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【精品课件3.1.1两角差的余弦公式


新课导入

在现实生活中,经常会遇到的一些测 量长度、高度等问题,比如图片中的信号 台的高度,都用到什么量呢?

请同学们思考: 如图所示,某城市的电视发 射塔建在市郊的一座小山上。 小山高BC约为30米,在地平 面上有一点A,测得A、C两点间距 离约为67米,从A观测电视发射塔
A 67 45° α

D<

br />
C 30 B

的视角(∠CAD)约为45°。求这
座电视发射塔的高度。

教学目标
知识与能力
借助单位圆,运用向量的方法推导 两角差的余弦公式;

能够使用两角差的余弦公式求特殊 角和差角的余弦值;

过程与方法
掌握用向量方法建立两角差的余弦公 式.通过简单运用,使学生初步理解公式 的结构及其功能,为建立其它和(差)公 式打好基础。

情感态度与价值观
让学生感受数学知识的相互联系, 培养逻辑推理的思维能力,树立创新意 识和应用意识,提高数学素质。

教学重难点
重点
通过探索得到两角差的余弦公式;

难点
探索过程的组织和适当引导。这里不仅有 学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础 知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方 法的能力问题,等等。

从实例引入课题,目的在于从中提出问题,引入 本章的研究课题。 1、实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样包 含两个角的三角函数的需要; 2、实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这 样的包含两角和的三角函数与单角α,45°的三角函数 的关系的需要; 在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题。

2 cos 30? ? 3 , 在初中已经学过 cos 45 ? , 2 2 ? ? ? 由此能否得到 cos15 ? cos 45 ? 30 ? ? 大家可以
?

?

?

猜想,是不是等于 cos45? ? cos 30? 呢?根据在第 一章所学的知识可知这种猜想是错误的!

下面就一起探讨两角差的余弦公式

cos ? ? ??? ? ?

用三角函数线方法探究两角差的余弦公式 如图,设α,β为锐角,且α>β, 角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP =β,那么cos(α-β)表示哪条线段长?
y P1

cos(α-β)

=OM

α
O

β

P
α-β

M

x

如何用线段分别表示sinβ和cosβ?
y

cosβ
PA ? OP1
OA ? cos ? PA ? sin ?
O

P1

A

P
x

sinβ

OAcosα=cosαcosβ ,它表示哪条线段长? PAsinα =sinαsinβ ,它表示哪条线段长?
y

AB⊥x轴 PC⊥ AB
O

P1

sinαsinβ
P x

A
C

B

cosαcosβ=OB sinαsinβ=CP

cosαcosβ

利用OM=OB+BM=OB+CP可得 什么结论?
y P1

sinαsinβ
P x

A
C
O

B M

cosαcosβ cos(α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ

???? OA = ? cosα,sinα ? ???? OB = ? cosβ,sinβ ? ???? ???? OA ? OB ???? ???? = OA OB cos(α - β)

用向量方法探究两角差的余弦公式
y
1 A α -β α B β

-1

o

1

x

= cos(α - β)

???? ???? OA ? OB = cosαcosβ + sinαsinβ


-1

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

思考:此公式对任意角都成立吗?
当α - β是任意角时,由诱导公式一,总可以找到一个 角θ∈[0,2π),使cosθ = cos(α - β)。

???? ??? ? 若θ ?[0,π),则OA ? OB = cosθ = cos(α - β)
若θ ? [π, ),则2π - θ ? 0,π],且 2π ( ???? ??? ? OA ? OB = cos(2π - θ) cosθ = cos(α - β) =

于是,对于任意角α、β都有:

cos ? ? ?) cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( ?

探究:两角差的余弦公式的变通 思考1:若已知α +β 和β 的三角函数 值,如何求cosα 的值?
cosα=cos[(α+β)-β]
=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.

思考2:利用α-(α-β)=β可得cosβ 等于什么?
cosβ=cos[(α-β)-α] =cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα.

思考3:若cosα+cosβ=a,sinα +sinβ = b,则cos(α-β)等于什么?

a ?b ?2 cos(? ? ?) ? 2
2 2

思考4:若cosα-cosβ=a,sinα-sinβ=b, 则cos(α-β)等于什么?

2?a ?b cos(? ? ?) ? 2
2

2

例1

利用差角余弦公式求cos15°的值。
分析:例1是指定方法求cos15°的值,

这样可以使学生把注意力集中到使用公式求 值上。本例说明差角余弦公式也适用于形式 上不是差角,但可以拆分成两角差的情形。

方法一
解: ∵ cos15o = cos 45o - 30o

?

?

