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浙江省嘉兴市2016届高三数学下学期教学测试试题(二)理(扫描版)


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2016 年高三教学测试(二) 理科数学 参考答案 (2016.4)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. D; 5. B; 2. B; 6. D; 3. A; 7. C; 4. C; 8. C.

8.解析:因为 x ? 0 , x 2 ? x ? x 2 ? y ? 所以 y ? 1 ,又 y ?

11 ? 1 5 ? 1.2 . 2 ? x 2 ? y ? y 2 ? y , ,所以 0 ? x ? 2 2

5 5 ,所以 1 ? y ? . 2 2 5 5 3 ? 5 由 x 2 ? y ? 得 0 ? x 2 ? ? y ? ? ,所以 sin x 2 ? sin( ? y ) ,故 A 正确; 2 2 2 2 2
由 2 ? x2 ? y 得

?
2

? 1.44 ? x 2 ? 2 ? y ? ?

1 ? ? ? ,所以 sin x 2 ? sin(2 ? y) ,故 B 正确; 2 2

对于 C,取 2 ? x 2 ? 由 x2 ? y ? 正确.

?
2



?
2

? y?

1?? 时,显然不成立,所以 C 不正确; 2

5 5 ? ? ? 得 0 ? x 2 ? ? y ? ? 1 ? y ? ,所以 sin x 2 ? sin( ? 1 ? y) ? cos(1 ? y ) ,故 D 2 2 2 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 9. 0, ? 13. 2;

9 ; 8

10. 0;-2 或 4; 14.

11.

? 11?
2 , 4
15. ?



12.

8 ;2; 3

1 ; 2
AB | AB | ? AD | AD |

1 . 2
) ? AC ? 1 | AC |2 ? | AC | 2

15.解析:因为 ( AO ?

) ? AC ? ( AO ?

AC | AC |

?

1 1 1 (| AC | ?1) 2 ? , 因为 3 R ?| AC |? 2R ,所以 | AC |? 1 时,取到最小值 ? . 2 2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 △ ABC 中 , 设 边 a , b , c 所 对 的 角 为 A, B , C , 且 A, B , C 都 不 是 直 角 ,

(bc ? 8) cos A ? ac cos B ? a 2 ? b2 .
(Ⅰ)若 b ? c ? 5 ,求 b , c 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

7

解: (Ⅰ) (bc ? 8) ?

b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ? ac ? ? a2 ? b2 2bc 2ac

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 8? ? ? a2 ? b2 2 2bc 2 b2 ? c2 ? a 2 ? 8 ? b2 ? c2 ? a 2 ?0, 2bc

∵△ ABC 不是直角三角形,∴ bc ? 4 ? 0

?b ? 1 ? b ? 4 故 bc ? 4 ,又∵ b ? c ? 5 ,解得 ? 或? ?c ? 4 ? c ? 1

(Ⅱ)∵ a ? 5 ,由余弦定理可得
5 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2bc ? 2bc cos A ? 8 ? 8 cos A ,所以 cos A ?

3 , 8

所以 sin A ?

1 55 55 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? . 2 4 8

所以△ ABC 面 积的最大值是 17. (本题满分 15 分)

55 3 ,当 cos A ? 时取到. 4 8

如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 ,
BC ? CC1 ? 1 ,点 P 是 CD 上的一点, PC ? ? PD .

D1
A1 B1

C1

(Ⅰ)若 A1 C ? 平面 PBC 1 ,求 ? 的值;

D A

P
B

C

(Ⅱ)设 ?1 ? 1 , ? 2 ? 3 所对应的点 P 为 P1 , P2 , 二面角 P1 ? BC 1 ? P2 的大小为 ? ,求 cos ? 的值. 解:法一: (Ⅰ)∵ A1C ? BC1

(第 17 题)

若 A1C ? PB ,则 A1C ? 平面 PBC 1 ,只要 AC ? PB 即可 在矩形 ABCD 中,

1 CP BC 1 ,解得 CP ? , ? ? ; ? 2 3 BC AB

(Ⅱ)过 C 作 CH ? BC1 交 BC1 于 H ,连接 P1 H , P2 H ,则 ?P1 HP2 就是所求二面角 的一个平面角 ? ∵ P1 C ? 1 , P2 C ? ∴ tan ?P1 HC ?
3 2 2 3 , CH ? 2 2

, tan ?P2 HC ? 2
2 ,所 8

z
D1
A1 B1

tan? ? tan(?P2 HC ? ?P1 HC ) ?

