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北京市2014高考二轮总复习解析几何——第2讲 椭圆、双曲线、抛物线


第2讲

椭圆、双曲线、抛物线

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式:1.以选择、填空的形式考查,主要考查 圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能, 属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线 的位置关系,常常在

知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现.该部分题 目多数为综合性问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题, 一般难度较大.

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

图形 范围 顶点 对称性 焦点 轴 几何性质 离心率 |x|≤a, |y|≤b (± a,0),(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a, 短轴长 2b c e= = a b2 1- 2 a 实轴长 2a, 虚轴长 2b c e= = a (e>1) b2 1+ 2 a

e=1 p x=- 2

(0<e<1) 准线 渐近线

b y=± x a

考点一 例1

圆锥曲线的定义与标准方程 x2 y2 y2 (1)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一个交点,则 2 m 3

|PF1|· |PF2|的值等于________.

(2)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k =________. 答案 2 2 (1)3 (2) 3

(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记, 还要深入理解细节部分: 比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2| >|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转 化.(2)注意数形结合,提倡画出合理草图. x2 y2 3 (1)(2012· 山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 a b 2 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 ( x y A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4
2 2

)

x y B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5

2

2

(2)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其 准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( A.y2=9x C.y2=3x 答案 (1)D (2)C B.y2=6x D.y2= 3x )

考点二 例2

圆锥曲线的几何性质 x2 y2 (1)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, a b

4 连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 5 B. 7 4 C. 5 6 D. 7

)

x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|, a b 则双曲线的离心率 e 的最大值为________.

答案

5 (1)B (2) 3 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式,

再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式.建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

(1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 B F =2 F D ,则 C 的离心率为________.





2 x2 y2 2 2 a (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x +y = 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于 a b 4

点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 答案 (1) 3 10 (2) 3 2

考点三 例3

直线与圆锥曲线的位置关系 (2013 海淀一模理)已知圆 M :( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 ).若椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为

2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点, 点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:综合题;分类讨论;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)设(1)设椭圆的焦距为 2c,由椭圆右顶点为圆心可得 a 值,进而由离心率可得 c 值,根据平方关系可得 b 值; (2)由点 G 在线段 AB 上, 且|AG|=|BH|及对称性知点 H 不在线段 AB 上, 所以要使|AG|=|BH|, 只要|AB|=|GH|, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,利用韦达定理及弦长公式可 得|AB|,在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|,根据|AB|=|GH|得 r,k 的方程,分离出 r 后按 k 是否为 0 进行讨论,借助基本函数的范围即可求得 r 范围;

x2 (2013· 北京)已知 A,B,C 是椭圆 W: +y2=1 上的三个点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

1.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义中的定值是标 准方程的基础. 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A、B 是不等的常数,A>B>0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆;B>A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;AB<0 时表示双曲线. c 3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c,计算 e= ;方法二:根据已知条件确定 a, a c b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 . a 2b2 4.通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为 ,过 a 椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c. 5 抛物线焦点弦性质: 已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1)、B(x2,y2). p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角); sin α (3)S△AOB= p2 ; 2sin α

1 1 2 (4) + 为定值 ; |FA| |FB| p (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

x2 y2 1. 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的 a b 直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 B 解析 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB 为锐角,即 b2 ∠AEF<45° ,于是|AF|<|EF|, <a+c,于是 c2-a2<a2+ac,即 e2-e-2<0,解得-1<e<2.又双曲线的 a 离心率 e>1,从而 1<e<2. 2. 过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直 线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N1. p (1)当 a= 时,求证:AM1⊥AN1; 2 (2)记△AMM1、△AM1N1、△ANN1 的面积分别为 S1、S2、S3.是否存在 λ,使得对任意的 a>0,都有 S2 2= λS1S3 成立?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. 解 p p (1)当 a= 时,A( ,0)为该抛物线的焦点,而 l:x=-a 为准线, 2 2 B.(1,2) D.(2,1+ 2) )

由抛物线的定义知|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|, 则∠NN1A=∠NAN1,∠MM1A=∠MAM1. 又∠NN1A=∠BAN1,∠MM1A=∠BAM1, 则∠BAN1+∠BAM1=∠NAN1+∠MAM1, 而∠BAN1+∠BAM1+∠NAN1+∠MAM1=180° , 则∠N1AM1=∠BAN1+∠BAM1=90° , 所以 AM1⊥AN1. (2)可设直线 MN 的方程为 x=my+a,
?x=my+a, ? 由? 2 得 y2-2pmy-2pa=0. ? y = 2 px ?

