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山西省太原五中2013届高三3月月考(数学文)


太原五中 2012-2013 学年度第二学期月考(3 月)高三数学(文)
1.已知集合 P ? ?0, b? , Q ? x | x 2 ? 3x ? 0, x ? Z ,若 P ? Q ? ? ,则 b 等于 A .1 B .2 C. 1 或 2 D .8 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) .

?

?

3 ? sin 2? ,且 ? ? ( , ? ) ,那么 的值等 5 2 cos 2 ? 3 3 3 3 A. ? B. ? C. D. 4 2 4 2 3.已知直线 m, n 和平面 ? ,则 m ∥ n 的必要非充分条件是 A. m ∥ ? ,且 n ∥ ? B. m ? ? ,且 n ? ?
2.已知 sin ? ?

C. m ∥ ? ,且 n ? ?
4. 已知 x, y 满足约束条件 ? ? A. ?3
2

D. m , n 与 ? 成等角
x? y?5? 0 ?x ? y ? 0 ?x ?3 ?
3

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 C. ?5 D. 5 D .11

5. 1 ? x ? x A .15

?

??1 ? x? 展开式中 x
6

B. 3

6.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 = a6 +2 a5 ,若存在两项 a m , an 使得 a m a n =4 a1 ,则

B .14

项的系数是 C .12

1 4 + 的最小值为 m n 3 5 25 A. B. C. D.不存在 2 3 6 7. 在 正 四 面 体 ABCD 中 , AO ? 平 面 B C D , 垂 足 为 O , 设 M 为 线 段 AO 上 一 点 , 且 ?BMC ? 90? ,则 AM 的值是
MO

4 A. 3
8.已知双曲线

B.

3 4

C .1

D.

6 5

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率之积大于 1,那么以 m b a2 b b 、 m 为边长的三角形是 a、 A.锐角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 2 2 9. 已知圆 x ? ( y ? 1) ? 2 上任一点 P( x, y) , 其坐标均使得不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立, 则实 数 m 的取值范围是 B. (??,1] A. [1,??) C. [?3,??) D. (??,?3]
10.已知 | a |? 2 | b |? 0 , 且关于 x 的函数 f ( x ) ? 的夹角范围是

?

?

1 3 1 ? 2 ? ? 则 x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极值, a 与 b 3 2

A. [0, ) 6

?

B. ( , ? ] 6

?

C. ( , ? ] 3

?

? 2? D. ( , ] 3 3

11.某铁路货运站对 6 列货运车进行编组调度,将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲、乙 两列列车不在同一小组,如果甲所在小组三列列车先开出,那么这 6 列列车先后不同的发 车顺序共有 A.36 种 B.108 种 C.216 种 D.432 种 12.已知 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的动点, F 1、F2 分别是此双曲线的左、右焦点, O 为坐 8 4 | PF1 | ? | PF2 | 标原点,则 的取值范围是 | OP |

A. [0,6)

1 6 B. ( , ] 2 2

C. (2, 6 ]

D. [0,

6 ] 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 2:3:4,现用分层抽样 的方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中型号 A 的产品有 16 件,那么此样本容量 n= 14.如图 A 、B 、C 是球 O 的球面上三点, OA 、OB 、OC 两两垂直,P 是球 O 的大圆上 BC 且 的中点,则直线 AP 与 OB 所成角的弧度数是______. 15. 已知 f ( x) ? 2 sin(4 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若对于任意实数 x 有 f ( x) ? f ( ? ) 成立,则满足方 6 程 f ( x) ? 0 的锐角 x 组成的集合为______. 16.设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,在 ( ,1) 上单调递增,且满足 f (? x) ? f ( x ? 1) ,给 出下列结论:① f (1) ? 0 ;②函数 f (x) 的周期是 2;③函数 f (x) 在 (? ,0) 上单调递增; ④函数 f ( x ? 1) 是奇函数。 其中正确的命题的序号是________ 三.解答题(本题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分)

1 2

1 2

17.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3b ? 2a sin B ,且 AB ? AC ? 0 . (1)求∠A 的度数; (2)若 cos(A ? C ) ? cos B ?

3 , a ? 6 ,求△ABC 的面积. 2

18.已知数列 2n?1 an 的前 n 项和 S n ? 9 ? 6n .(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? n(3 ? log2

?

?

an 3

) ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

19.甲、乙、丙三人进行某项比赛,每局有两人参加,没有平局,在一局比赛中,甲胜乙的概 率为

3 4 3 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比 5 5 5

赛,然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人举行下一局的比赛,在比赛中,有人获胜两 局就算取得了比赛的胜利,比赛结束。 (1)求只进行了两局比赛,甲就取得胜利的概率; (2) )求只进行了两局比赛, 比赛就结束的概率; (3)求甲取得比赛胜利的概率

20.如图在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧面 A1ACC1⊥底面 ABC,∠A1AC=60° . (I)求侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的大小; (II)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直 线 AA1 上是否存在点 P,使 DP∥平面 AB1C?若存在,请确定点 P 的位置;若不存在, 请说明理由.

