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河北省枣强中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


2015-2016 学年高二第一学期期中考试 理科数学 试卷
(百佳联盟质检命题组) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 盒子内分别有 3 个红球,2 个白球,1 个黑球,从中任取 2 个,则下列选项中两个事件互斥而不对

立的是 A.至少有 1 个白球,至多有 1 个白球 C.至少有 1 个白球,没有白

球 B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 D.至少有 1 个白球,红、黑球各 1 个

2.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率为 A.

1 8

B.

5 8

C.

3 8

D.

7 8

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 10,则实数 m 的值为 9 m
B.4 C.16 D.81

A.-16

4.已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A. 3 5.“ 2 ? m ? 6 ”是“方程 A.充分不必要条件 条件 6.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交于 C 于 A,B 两点,则|AB| = A.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 7.已知双曲线 E 的中心在原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 A. B.6 C.12 B. 3 m C.3 D.3m

x2 y2 ? ? 1 为椭圆方程”的 m?2 6?m
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

8.过抛物线错误!未找到引用源。 的焦点 F 的直线错误!未找到引用源。 交抛物线于 A,B, 交其准线于点 C,若错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则抛物线的方程为

A .错误!未找到引用源。 源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用

D.错误!未找到引用源。

9.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则 |PA|+|PB|的取值范围是 A.

? 5, 2 5?

B.

? 10,2 5?

C.

? 10, 4 5?

D. 2 5,4 5

?

?

10.已知平面上两点 M(-5,0),N(5,0),若一条直线上存在点 P 使得|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单

曲型直线”,下列直线:①y=x+1,②y=2,③y= A.①② B.①③

4 x,④y=2x+1 中为“单曲型直线”的是 3
C.②③ D.①④

11.设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离 10

是 A. 7 ? 2 B. 46 ? 2 C. 6 2 D. 5 2

12.已知 A1,A2 分别为椭圆 C: 恒满足 k PA1 ? k PA2 ? ? A.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点,椭圆 C 上异于 A1,A2 的点 P a 2 b2

4 ,则椭圆 C 的离心率为 9
2 3
C.

4 9

B.

5 9

D.

5 3

第 II 卷(非选择题) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为____. 2 k ?8 9

14.若倾斜角为

? x2 2 +y =1 于 A,B 两点,则线段的中点的轨迹方程是 的直线交椭圆 4 4

__________.
15.已知双曲线

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,若顶点到渐近的 2 a b 3

距离为 1,则双曲线方程为________.
16.与圆 A : ( x ? 5) 2 ? y 2

? 49 和圆 B: ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为

____.

三、解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分)
17.(本小题满分 10 分)某售报亭每天以每份 0.6 元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份 1 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份 0.1 元的价格卖给废品收购站. (1) 若售报亭一天购进 280 份报纸,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 x(单位:份)的函数关 系式; (2)售报亭记录了 100 天报纸的日需求量, 整理得下表: 日需求量 x(份) 240 250 260 270 280 290 300 频数 10 20 16 16 15 13 10

① 假设售报亭在这 100 天内每天都购进了 280 份报纸,求这 100 天 的日平均利润; ②若某天售报亭购进了 280 份报纸,以这 100 天记录的各需求量的频率作为概率,求当天的利润 不超过 100 元的概率. 18.(本小题满分 12 分)已知命题 P :函数 f ( x) 为 (0,??) 上单调减函数,实数 m 满足不等式

f (m ? 1) ? f (3 ? 2m) .命题 Q :当 x ? [0, ] ,函数 m ? sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? a .若命题 P 是 2
命题 Q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图 1 的 频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为 (1)求图 1 中 a 的值; (2)图 2 是统计图 1 中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果 S; (3)从质量指标值分布在 ?80,90?, ? 110,120?的产品中随机抽取 2 件产品,求所抽取两件产品的质 量指标值之差大于 10 的概率.

?

A1 , A2 , A3 , A4 , A5

.

图3

图4

20.(本小题满分 12 分)如图 3,实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点 O,其焦点 F1、 F2 在 x 轴上.
1 ? AF 2, △ 抛物线的顶点在原点 O,对称轴为 y 轴,两曲线在第一象限内相交于点 A,且 AF

AF 1 F2 的面积为 3.
(1)求椭圆和抛物线的标准方程; (2)过点 A 的直线 l 与抛物线和椭圆分别交于 B、C 两点,若错误!未找到引用源。=2 ,求直线

l 的斜率 k 的值.
21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x y 6 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的 距离为 3 . a b 3
2 2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 最大值.
22.(本小题满分 12 分)
2 已知椭圆 C 的中心在原点,离心率等于 ,它的一个短 轴端点点恰好是抛物 线 x =8

3 ,求 ?AOB 面积的 2

y 的焦

点. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图 4,已知 P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧 的动点, ①若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; ②当 A、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

高二理科数学参考答案 1-5.DDCAB 13.4 或 ? 6-10.CBABA 14.x+4y=0( ? 11-12CD 15.

5 4

4 5 4 5 ) ?x? 5 5

x2 3y 2 ? ?1 4 4

16.

x2 y 2 ? ?1 9 16

17.(1)当 x≥280 且 x∈N*时,y=280× (1-0.6)=112;
* (280-x)=0.9x-140. 当 x<280 且 x∈N 时,y=(1-0.6)x-0.5×

综 上,y= ?
? ? ?112, x ? 280且x ? N ? ? ?0.9 x ? 140, x ? 280且x ? N

………………………………………………………

……(4 分)
(2)①由(1)得,这 100 天中,每天利润为 76 元的有 10 天,每天利润为 85 元 有 20 天,每天利润为 的 94 元的有 16 天,每天利润为 103 元的有 16 天,每天利润为 112 元的有 38 天, 所以这 100 天的日平均利润为

76 ? 10 ? 85 ? 20 ? 94 ? 16 ? 103 ? 16 ? 112 ? 38 =98.68(元).…………(7 分) 100
②利润不超过 100 元,即当且仅当报纸日需求量不大于 260 份, 故当天的利润不超过 100 元的概率为 P=0.1+0.2+0.16=0.46. ………………………………………(10 分) 18.设命题 P、Q 所对应的集合分别为 A,B.

