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数系扩充与复数概念


3.1.1 数系的扩充与复数的概念

说教材 说学情

说模式
说设计 说板书 说评价

说开发

向 量

函 说教材 数 必修二 体立

必修三 必修四

解析

必修一 必修一

说学情

平 面
选修1-1
统计 案例

必修部 数 本节内容在整 分 说模式 代 理科选 统 个高中数学内容 文科选 数 说设计 修计 中的位置和地位 修
说板书
高 选修4-1 中 选修4-5 说评价 数 学 课 说开发 程 知 集合 识

方程 与 不等 式

必修五

选修2-1

概 率

选修2-2

选修1-2
推理 证明

选修2-3
选修4-1

数系的扩充 与复数的概 念

框图

函 数

向 量

说教材
函 数
自然数

解析
整数

式 体立 数

方程 与 不等 式

平 面 有理数

代 数
实数

统 计

复数

概 率

函 数
集合

说教材

虚数的引入

本节内容在 复数 本章中的位置 和地位
复数的表示 复数的运算

代数表示

几何表示

代数运算

几何意义

说教材

本节 三维目标
知识与技能 过程与方法

情感态度 价值观

说教材

了解:复数的代数表示法

知识与技能

理解:复数的基本概念 掌握:复数相等的充要条件

说教材

经历

感知

数的发展历程

过程与方法

体会

感悟

基本方法

掌握

建构

基本理论

说教材

体会
? 让学生体会 数学与现实 世界的联系, 体会认识事 物的一般过 程;

感知
情感态度 价值观
? 感受数学来 源于实践, 服务于生活;

培养
? 培养学生的科学精神和创新意识。

说教材
? 教学重点: 感受数系扩充的过程,理解复数的有关概念, 掌握复数相等的充要条件.

本节教学 重点、难点

? 教学难点:
虚数单位i的引进及复数的概念

说教材 说学情 知识上

说模式
说设计 心理上 说板书 学生可能的 说评价 认知障碍 说开发

说教材 高中数学新授课教学模式 说学情
4 5

回顾反思

数学应用 说模式

3

说设计 建 构 理 论 说板书

2









说评价
1

明 确 说开发





说教材 说学情

说模式
说设计 说板书 说评价

说开发

说设计

复习引入
1
数集经历了哪几次扩充?
负整数
自然数

整数

分数

有理数

无理数

实数

2

每一次扩充分别解决了哪些问题?

说设计
问题3.

时间2分钟

1 设计意图:一方面从学生已有 = 1 ,则 3.的认知入手,便于学生快速进入 若x + x 学习状态,激发他们的学习热情, 1 1 2 2 培养学生的归纳、概括与表达能 x + 2 = (x + ) - 2 = 力;另一方面为引入虚数单位“ i” x x 埋下伏笔,引入课题。

1.

对此你有什么困惑?

说设计

创设情境
imaginary 将10分成两部分,使 虚数的,虚的 两者的乘积等于40??

5 ? ?15 5 ? ?15

说设计 时间5分钟

设计意图:介绍与虚数单位i 有关历的史,从而激发学生学 习的兴趣,并让学生感受到科 学上每一步的迈出是多么的艰 辛!

说设计

这与 x +

1 1 2 = 1 得x + 2 = - 1 , 1、由 x + x x 1 2
x 方程x2-x+1=0无实根
2

初步探究,设疑激趣 理论建构

> 0 矛盾的原因是什么?

2、方程x2-x+1=0无实根的根本 原因是什么? -1不能开平方

说设计

3、我们设想引入一个新数,用字母i表示, 使这个数是-1的平方根,即 i2=-1,那 么方程x2-x+1=0的根是什么?

1 3 ± i 2 2
4、若x4=1,利用i2=-1,则x等于 什么? 1,-1,i,-i.

说设计 深入探究,建构概念

5、满足i2=-1的新数i显然不是实数, 称为虚数单位,根据数系的扩充原则, 应规定虚数单位i和实数之间的运算满 足哪些运算律? 乘法和加法都满足交换律、结合律, 乘法对加法满足分配律.

说设计

6、虚数单位i与实数进行四则运算, 可以形成哪种一般形式的数? a+bi(a,b∈R)

7、把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做 复数,全体复数所成的集合叫做复数集, 记作C,那么复数集如何用描述法表示? C={a+bi|a,b∈R}

说设计

8、复数通常用字母z表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式 叫做复数的代数形式,其中a与b分别 叫做复数z的实部与虚部,那么复数 z= 2 -3i的实部和虚部分别是什么?

