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江西省新余市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 文


江西省新余市 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学(文)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数 z 满足 (1 ? 3i ) z ? 1 ? i ,则 | z |? ( ).

2 A. 2

1 B. 2

C. 2

D.2 ).

2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 3.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中,一定成立的是( A. a ? ab ? b
2 2

).
2

B. a ? ab ? b
2

2

C. a ? b ? ab
2

D. a ? b ? ab
2 2

4.以下有关线性回归分析的说法不正确的是



).

A. 在回归直线方程 y =0.4x+12 中, 当自变量 x 每增加一个单位时, 变量 y 平均增加约为 0.4 个单位;

?

?

B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使
2

? ( y ? bx ? a)
i ?1 i i

n

2

最小的 a,b 的值;

C.相关系数为 r , 若 r 越接近 1,则表明回归的效果越好; D.相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱. 5.在等差数列 A.10

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 =
B.18 C.20 D.28



).

an ? 2014sin ?a ? 6.已知数列 n 的通项公式
A. 0 B.

n? 2 ,则 a1 ? a 2 ? ? ? a 2014 = (
C.2014 D. 2015

).

?2014

13 7.如右图所示的程序框图,若输出的结果为 7 ,则判断框中应该填的条件是( A. k ? 5? B. k ? 6? C. k ? 7 ? D. k ? 8?

).

8.有一段演绎推理是这样的:“因为对数函数

y ? log a x

y ? log 1 x
是增函数;已知
2

是对数函

y ? log 1 x
数,所以 A.大前提错误
2

是增函数”,以上推理得出的结论显然是错误的,这是因为( ). B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

-1-

9.已知 x, y 满足

?y ? 2 ? 0 ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

x? y?6 ,则 x ? 4 的取值范围是(
? 13 ? 1, ? ? 7? ? C.

).

? 3? 0, ? ? 7? ? A.

? 6? 0, ? ? 7? ? B.

? 20 ? 2, ? ? 7? ? D.

S n 2n ? 1 ? (n ? N ? ) ?a ? ?b ? S ,T T 4n ? 2 10. 若 n n 分 别 是 等 差 数 列 n , n 的 前 n 项 的 和 , 且 n ,则

a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15 (
39 A. 68
2

).

41 B. 68
2

39 C. 78

41 D. 78
).

x ? ? 0, 2? 11.若不等式 (a ? a ) ? ( x ? 1) ? x ? 0 对一切 恒成立,则 a 的取值范围为(
? 1? 3 ? ? ? ??, 2 ? ? ? A . ? ?1 ? 3 ? , ?? ? ? ? 2 ? B . ?

?1 ? 3 1 ? 3 ? , ? ? 2 2 ? ? C .

? ? 1 ? 3 ? ?1 ? 3 ?? , ? , ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? D.
12. 在 ?ABC 中 , AB ? 5, AC ? 6 ,

cos A ?

1 5 , O 是 ?ABC 的内心 , 若 OP ? xOB ? yOC , 且
).

x, y ? ?0,1? ,则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 (

10 6 A. 3

14 6 B. 3

C. 4 3

D. 6 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.先后掷两颗均匀的骰子,记“第一颗骰子的点数是 3 的倍数”为事件 A , “两颗骰子的点数 之和大于 7”为事件 B ,则 P( B︱A) = 14. 已 知 .
2

{a n }

x ? a3 x ? a4 ? 0 是公比为 q 的正项等比数列,不等式 的解集是
则q ? .
?

{ x a1 ? x ? a 2 },

15.一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 , 距灯塔 68 海里的 M 处, 继 续 航行 , 下午 2 时到达 这 座灯 塔的 东 南方 向 N 处 , 则这 只船 航 行的 速度 为 每小时
-2-

海里.

?a ?是正项等差数列,若 bn ? 16.已知数列
n

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ?b ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ,则数列 n 也为等差数
, 则数列{

列. 类比上述结论, 已知数列 也为等比数列.