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=-2pa. 1 1 S1= (x1+a)|y1|,S2= (2a)|y1-y2|, 2 2 1 S3= (x2+a)|y2|, 2 由已知 S2 2=λS1S3 恒成立,则 4a2(y1-y2)2=λ(x1+a)(x2+a)|y1y2|. (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p2m2+8pa,

(x1+a)(x2+a)=(my1+2a)(my2+2a) =m2y1y2+2ma(y1+y2)+4a2 =m2(-2pa)+2ma×2pm+4a2=4a2+2pam2. 则得 4a2(4p2m2+8pa)=2paλ(4a2+2pam2),解得 λ=4, 即当 λ=4 时,对任意的 a>0,都有 S2 2=λS1S3 成立.

(推荐时间:70 分钟) 一、选择题 1. (2013· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的 圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p ? p p 解析 由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知,xM=5-2,设以 MF 5 yM? ? 5?2 ? yM?2 25 为直径的圆的圆心为? ?2, 2 ?,所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 ,又因为圆过点(0,2),所以 yM p? 2 =4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y =4x 或 y2=16x,故选 C. x2 y2 2. 与椭圆 + =1 共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是 12 16 x2 A.y - =1 3
2

( B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

)

(

)

y2 2 B. -x =1 3 3y2 3x2 D. - =1 4 8

3x2 3y2 C. - =1 4 8 答案 A

16-12 1 x2 y2 解析 椭圆 + =1 的离心率为 = ,且焦点为(0,± 2),所以所求双曲线的焦点为(0,± 2) 12 16 2 16 2 x2 且离心率为 2,所以 c=2, =2 得 a=1,b2=c2-a2=3,故所求双曲线方程是 y2- =1. a 3 3. (2013· 江西)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线 相交于点 N,则|FM|∶|MN|等于 A.2∶ 5 答案 C 解析 由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH. B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3 ( )

即|FM|∶|MN|=|MH|∶|MN| =|FO|∶|AF|=1∶ 5. x2 y2 → 4. 过双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的右焦点 F, 作圆 x2+y2=a2 的切线 FM 交 y 轴于点 P, 切圆于点 M,2OM a b → → =OF+OP,则双曲线的离心率是 A. 2 答案 A 解析 由已知条件知,点 M 为直三角形 OFP 斜边 PF 的中点,故 OF= 2OM,即 c= 2a,所以双曲 线的离心率为 2. 1 x2 5. (2013· 山东)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限 2p 3 的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( A. 3 16 B. 3 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3 ) B. 3 C .2 D. 5 ( )

答案 D p? 解析 抛物线 C1 的标准方程为 x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 F′为(2,0),渐近线 3 方程为 y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 x2 y2 → → 6. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且PF1· PF2 的最大值 a b 的取值范围是[c2,3c2],其中 c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是 ( 1 1 A.[ , ] 4 2 C.( 2 ,1) 2 1 2 B .[ , ] 2 2 1 D.[ ,1) 2 )

答案 B 解析 设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), → → 则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), → → PF1· PF2=x2+y2-c2. 又 x2+y2 可看作 P(x,y)到原点的距离的平方, → → 所以(x2+y2)max=a2,所以(PF2· PF2)max=b2, 1 1 所以 c2≤b2=a2-c2≤3c2,即 ≤e2≤ , 4 2

1 2 所以 ≤e≤ .故选 B. 2 2 二、填空题 x2 y2 7. (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的值为________. m m +4 答案 2 解析 建立关于 m 的方程求解. ∵c2=m+m2+4,
2 c2 m+m +4 ∴e2= 2= =5, a m