实部为 2 ,虚部为-3.

说设计

9、两个实数可以相等,两个复数也 可以相等,并且规定:a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)的充要条件是a=c 且b=d,那么a+bi=0的充要条件是 什么? a= b = 0

说设计 巩固探究,明确关系

10、对于复数z=a+bi(a,b∈R) 当b=0时,z为什么数?由此说明实 数集与复数集的关系如何? 当b=0时z为实数.

实数集R是复数集C的真子集.

说设计

11、对于复数z=a+bi(a,b∈R) 当b≠0时,z叫做虚数,当a=0且 b≠0时,z叫做纯虚数,那么虚数集 与纯虚数集之间关系如何? 纯虚数集是虚数集的真子集.

说设计 时间23分钟 12、复数集、实数集、虚数集、纯 虚数集之间的关系用韦恩图怎样表 示?

复数 设计意图:通过一连串的问 纯虚数 题,引导学生积极思考,主动 实数 建构复数的相关概念 虚数

13、两个实数可以比较大小,一个实数 与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗? 虚数不能比较大小.

说设计

数学运用
C

时间1分钟

例1 请你说出下列集合之间的关系 N,Z,Q,R,C.
R 设计意图:让学生通过此 例,巩固数系的扩充过程, Q 明确常用数集之间的关系, 加深对于复数集合的理解。 Z
N

说设计 时间7分钟 例2 写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数, 哪些是虚数,哪些是纯虚数.
设计意图:例题2主要是前后照应, 采用概念同化的方式完善认知结构; 例题3主要是巩固复数的分类标准.让 学生在解决问题的过程中内化复数有 2 关概念,起到及时反馈、学以致用的 功效. 例3 实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i 是

数学运用

1 4 4, 2-3i, 0, ? ? i 2 3 5 ? 2i , 6i,2i

说教材 说学情 说模式 说设计 说板书 说评价 说开发

(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

说设计
对于复数

数学运用 时间5分钟 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R)
a+b i=c+di 设计意图:强化复数相等的 b=d. 充要条件,同时强调,两个复
a=c,

你认为在什么情况下相等呢?

( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y)i 例4 已知数不能比大小,并让学生感受 到复数问题可以化归为实数问 求实数 x,y的值. 题来求解.
说教材 说学情 说模式 说设计 说板书 说评价 说开发

说设计

回顾反思
提出问题:实数能用数轴上的点来表示,所有 的复数也能用数轴上的点来表示吗?
设计意图:通过学生总结、教师 提炼,深化内容,让学生体会数系 扩充过程中蕴含的创新精神和实践 能力。提出问题激发学生对复数的 后续学习的欲望。
说教材 说学情 说模式 说设计 说板书 说评价 说开发

说设计 小结
纯 虚 数

虚 数

时间2分钟
代数 表示 几何 表示 向量 表示

实 数

分 类
复 数 定 义

表 示

说设计

? P52 练习1,2,3 ? P55 习题3.1A组1,2

3.1.1 数系的扩充与复数的概念 一、虚数 1. 虚数单位 2. 虚数的表示形式

说教材 说学情

课堂练习:

例1 请你说出下列集合之间的
关系:N,Z,Q,R,C.

解:

小结:
1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:

二、复数
1. 定义 2. 复数集 3. 复数的表示 4. 复数相等

说模式
例2 写出下列复数的实部与虚
部,并指出哪些是实数,哪些 是虚数,哪些是纯虚数.

说设计

解:

说板书 说评价

z ? a ? bi(a ? R, b ? R) ?复数的代数形式: ? ?复数的实部、虚部 ? ?虚数、纯虚数 ? a?c ?复数相等 : a ? bi ? c ? di ? ? ? ? ?b ? d ?

说开发

说教材 说学情 1.重视对学生学习过程的评价;

2.通过课堂练习评价学生对于复数基本概 说模式 念的掌握情况; 说设计

3. 注重学生发展的多元化评价, 学生的自评,互评,小组评价 说板书
说评价

说开发

说教材 说学情 充分利用教材

说模式
发挥学生主观 说设计 能动性 说板书 理论联系 说评价 实际 说开发

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