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广东省肇庆市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题


试卷类型:A

广东省肇庆市 2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、 试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需 要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区 域内相应的位置上;如需改动,先划掉原的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效.

?? ?x ? a ? 中系数计算公式 b 参考公式:线性回归方程 y ? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ?n? x
2

?x
i ?1

? x, ? ? y ?b ,a

2 i

其中 x , y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N= A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1} C.{-1,0,2} D.{0,1}

2.为了解 2000 名学生对学校食堂的意见,准备从中抽取一个样本容量为 50 的样本. 若采 用系统抽样,则分段间隔 k 为 A.20 B.30 C.40 D.50

3.已知集合 P ? {x | ?1 ? x ? 3} , Q ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则 P ? Q ? A.(-2,1) B. (-2,3) C.(1,3) D. (-1,1)

4.已知一组数据为 0,3,5,x,9,13,且这组数据的中位数为 7,那么这组数据的众数为 A.13 B.9 C.7 D.0

5.下列各组函数表示相等函数的是

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A. f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? 1
0

开始

B. f ( x ) ? 2 x ? 1 与 g ( x ) ?

2x 2 ? x x

输入 N

C. f ( x ) ? ?

? x( x ? 0), 与 g ( x) ?| x | ?? x( x ? 0)
2

k=1,p=1 p=p?k

D. f ( x) ?| x ? 1 | 与 g (t ) ?

(t 2 ? 1) 2

k=k+1 是

6.执行右图所示的程序框图,如果输入的 N 是 5, k<N? 那么输出的 P 是 A.1 C.120 B.24 D.720 否 输出 p

结束

7.下列函数是偶函数,且在(0,+∞)上 是增函数的是

1 A. f ( x ) ? ( ) x 2
C. f ( x) ? ln x 8.已知曲线 y ? (

B. f ( x ) ? x

2 3

D. f ( x) ? ? x ? 4
2

1 x ) 与 y ? x 的交点的横坐标是 x0 ,则 x0 的取值范围是 10 1 1 1 A. (0, ) B.{ } C. ( ,1) D. (1,2) 2 2 2 1 9.函数 f ( x) ( x ? R )为奇函数, f (1) ? , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? 2 5 A.0 B.1 C. D.5 2
10.已知函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 f (? x) ? f ( x) ,则 x 的取值范围是 1

?log 2 x, x ? 0 ? ? ?
2

A. (-∞,-1) ∪ (1,+∞) C. (-∞,-1) ∪ (0,1)

B. (-1,0)∪ (0,1) D. (-1,0)∪ (1,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
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11.函数 f ( x) ?

2 ? x ? x ? 2 的定义域是 ▲ .

12.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 ▲ . 13.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图. 若第一组至第六组数据的 频率之比为 2346 41,且前三组数据的频数之和等于 36,则 n 等于 ▲ . 14.已知偶函数 f ( x) 在 ?0,?? ? 上单调递减,且 f (2) ? 0 . 若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范 围是 ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) A、B、C、D、E 五位学生的数学成绩 x 与物理成绩 y(单位:分)如下表:

x y

80 70

75 66

70 68

65 64

60 62

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

?x ? a ? ?b ?; y
(参考数值: 80 ? 70 ? 75 ? 66 ? 70 ? 68 ? 65 ? 64 ? 60 ? 62 ? 23190 ,

802 ? 752 ? 702 ? 652 ? 602 ? 24750 )
(2)若学生 F 的数学成绩为 90 分,试根据(1)求出的线性回归方程,预测其物理成 绩(结果保留整数) .

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 | x | . (1)求函数 f ( x) 的定义域及 f (? 2 ) 的值; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性;

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(3)判断 f ( x) 在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

17. (本小题满分 14 分) 某工厂的 A、B、C 三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示. 质检 人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取 6 件样品进行检测. 车间 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中自 A、B、C 各车间产品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件进行进一步检测,求这 2 件商品自相同车间的 概率.

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? (1)求 α 的值; (2)求函数 f ( x) 的零点; (3)判断 f ( x) 在(-∞,0)上的单调性,并给予证明.