∴ cos15°=cos(45°-30°)

= cos45°cos30°+sin45°sin30°
2 3 2 1 = ? + ? 2 2 2 2 6+ 2 = 4

方法二
解: ∵ cos15 = cos 60 - 45
o

?

o

o

?

∴ cos15°=cos(60°-45°)

= cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 = ? + ? 2 2 2 2 6+ 2 = 4

3 ?π ? ?π ? 例2: 已知 cosα = - ???α ? ? , π ? 求 cos ? 4 - α ? 的值。 ? ? 5 ?2 ?

解:

3 ?π ? ∵ cosα = - α ? ? ,π ? 5 ?2 ?



π π π cos( - α) = cos cosα + sin sinα 4 4 4
= 2 ? 3? 2 4 ??- ? + ? 2 2 5 ? 5?

4 sinα = 1 - cos α = 5
2

2 = 10

例3:

3 5 ?π ? 已知sinα = ,α ? ? , π ? ,cosβ = - , 5 13 ?2 ? ? 3 ? β ? ? π, π ? , 求cos(α + β)的值。 ? 2 ?

例3也是运用差角公式的基础题。安排这 个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序 性,逐步培养他们良好的思维习惯。

3 4 解: ?π ? ? sinα = ,α ? ? , π ? ,? cosα = 5 5 ?2 ? 5 12 ? 3 ? ? cosβ = - ,β ? ? π, π ? ,? sinβ = 13 13 ? 2 ?
\ cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
4 5 3 12 = (- )() - ( )() 5 13 5 13 20 36 = + 65 65 56 = 65

例4: 已知α

,β

5 都是锐角, cosα = , 8

7 cos ?α +β ? ? ? 12

求 cosβ 的值。

解: cos ? ? cos ??? ? ? ? ? ? ? ? ?

? cos ?α?β? cosα? sin ?α?β? sinα 7 5 95 39 ?? ? ? ? 12 8 12 8 3705 ? 35 ? 96

课堂小结
一、两角差的余弦公式. 对于任意角

?,?

cos(? - ? )= cos?cos? + sin?sin?
简记为:

C(? ?? )

1.公式的结构特点;

2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦,就可以求
出cos(α-β). 二、两角差的余弦公式三角函数线推导过程.

y 1

P1

A

?

sin

?
P

cos ?

C

?

?

? ??
B

O

M

1

x

cos α cos β

+

sin α sin β

高考链接
1(2007山东)要得到函数y=sinx的图像,只 需将函数y=cos(x- ? )的图像( A ) A.
? 向右平移 6 ?
? 3 ? 6
3

3

个单位

B. 向右平移

个单位
个单位

C. 向左平移

D. 向左平移

个单位

解析:
本题必须注意到余弦函数是偶函数,注意题中 给出的函数不同名,而
? ?? ? ? y ? cos( x ? ) ? cos( ? x) ? sin ? ? ( ? x) ? ? sin( x ? ) 3 3 6 ?2 3 ? ? ?

所以要得到y=sinx的图像,只需把y=cos(x? 右平移 6 个单位

? 3

)向

2(2009上海)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x的 最小值是___________。 1? 2

解析:
? y ? 2cos x ? sin 2x ? 1 ? cos 2x ? sin 2x ? 1 ? 2 cos(2x ? ) 4
2

当 cos(2x ?

? ) ? ?1时 4

y最小值 ? 1 ? 2

课堂练习
3 5 1、在?ABC中, A= , B= , cos cos 13 33 5 则cosC的值等于( 65 )
2、已知 cos 25? cos 35? ? cos 65? cos 55? 1 B. 2 3 C. 2 1 D.- 2 的值等于( B ) A.0

3、在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则 △ABC是( A ). A.直角三角形

B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.不确定

4、计算填空
(1)cos175 cos 55 ? sin175 sin 55 1 ? _______ 2
o o o o

(2) ? ? 21 ) cos(? ? 24 ) ? cos(
o o

sin(? ? 21 ) sin(? ? 24 )
o o

?

2 _______ 2

5、不查表,求cos(–375°)的值.
解: cos(– 375°)=cos15 ° =cos(45 °– 30 °)

=cos45 °cos30 ° +sin45 °sin30 °

2 3 2 1 ? · ? · 2 2 2 2
? 6? 4 2

教材习题答案
1、 (1)证明:

? ? ? ∵cos( -? )=cos cos? +sin sin ? 2 2 2 ? ? sin ? 1,cos ? 0 2 2 ? ∴cos( -? )=sin? . 2

(2)证明:

∵cos( 2?-?)=cos2?cos?+sin 2?sin? sin 2? ? 0,cos 2? ? 1 ∴cos( 2?-?)=cos?.
2 2、 10 15 3 ? 8 3、 34 2 7 ?3 5 4、 12


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