?cn ? 是正项等比数列, d 若 n=

dn }

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 设集合 A 为函数 y ? ln(? x ? 2 x ? 8) 的定义域, 集合 B 为函数
2

y ? x?

1 ( x ? ?2) x?2 的值域,

集合 C 为不等式 (ax ? 1)( x ? 2) ? 0( a ? 0) 的解集. (1)求 A ? B ; (2)若 C ? C R A ,求 a 的 取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 大一学生小王选修了一门“数学与生活” ;这门课程的期末考核分理论考核与社会实践考核两 部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ,两部分考核都“合格”者,则可获得

5 4 3 、、 该门课程的学分.甲、乙、丙三人在理论考核中“合格”的概率依次为 6 5 4 ,在社会实践
1 2 5 、、 考核中“合格”的概率依次为 2 3 6 ,所有考核是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙 3 人同时进行理论与社会实践考核,谁获得学分的可能性最大; (2)求这 3 人进行理论与社会实践两项考核后,恰有 2 人获得学分的概率.

19.(本小题满分 12 分)

? ? ?a ? a ? 2 ,在平面直角坐标系中,设 a ? (2an , ?1), b ? (1, 2an?1 ) ,且 a ? b ? ?1 . 已知数列 n 中 3

?

?

-3-

(1)求数列 的前 n 项和

?an ? 的通项公式 an 和前 n 项和 Sn ; ?b ? b ? an ? 22 a (2)数列 n 满足 n

n

,求数列

?bn ?

Tn .

20.(本小题满分 12 分)

? ? 1 ? ? ? a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) f ( x ) ? ( a ? b) ? a ? 2 . 2 已知向量 ,函数
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; ( 2 )已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边 , 其中 A 为锐角 , a ? 2 3, c ? 4 且

f ( A) ? 1 ,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S .
21.(本小题满分 12 分) 我校数学老师这学期分别用 A,B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班 (人数均为 60 人, 入学数学平均分数和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样) 。现随机抽取甲、乙两班各 20 名的数学期末考试成绩, 得到 茎叶图:

(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均分高? (2)现从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 86 分的同学至少 有一个被抽中的概率; (3)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写答卷里的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯错 误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”

?2 ?
参考公式 参考数据:

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

-4-

22.(本小题满分 12 分) 设数列

?a ?的前 n 项和 S n
n n

? 0 , a1 ? 1 , a 2 ? 3 ,且当 n ? 2 时, a n a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ) S n .

(1)求证数列 (2)求数列

?S ?是等比数列;
n

?a ?的通项公式;
9a n (a n ? 3)(a n ?1 ? 3) ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .设 ? 是整数,问是否存在正整
3? 7 ? 5a n ?1 8 成立?若存在,求出 n 和相应的 ? 值;若不存在,说明理由.

bn ?
(3)令

数 n ,使等式

Tn ?

-5-

新余市 2014-2015 学年度上学期期末质量检测 高二数学参考答案(文科 A 卷) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

7 13. 12
1 3 n 1? 2 ? 3??? n (c1 ? c 2 2 ? c 3 ? ?? ? c n )

1? 5 2 14.

17 6 2 15.

16.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 解: (1)由于 ? x ? 2 x ? 8 ? 0 , 解得 A ? ( ?4, 2) ,
2

??????????

2分

y? x?


1 1 ? ( x ? 2) ? ?2 x?2 x?2
??????????4 分





B ? [ 0 ,? ? . )


以 ??????????5

A ? B ? [0, 2) .
分 (2)因为 分 由

C R A=(-? ,-4] ? [2,+? ) ,

??????????6

(ax ? 1)( x ? 2) ? 0





a?0





( ? ax ? 1)( x ? 2) ? 0





1 C ? ( ??, ]? [2, ?? ) a ,

???7 分

?1 ? ? ?4 ?a 1 ? ?a?0 ? a ? 0 欲使 C ? C R A 则, 则? , 得 4 ,
9分

??????????

1 [? , 0) 综上所述, 所求 a 的取值范围是 4 .
10 分

??????????