∴m2-4m+4=0,∴m=2. x2 y2 8. (2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭 a b 圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 答案 3-1

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° , 又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° , MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a. c 即 e= = 3-1. a x2 y2 9. (2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 9 16 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, 因此△PQF 的周长为 |PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. x2 y2 10.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM| 25 16 +|PN|的最小值为________. 答案 7 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最

小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 三、解答题 x2 y2 11.(2013· 课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y- 3=0 a b 1 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. 解 a (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 b ① ② x2 y2 1 1 2+ 2=1

x2 y2 2 2 2+ 2=1 a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. a2 b2 y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2 1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2 所以可以解得 a2=2b2,即 a2=2(a2-c2),即 a2=2c2, 又因为 c= 3,所以 a2=6, x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, x2 y2 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 3x2-4 3x=0,即 A(0, 3),B? 4 6 所以可得|AB|= ; 3 x2 y2 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x2+4mx+2m2-6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 2 2 则|CD|= 2 ?x3+x4?2-4x3x4= 18-2m2, 3 又因为 Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3, 4 3 3? , ? 3 ,- 3 ?

1 8 6 所以当 m=0 时,|CD|取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|· |CD|= . 2 3

3? x2 y2 1 12.(2013· 江西)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ?1,2?,离心率 e=2,直线 l 的方程为 x=4. a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA、PB、PM 的斜 率分别为 k1、k2、k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理 由. 3? x y 解 (1)由 P? ?1,2?在椭圆a2+b2=1 上,得 1 9 + =1, a2 4b2 c 1 又 e= = ,得 a2=4c2,b2=3c2, a 2 ②代入①得,c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). y=k?x-1? ? ?2 2 由?x y 得, ? 4 + 3 =1 ? (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +3 4k +3 3 3 y1- y2- 2 2 k1+k2= + x1-1 x2-1 3 3 k?x1-1?- k?x2-1?- 2 2 = + x1-1 x2-1 1 3 1 =2k- ?x -1+x -1? 2? 1 ? 2 x1+x2-2 3 =2k- · 2 x1x2-?x1+x2?+1 8k2 -2 4k2+3 3 =2k- · 2 2 4k -12 8k2 - 2 +1 2 4k +3 4k +3 =2k-1. 又将 x=4 代入 y=k(x-1)得 M(4,3k), ① ②
2 2

3 3k- 2 1 ∴k3= =k- , 3 2 ∴k1+k2=2k3. 故存在常数 λ=2 符合题意.

1 13.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,其一个顶点的抛物线 x2=-4 3 y 的焦点. 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的坐标; → → (3)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,且满足PA· PB= → PM2?若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. 解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

c 1 由题意得 b= 3, = ,解得 a=2,c=1. a 2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切,所以直线 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1 (k≠0). x y ? ? 4 + 3 =1 由? ? ?y=k?x-2?+1 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0. 因为直线 l 与椭圆 C 相切, 所以 Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0. 1 整理,得 32(6k+3)=0,解得 k=- . 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y=- (x-2)+1=- x+2. 2 2 3? 1 将 k=- 代入①式,可以解得 M 点的横坐标为 1,故切点 M 的坐标为? ?1,2?. 2 (3)若存在直线 l1 满足条件,则直线 l1 的斜率存在,设其方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭圆 C 的方程得
2 2 (3+4k2 1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0. 2 2



设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,
2 所以 Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k2 1)(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0.

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 x1+x2= , x x = . 2 1 2 3+4k1 3+4k2 1 → → →2 因为PA· PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 1)= , 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 1)= . 4

所以?

8k1?2k1-1? ? ?16k1-16k1-8-2· +4?(1+k2 2 1) 3+4k2 ? 3+4k1 ? 1

2

2 4+4k1 5 = 2= , 3+4k1 4

1 解得 k1=± . 2 1 因为 A,B 为不同的两点,所以 k1= . 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2


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