21.函数 f ( x) ? x 3 ? 3tx ? m( x ? R, m 和 t 为实常数)是奇函数。 (1)求实数 m 的值和函数

f (x) 的图象与 x 轴的交点坐标;(2)设 g ( x) ? f ( x) , x ? ?? 1,1?,求 g (x) 的最大值 F (t ) .

22.如图,设抛物线 C1 : y ? 4mx(m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 .以 F1 , F2 为焦点,离
2

1 的椭圆 C 2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的交点为 P ,延长 PF2 交抛物线于点 Q , M 2 是抛物线 C1 上一动点,且 M 在 P 与 Q 之间运动. (1)当 m ? 1 时,求椭圆 C 2 的方程; (2)当 ?PF F2 的边长恰好是三个连续的自然数 1 时,求 ?MPQ 面积的最大值.
心率 e ?

太原五中 2009-2010 学年度4 月月考高三数学(文)参考答案
一、选择题 (每小题 5 分) 题号 答案 13.72; 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 15. 6 A 7 C 16. 8 D ①②④ 9 A 10 C 11 C 12 C

14. ? ? , 7 ? ? ? 24 24

?

? 3

17.解:(1) 由 3b ? 2a sin B 得 3 sin B ? 2 sin A sin B , ? sin A ?

3 2

? AB ? AC ? 0 , ? ?A ? 60?
(2)将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 cos(A ? C ) ? cos B ?

3 得: 2

3 ? , ? ?C ? 30 ? S ?A B C? 6 3 2 0 n?1 18. (Ⅰ) n ? 1 时, 2 a1 ? S1 ? 3,?a1 ? 3,当n ? 2时,2 an ? Sn ? Sn?1 ? ?6, cos(A ? C ) ? cos(A ? C ) ?
故 an

??

3 2 n?2

?3 (n ? 1) , ,即数列的通项公式为 a ? ? ? 3 n (n ? 2) . ?? n?2 ? 2

(Ⅱ)当 n ? 1 时, b1

? 3 ? log2 1 ? 3,

3 ) ? n(n ? 1), 3.2 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 所以 : ? ? ? ? ? ? ( ? ) ??? ( ? )? ? b1 b2 bn 3 2 3 n n ?1 6 n ?1 1 1 1 1 故: ? ? ? , bn n(n ? 1) n n ? 1
当 n ? 2时, bn ? n(3 ? log 2 由此可知,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 为

?1 ? 3 (n ? 1) ? Tn ? ? ? 5 ? 1 (n ? 2) ?6 n ? 1 ?

19.(1)

12 18 3 ; (2) ; (3) 25 25 5

20.解:∵侧面 A1ACC1⊥底面 ABC,作 A1O⊥AC 于点 O, ∴A1O⊥平面 ABC. 又∠ABC=∠A1AC=60° ,且各棱长都相等, ∴AO=1,OA1=OB= 3 ,BO⊥AC. 故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O—xyz,则 A(0,-1,0) ,B( 3 ,0,0) 1(0, 3 ,0,,C(0,1,0) AA =(0,1, 3 ). ,A ) , 1

由 AA = BB1 ,可得 B1( 3 ,1, 3 ). 1 , ? AB1 =( 3 ,2, 3 ) AC =(0,2,0). 设平面 AB1C 的法向量为 n=(x,y,1). 则?

?n ? AB1 ? 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ? ?n ? AC ? 2 y ? 0 ?
AA1 ? n | AA1 | ? | n | ? 3 2 2 ? 6 . 4

解得 n=(-1,0,1). 由 cos ? AA1 , n ??

而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角, 1 ∴侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的大小为 arcsin

6 . 4

(II)? BD ? BA ? BC ,而 BA =(- 3 ,1,0) BC =(- 3 ,1,0). ,

? BD =(-2 3 ,0,0). 又∵B( 3 ,0,0) ,∴点 D 的坐标为 D(- 3 ,0,0)
假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P(0,y,z).

? BD ? ( 3, y, z) .
∵DP∥平面 AB1C,n=(-1,0,1)为平面 AB1C 的法向量,

?由AP ? n ? ? 3 ? 0 ? z ? 0, 得z ? 3. 又 ? 点P在直线AA1上, AP ? (0, y ? 1, 3 ), AA1 ? (0,1, 3 ), ?y ?1 ? ? ?由AP ? ? AA1 , 得? ,? y ? 0. ? 3?? 3 又DP ? 平面AB1C ,
故存在点 P,使 DP∥平面 AB1C,其坐标为(0,0, 3 ) ,即恰好为 A1 点. 21.(1) m=0,且 t ? 0 时交点为(0,0); t ? 0 时交点为( 3t ,0)(- 3t ,0) 、

(2) 22.(1)

x2 y2 ? ? 1; 4 3
?MPQ 面积的最大值是
125 6 16

(2)m=3,


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