业负担和活 构、 动时间 ”的政策规定 . 同时 , 由于教育的最终目的 是促进学生的发展 , 所以 , 学生的需求永远是教师 对教材开发的目的和归宿 . 当然 , 对于教师 2 将教 ( “ 材中的 “ 某市一 天 2 一天 4 小时的气温变化图” 2 4 小时的 气 温 变 化 图 ”是 自 动 温 度 记 录 仪 绘 制 , 的, 是一条平滑的曲线 )擅自更改 为 “ 折 线 图” 这 种违背科学的 “ 教材开发 ”更是不允许的了 .

2  概念教学的策略
要延迟概念的生长过程 2 . 1   在概念的引入阶段, 教材为学 生 “ 创 造 ”函 数 的 概 念 提 供 了 三 个 引例 . 如何充分发挥这三个引例的作用呢 ?

·1 0 1 4 年第 1 期 6 ·                   中学数学月刊               2 ) 其他表征 ( 如图 1 x ∈ A. . 揭示概念的内涵和 2. 3  在概念的精 细 化 阶 段 , 外延 ( )函数 作 为 一 种 数 学 模 型 , 主要用于刻画 1 ; ( ) 两个变量之间 依 赖 的 关 系 2 函 数 的 本 质 是 一 ( )对应法则 f 可以是一个表格 , 种“ 单值 ”对应 ; 3 ( ) 也可是 表 达 式 或 图 形 ; 4 A, B 是两个非空的数 集, 可以是 有 限 集 , 也 可 以 是 无 限 集, 甚至可以是 ) ; ( ) 如f( 集合 B 不一定 单元集 , x) x( x =0 5 =2 ( )函 数 的 本 质 是 但一定是值域所在 集 ; 是值域 , 6 ( )强 调 “ 但 并 非 所 有 的 对 应 都 是 函 数; 非 对应 , 7 、 “ 、 “ 空” 每一个 ” 惟一 ”这三个关键词 . 为了进一步 让 学 生 理 解 概 念 的 内 涵 与 外 延 , 需举出一些正例与反例 . 例 1  判断下列对应是否为函数 : 2 ( ) 1 x→ , x ≠ 0, x ∈ R; x 2 ( ) , , 其中s =t 2 t →s t ∈ R, s ∈ R; 2 ) , , ( 这里 3 x →y y = x x ∈ N, y ∈ R. 例 2  判断下列对应是否为集合 A 到集合B 的函数 : ) ( 对于任意的x ∈ 1 A 为正实 数 集 , B = R, A, x → x 的算术平方根 ; ) } , } , ( 对 2 A={ 1, 2, 3, 4, 5 B= { 0, 2, 4, 6, 8 于任意的 x ∈ A, x →2 x. 概念的反例固然有助于学生对概念内涵的认 识, 使学生对概念的理解更精确 、 更准确 , 但是 , 反 理解之后才能 例一定要在学生对 大 量 正 例 接 触 、 使用 . 否则 , 若在学生刚刚学习了新概念后就接触 概念的反例 , 往往造成错误概念先入为主的后果 , 干扰了对概念的正确认识 . 要揭示概念之间的 2. 4  在概念的结 构 化 阶 段 , 联系 概念教 学 的 基 本 目 标 是 让 学 生 理 解 概 念 , 并 能利用概念表达思想和解决问题 . 这里 , 正确地理 解概念是准确表达 、 应用的前提和保证 . 从认知心 理解某个 东 西 是 把 它 纳 入 一 个 恰 当 的 图 理学看 , 图式 就 是 一 组 相 互 联 结 的 概 念 , 图 式 越 丰 富, 式, 就越能处理相关的 变 式 情 境 . 数学概念理解有三 工具性理解、 关系性理解和形式性理解. 种水平 : 工具性理解指会用概念判断某一事物是否为概念 的某一例证 , 但并不清楚与相关概念的联系 ; 关系 性理解指不仅能用 概 念 做 判 断 , 而且能将它纳入 到概念系统中 , 与相关概念建立联系 ; 形式性理解 指在数学概念术语符号和数学思想之间建立起联 并用逻辑推理 构 建 起 概 念 体 系 和 数 学 思 想 体 系, [ 3] 系. 此外 , 数学概念的内涵和外延也只有在数 过 程 — 对 象 ”的 过 学知识的系统中才能展开为 “ 程, 因 此, 离开知识系统的概念教学将是无意义 的, 没有任何思维价值的 . 可见 , 将函数概念纳入到概念系统中将有助 于对函数概念的理 解 和 掌 握 . 随着函数学习的不 断深入 , 这个概念系统将不断完善 . 下面将本章中 的函数概念纳入到概念系统如下 . 烄 烄定义域 — 优先 烆值域 烄列表法
表示方法烅 解析法 函数烅 概念的三要素烅 对应法则 — 核心

烆图象法

简单性质



单调性 奇偶性

烄指数函数
三个初等函数烅 对数函数

烆幂函数 烆函数与方程 体会函数的作用和 2. 5  了解函数产 生 的 背 景 , 价值 作为最能深刻刻画现代数学发展的一个数学 概念 , 让学生在课外认真收集 、 阅读函数概念的起 源、 演变及其发展史 , 不仅能够让学生进一步加深 而且也能让学生深入 对函数概念的认识 和 把 握 , 了解数学思想和整 个 数 学 理 论 发 展 历 程 , 进一步 激发学生学习数学 的 兴 趣 , 体会函数在人类发展 应 用 价 值、 人 文 价 值、 美学价 历史中的科 学 价 值 、 值, 促进学生科学观的形成与和谐发展 , 避免出现 教师1承认函数概念的 “ 对应说 ” 而否定 “ 变量说 ” 的错误 . 由于作为核心概念的函数具有一般概念所不 具有的基础性和生长性 , 所以 , 除了按照一般概念 教学的要求以外 , 还要树立概念教学的整体观和 系统观 . 在概念系 统 中 实 现 工 具 性 理 解 到 关 系 性 — — 指 数 函 数、 理解的转 变 ; 在后面的初等函数 — 对数函数 、 幂 函 数、 三 角 函 数 的 学 习 中, 进一步感 悟函 数 的 本 质 , 然后在“ 导 数 及 其 应 用 ”的 学 习 中, 通过对函数性质的研究 , 再次提升对函数概念 的认识和理解 , 树立函数的整体观 .
参考文献 [ ] 义务教育数学课程标准 1  中 华 人 民 共 和 国 教 育 部. ( ) [ ] : 北 京 北 京 师 范 大 学 出 版 社, 2 0 1 1年 版 M . 2 0 1 2: 6 5. [ ] 章建跃 . 数 学 概 念 的 分 类、 特征及其教学探 2   邵光华 , ] · · , ( ) 讨[ 课程 教材 教法 J. 2 0 0 97 : 5 0. [ ] 陈泽民译 . 数学学习心理学 [ 台北 : 3 k e m R 著, M] .  S p   九章出版社 , 1 9 9 5: 1 6 6.


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