1 5 ,且 f (3) ? ? . ? x? ( ? ? R ) x 3

19. (本小题满分 14 分) 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台. 现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台. 已知从甲地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调运 1 台 至 A 地、B 地的费用分别为 300 元和 500 元. (1)设从甲地调运 x 台至 A 地,求总费用 y 关于台数 x 的函数解析式; (2)若总运费不超过 9000 元,问共有几种调运方案; (3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? . ? x ?1 ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) x 4 2
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(1)若 ? ?

3 时,求函数 f ( x) 的值域; 2

(2)若函数 f ( x) 的最小值是 1,求实数 ? 的值.

2014—2015 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 C 10 C

二、填空题 11.{2} 12.

1 3

13.80

14. (-1,3)

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 x ?

80 ? 75 ? 70 ? 65 ? 60 ? 70 , 5 70 ? 66 ? 68 ? 64 ? 62 y? ? 66 , 5
5 i i

(1 分) (2 分)

?x y
i ?1 5

?80 ? 70 ? 75 ? 66 ? 70 ? 68 ? 65 ? 64 ? 60 ? 62 ? 23190 , (3 分)

?x
i ?1

2 i

? 80 2 ? 75 2 ? 70 2 ? 65 2 ? 60 2 ? 24750

(4 分)

?? 所以 b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5xy ? ? 5x
2

?x
i ?1

2 i

23190 ? 5 ? 70 ? 66 ? 0.36 , 24750 ? 5 ? 70 2

(6 分)

?x ? 66 ? 0.36 ? 70 ? 40.8 . ? ? y ?b a

(7 分) (8 分)

? ? 0.36 x ? 40.8 . 故所求线性回归方程为 y

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? ? 0.36 ? 90 ? 40.8 ? 73.2 ? 73 , (2)由(1) ,当 x=90 时, y
答:预测学生 F 的物理成绩为 73 分.

(11 分) (12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意得 | x |? 0 ,解得 x ? 0 , 所以函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) .
1 2

(1 分) (2 分)

f (? 2 ) ? log 2 | ? 2 |? log 2 2 ?

1 . 2

(4 分)

(2)设 x ? (??,0) ? (0,??) ,则 ? x ? (??,0) ? (0,??) .

f (? x) ? log 2 | ? x |? log 2 | x |? f ( x) ,
所以 f (? x) ? f ( x) . 所以函数 f ( x) 是偶函数. (3) f ( x) 在(0,+∞)上的单调增函数. 设 x1 , x 2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? log 2 | x1 | ? log 2 | x 2 |? log 2

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

x1 . x2

(10 分)

因为 0 ? x1 ? x 2 ,所以

x1 ? 1. x2

(11 分)

所以 log 2

x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,所以 f ( x) 在(0,+∞)上的单调增函数.(12 分) x2

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以 A 车间产品被选取的件数为 50 ?

6 1 , (3 分) ? 50 ? 150 ? 100 50
(4 分)
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1 ? 1, 50

1 ? 3, 50 1 C 车间产品被选取的件数为 100 ? ? 2. 50
B 车间产品被选取的件数为 150 ?

(5 分) (6 分)

(2)设 6 件自 A、B、C 三个车间的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件产品构成的所有基本事件为: (A,B1) , (A,B2) , (A,B3) , (A,C1) , (A,C2) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,C1) , (B1,C2) , (B2,B3) , (B2,C1) , (B2, C2) , (B3,C1) , (B3,C2) , (C1,C2) ,共 15 个. (10 分)

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D: “抽取的这 2 件产品自相同车间” ,则事件 D 包含的基本事件有: (B1,B2) , (B1,B3) , (B2,B3) , (C1, C2) ,共 4 个. 所以 P ( D ) ? (12 分)

4 4 ,即这 2 件产品自相同车间的概率为 . 15 15

(14 分)

18. (本小题满分 14 分)

5 1 5 ,得 1 ? ? 3? ? ? ,解得 ? ? 1 . 3 3 3 1 (2)由(1) ,得 f ( x) ? 1 ? ? x . x
解: (1)由 f (3) ? ?