-6-

1 9. (本小题满分 12 分)

1 ? ? an ?1 ? an ? a ? b ? 2 a ? 2 a ? ? 1 n n ?1 2, 解: (1)由已知得: ,则

?a ? 则数列 n 是公差为 2 的等差数列,
1 1 an ? a3 ? (n ? 3) ? ? (n ? 1) 2 2 故 , Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 3) ? 2 4
bn ? ?n ? 1?2 n

1

???????2 分

??????????4 分

??????????6 分 ??????????7 分

(2)由(1)得 则

Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? ? n ? 1? 2n
??????????8 分 ??????????9 分

2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? ? n ? 1? 2 n ?1
所以

?Tn ? 2 ? 21 ? ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? ? n ? 1? 2n ?1

2 2 1 ? 2 n ?1 ? ?n ? 1?2 n ?1 1? 2 2 ? 4 ? 2 2 n ?1 ? 1 ? ?n ? 1?2 n ?1 ? 4?

?

?

?

?

? ?n ? 2
分 得 分

n ?1

??????????11

Tn ? n ? 2n ?1

????????????12

-7-

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)甲班数学成绩集中于 60~90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80~100 分之间,所 以乙班的平均分高.??(2 分) (2)记成绩为 86 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C , D, E , F , “从用甲班数学 成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有:

( A, B), ( A, C ), ( A, D), ( A, E ), ( A, F ), ( B, C ), ( B, D), ( B, E ), ( B, F ), (C , D), (C , E ), (C , F ), ( D, E ), ( D, F ), ( E , F ), 共 15 个.?????????????(5 分)
“ 抽 到 至 少 一 个 86 分 的 同 学 ” 所 组 成 的 基 本 事 件 有 :

( A, B ), ( A, C ), ( A , D ), (A , E ), (A ,F ), (B ,C ), (B ,D ), (B ,E ), ( B ,F ), 共 9 个, ????? (6 分)

P?
故所求概率 (Ⅲ)

9 3 ? . 15 5 ??????????????????????????(7 分)

优秀 不优秀 合计

甲班 3 17 20

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

??????????(9 分)

40 ? (3 ?10 ? 10 ?17) 2 ? ? 5.584>5.024 ?2 13 ? 27 ? 20 ? 20 ,???????????(11 分)
因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关??12 分 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 n ? 3 时, 代入

a n ? S n ? S n ?1 , a n ?1 ? S n ?1 ? S n ,

a n a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ) S n 并化简得 S n2 ? S n ?1 S n ?1 (n ? 3) , ………………………1 分

-8-

a n a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ) S n ,又由 a1 ? 1, a 2 ? 3 得 S 2 ? 4 ,
代入

a 2 a3 ? (a3 ? a 2 ) S 2 可解得 a3 ? 12 ,∴ S1 ? 1, S 2 ? 4, S 3 ? 16 , S n2 ? S n ?1 S n ?1 ,而 S n 恒为正值,∴数列 ?S n ?是等比数列.………………………3 分
S n ? 4 n ?1 .当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 3 ? 4 n ? 2 ,

也满足

(2)由⑴知

n ?1 ? 1, an ? ? n?2 ?3 ? 4 , n ? 2 又 a1 ? S1 ? 1 ,∴
(3)当 n ? 2 时,

………………………5 分

an ? 3 ? 4 n?2

9a n 9 ? 3 ? 4 n?2 bn ? ? (a n ? 3)(a n ?1 ? 3) (3 ? 4 n ? 2 ? 3)(3 ? 4 n ?1 ? 3) ,此时

?

1 4 n?2 ? 1

?

1 4 n ?1 ? 1 ,又

b1 ?

9a1 3 ? (a1 ? 3)(a 2 ? 3) 8

3 ? , n ?1 ? 8 bn ? ? 1 1 ? n?2 ? n ?1 , n?2 ?4 ?1 4 ?1 ∴ .
T1 ? b1 ? 3 8,

…………………………………7 分



-9-


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