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2.4等比数列(必修5优秀课件)


2.4 等比数列

问题情境:
情境一:折纸 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折, 再对折,再对折‥‥‥依次对折50次,你 相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之 间建一座桥?

对折 纸的 次数

n

对 折 一 次

对 折 二 次

对 折 三 次

对 折 四 次

…... …...

对 折

n 次

纸的 层数

2

4

8

16 …...

情境二:《庄子· 天下篇》中写到: “一尺之棰,日取其半,万世不竭”。

设 木 棰 长 度 为 1

第 一 天 取 半

第 二 天 取 半

第 三 天 取 半

第 四 天 取 半



......

天 取 半

n

木棰 长度

1 2

1 4

1 8

1 16

...... ......

观察上述情境中得到的这几个数列,看有 何共同特点?

2, 4, 8, 16, …;

① ②

1 1 1 1, , , ?; 2 4 8

共同特点:从第二项起,每一项与前一项 的比都等于同一个常数.

讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地,若一个数列从第二项起,每一
项与它的前一项的比等于同一个常数,这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的
公比,用字母q (q≠0) 表示. 2.等比数列定义的符号语言:

an [或 ? q (q为常数,且q≠0 ;n≥2且n∈N*) ] a n ?1

an ?1 ? q (q为常数,且q≠0 ;n∈N*) an

练 习 判断下列各组数列中哪些是等比数列,哪 些不是?如果是,写出首项a1和公比q, 如 果不是,说明理由。 是 a1=1, q=3 (1) 1,3,9,27,…
(2) (3) (4) (5)
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

1 1 是 a1 ? ,q ? 2 2

5, 5, 5, 5, … 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,…

是 a1=5, q=1 是 a1=1, q= -1 不是

(6) (7) (8) (9)

0,0,0,0,… 1, a, a2, a3 , … x0, x, x2, x3 , … 1,2,6,18,…

不是 不一定 是 a1=x0, q=x 不是

小结:判断一个数列是不是等比数列, 主要是由定义进行判断: 看

an ?1 an

是不是同一个常数?

注意:
(1) 等比数列{an}中, an≠0; (2)公比q一定是由后项比前项所得,而不
能用前项比后项来求,且q≠0; (3)若q=1,则该数列为常数列. (4)常数列 a, a , a , a , …

a ? 0 时,既是等差数列,又是等比数列;
a ? 0 时,只是等差数列,而不是等比数列.

思考: 如果在a与b的中间插入一个数G,使a, G, b 成等比数列,那么G应该满足什么条件? 分析: 由a, G, b成等比数列得: G b 2 ? ? G ? ab ? G ? ? ab a G 2 反之,若 G ? ab, (ab>0) G b ? , 则 a G 即a,G,b成等比数列. ∴a, G, b成等比数列 ? G ? ? ab (ab>0)
2

3.等比中项:
如果在a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比数列,那么称这个数G为a与 b的等比中项. 即:

G是a、b的等比中项 ? G ? ab ( ab ? 0)
2

? G ? ? ab ( ab ? 0)
注意:若a,b异号则无等比中项,

若a,b同号则有两个等比中项.

练习:
()求 1 45与80的等比中项

? 60
(2)已知b是a与c的等比中项,且 abc ? 27, 求b

b?3

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等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

an?1 ?q an

通项公式

?
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an ? q ?n ? 2? 等比数列通项公式的推导: an ?1
方法一:叠乘法

a2 ?q a1

a3 ?q a2 a4 ?q a3 an ?q an ?1

… …

?

方法二:归纳法

a2 ? a1q

(n-1)个 式子

a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3q ? (a1q )q
2

? a1q

3

… …
n ?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1q

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4、等比数列的通项公式
等比数列 an ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时,这是 一个常函数。

? ?

an ? 0

an ? a1 ? q

n ?1

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例1、一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是

a ,公比是q ,那么
1

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
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16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

课堂互动
1 4 ? (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ,求它的第1项; 9 3

解:设它的第一项是 a1,则由题意得

1 5?1 4 a1 ? ( ? ) ? 3 9

解得,

a1 ? 36

答:它的第一项是36 .
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得 a1q ? 10 , a1q 2 ? 20 解得, a1 ? 5 , q ? 2 a4 ? a1q3 ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.
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例2、某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这 种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
放射性物质衰变 到原来的一半所 需时间称为这种 物质的半衰期

解:设这种物质最初的质量为1,经过n年, 剩留量是an .由条件可得,数列?an ? 是一个 等比数列,其中
a1 ? 0.84 ,q ? 0.84 ,an ? 0.5 , n?1 n?1 n 又 an ? a1q ? 0.84 ? 0.84 ? 0.84 n ? 0.84 ? 0.5 两边取对数,得

n lg 0.84 ? lg 0.5 得 n?4
答:这种物质的半衰期大约为4年.

课堂小结 等比数列 名称 等差数列

从第2项起,每一项与它前 从第2项起,每一项与它前 一项的比等于同一个常数 概念 一项的差等于同一个常数

公比(q )
q可正、可负、不可零 常数 通项 * (q ? 0,n ? N ) 公式1 G是a、b的等比中项 中项

公差(d )
d 可正、可负、可零

an ? a1q
2

n ?1

? G ? ab (ab ? 0)

(n ? N ) A是a、b的等差中项 ? 2A ? a ? b
*

an ? a1 ? (n ?1)d


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