?m ? 1 ? 0 ? , 对命题 P:由函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的单调减函数可得 ?3 ? 2m ? 0 ? m ? 1 ? 3 ? 2m ?
解之得

2 3 ? m ? ,即 3 2 2 3 A ? ( , ) ;…………………………………………………………………(4 分) 3 2

对于命题 Q:由 x ? [0,

?
2

] 可得 sin x ? [0,1] , m ? sin 2 x ? 2sin x ? a ? 1 ? (sin x ? 1) 2 ? a ,

当 sin x ? 1 时,m 取最小值 a;当 sin x ? 0 时,m 取得最大值 a+1,故

B ? [a, a ? 1] .………………………(8 分 )

2 ? a? ? ? 3 ,解之得 由题意:命题 P 是命题 Q 的充分不必要条件可得 A 是 B 的真 子集,故 ? ? 3 ? a ?1 ? ?2
1 2 ? a ? .…(12 分) 2 3

19.(1)a=0.005

(2)S=18

(3)P=

2 5

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 AF1 ? m, AF2 ? n b 20.(1)设椭圆的标准方程为 a , A( xA , xB ) ,
?m ? n ? 4 3 ? ?m n ? 6 ?m 2 ? n 2 ? 4c 2 由题意知错误!未找到引用源。, ?
2 2 解得 c =9,∴b =12-9=3,

∴椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 12 3 .…………………………………………………………………(3 分)
2 设抛物线的标准方程为 x =2py(p>0).

∵错误!未找到引用源。= y A · c=3,∴ y A =1,将其代入椭圆方程得 x A =2 错误!未找到引用源。, 将点 A 的坐标代入抛物线方程得 p=4,∴抛物线的标准方程为 x2=8y. ………………………………(5 分) (2)由题意可知,直线 l 的方程为 y ?1 ? k ( x ? 2 2 ) ,设 B(x1,y1),C(x2,y2),由错误!未找到引用 源。=2 错误!未找到引用源。,得 x2 ? 2 2 ? 2( x1 ? 2 2 ) ,化简得 2x1 ? x2 ? 2 2 .

? ? y ?1 ? k (x ? 2 2 ) ? 2 ?x ? 8 y 联立直线与抛物线的方程得错误!未找到引用源。 ? ,得

x 2 ? 8kx ? 16 2k ? 8 ? 0 ,∴ x1 ? 2 2 ? 8k

①,(7 分)

联立直线与椭圆的方程得错误!未找到引用源。

? ? y ?1 ? k (x ? 2 2 ) ? 2 2 ? ? x ? 4 y ? 12

得 (1 ? 4k ) x ? (8k ?16 2k ) x ? 32k ?16 2k ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2



x2 ? 2 2 ?

16 2k 2 ? 8k 1 ? 4k 2

②,…………………………………………………………………(9 分)

16 2k 2 ? 8k 2 x1 ? x2 ? 2(8k ? 2 2 ) ? ( ? 2 2) ? 2 2 1 ? 4k 2 ∴
(16 k ? 4 2) (1 ?
整理得:

k 2 )?0 2 1 ? 4k ,∴k= 4 ,∴直线 l 的斜率 k 为

2 4 .………………………(12 分)

?c 6 , ? ? 21.(1)设椭圆的半焦距为 c 依题意 ? a ∴ b ? 1 ,∴ 所求椭圆方程为 3 , ?a ? 3, ?
x2 ? y 2 ? 1 .………(4 分) 3
(2)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时,

AB ? 3 .………………………………………………………………(6 分)
(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k
2

?

3 3 2 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

?6km , 3k 2 ? 1

x1 x2 ?

3(m 2 ? 1) .…………………………………………………………(8 分) 3k 2 ? 1
2 2 2

? 36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? ? ? AB ? (1 ? k )( x2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
2

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2

12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ?4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k
当且仅当 9k ?
2

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

综上所述

AB max ? 2 .…………………………………………………………………………(10
分)
所以,当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值

1 3 3 .……………………(12 分) S ? ? AB max ? ? 2 2 2

22.(1)设椭圆 C 的方程为
2 由题意知:抛物线 x =8

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
y 的焦点为: (0, 2 3) ,所以可得 b ? 2 3 ;



c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 , a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .…………………………………………………………………(4 分) 16 12
(2)(1)解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? 得 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 ; 由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 ;

1 x2 y 2 x ? t , 代入 ? ? 1, 2 16 12

由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?t , x1 x 2 ? t 2 ? 12 . 四边形 APBQ 的面积 S ?

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2

∴当 t ? 0 ,

S max ? 12 3 .…………………………………………………………………………(7
分)
(2)解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k ,

? y ? 3 ? k ( x ? 2)? (1) ? 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 由 ? x 2 y 2 ? 1?? (2) ? ? ?16 12
8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2 ? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
代入(2)整理得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k ) kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,可得 x1 ? 2 ? ∴

x1 ? x2 ?

16k 2 ? 12 ?48k …………………………………………………… , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

…(10 分)

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2

所以 AB 的斜率为定值

1 .………………………………………………………………………(12 分) 2


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