(4 分)

x2 ? x ?1 1 令 f ( x) ? 0 ,即 1 ? ? x ? 0 ,也就是 ? 0, x x
解得 x ?

(6 分)

1? 5 . 2 1? 5 1 是 1 ? ? x ? 0 的根, 2 x 1? 5 . 2

(8 分)

经检验, x ?

所以函数 f ( x) 的零点为 (3)函数 f ( x) ? 1 ? 证明如下:

(9 分) (10 分)

1 ? x 在(-∞,0)上是单调减函数. x

设 x1 , x 2 ? (??,0) ,且 x1 ? x 2 .

(11 分)

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f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (1 ?

1 1 1 ? x1 ) ? (1 ? ? x 2 ) ? ( x 2 ? x1 )( ? 1) (12 分) x1 x2 x1 x 2
(13 分) (14 分)

因为 x1 ? x 2 ? 0 ,所以 x 2 ? x1 ? 0 , x1 x 2 ? 0 . 所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 所以 f ( x) ? 1 ?

1 ? x 在(-∞,0)上是单调减函数. x

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)设从甲地调运 x 台至 A 地,则从甲地调运(12-x)台到 B 地,从乙地调运(10-x) 台到 A 地,从乙地调运 6-(10-x)=(x-4)台到 B 地, 依题意,得 y ? 400 x ? 800(12 ? x) ? 300(10 ? x) ? 500( x ? 4) , 即 y ? ?200 x ? 10600 ( 0 ? x ? 10 , x ? Z ). (2)由 y ? 9000 ,即 ?200 x ? 10600 ? 9000 ,解得 x ? 8 . 因为 0 ? x ? 10 , x ? Z ,所以 x=8,9,10. 答:共有三种调运方案. (3)因为函数 y ? ?200 x ? 10600 ( 0 ? x ? 10 , x ? Z )是单调减函数, (12 分) 所以当 x=10 时,总运费 y 最低, y min ? 8600 (元). (13 分) (1 分) (5 分) (6 分) (8 分) (10 分)

此时调运方案是:从甲分厂调往 A 地 10 台,调往 B 地 2 台,乙分厂的 6 台机器全部调往 B 地. (14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ?

1 ? 1 1 ? x ?1 ? 3 ? ( ) 2 x ? 2? ? ( ) x ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) (1 分) x 2 2 4 2
2

设 t ? ( ) x ,得 g (t ) ? t ? 2?t ? 3 ( 当? ?

1 2

1 ? t ? 2 ). 4

(2 分) (3 分)

3 3 3 1 时, g (t ) ? t 2 ? 3t ? 3 ? (t ? ) 2 ? ( ? t ? 2 ). 2 2 4 4

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所以 g (t ) max ? g ( ) ? 所以 f ( x) max ?

1 4

37 3 3 , g (t ) min ? g ( ) ? . 16 2 4

(5 分)

37 3 3 37 , f ( x) min ? ,故函数 f ( x) 的值域为[ , ]. (6 分) 16 4 4 16
2 2 2

(2)由(1) g (t ) ? t ? 2?t ? 3 ? (t ? ? ) ? 3 ?? ( ①当 ? ? 令? ②当

1 ?t ? 2) 4

(7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

1 1 ? 49 时, g (t ) min ? g ( ) ? ? ? , 4 4 2 16 49 33 1 ? 1 ,得 ? ? ? ,不符合舍去; 16 8 4

?
2

?

1 ? ? ? 2 时, g (t ) min ? g (? ) ? ??2 ? 3 , 4

令 ? ?2 ? 3 ? 1 ,得 ? ?

2 ,或 ? ? ? 2 ?

1 ,不符合舍去; 4

③当 ? ? 2 时, g (t ) min ? g (2) ? ?4? ? 7 , 令 ? 4? ? 7 ? 1 ,得 ? ?

3 ? 2 ,不符合舍去. 2

综上所述,实数 ? 的值为 2 .

(14 分)

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