C1

D A

P
B

C

y

8

x

求余弦值为

4 2 33

.

法二: (Ⅰ)建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,
B(1,2,0), C1 (0,2,1), A1 (1,0,1), C (0,2,0)

设 P (0,
?

2 ,0) , 若 A1 C ? 平面 PBC 1 , 1? ?
?

A1C ? ( ?1,2,?1) , BC1 ? ( ?1,0,1) ,

BP ? (?1,2 ?

?

2 ,0) ,则 1? ?

? ? ? 1 ? A1C ? BP ? 0 ,解得 ? ? ? ? ? 3 ? A C ? BC ? 0 1 ? 1

(Ⅱ) P1 (0,2,0) , P2 (0,1,0) 设平面 BC1 P1 与平面 BC1 P2 的法向量分别是 n1 , n2
?? ? ? ? n1 ? BP1 ? 0 ,解得 n1 ? (1,?1,1) ?? ? ? n ? BC ? 0 1 ? 1

z
D1
A1 B1

C1

D A

P1

P2

C

y

x

B

? ? ?? ? ? n1 ? n2 4 2 ? n 2 ? BP2 ? 0 ,解得 n 2 ? ( 3,?2,3) , cos? ? ? ? ?? ? ? 33 ? n ? BC ? 0 | n1 | ? | n2 | 1 ? 2

18. (本题满分 15 分) 已知 m ?R,函数 f ( x) ? ? x 2 ? (3 ? 2m) x ? 2 ? m . (Ⅰ)若 0 ? m ?
1 ,求 | f ( x ) | 在 [ ?1,1] 上的最大值 g ( m ) ; 2

(Ⅱ)对任意的 m ? (0,1] ,若 f ( x ) 在 [0, m ] 上的最大值为 h( m ) ,求 h( m ) 的最大值. 解: (Ⅰ)∵对称轴为 x ?

3 ? 2m ?1 2

∴ g( m ) ? max{| f ( ?1) | ,| f (1) | } ? max{| 3m ? 2 | ,| 4 ? m | }
? max{2 ? 3m ,4 ? m }

又∵ (4 ? m ) ? ( 2 ? 3m ) ? 2 ? 2m ? 0 ∴ g( m ) ? 4 ? m .

9

(Ⅱ)函数的对称轴为 x ? ①

3 ? 2m ,且函数开口向下 2

3 ? 2m 3 , ? 0 ,即 m ? (舍去) 2 2 3 3 ? 2m 17 3 ? 2m ? m ,即 ? m ? 1 , h(m) ? f ( ) ? m 2 ? 2m ? 2 4 2 4

②0? ③

3 ? 2m 3 ? m ,即 0 ? m ? , h(m) ? f (m) ? ?3m2 ? 4m ? 2 4 2
, 当m ?
10 2 时,取得最大值 3 3

17 3 ? 2 ? m?1 ? m ? 2m ? 4 4 ∴ h( m ) ? ? 3 ? ? 3m 2 ? 4m ? 2 0 ? m ? 4 ?
19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l1 : y ? kx ? m ( m ? 0 )与圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切 16 4

且与椭圆 C1 交于 A, B 两点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标为

y
4 ,求 m 的值; 3
C

A
O

(Ⅱ)过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C , D 两点,设
| AB |? ? | CD | ,求 ? 的最小值.
(第 19 题)

B D

x

解: (Ⅰ) l1 : y ? kx ? m 代入 C 1 :

x2 y2 ? ? 1得 16 4

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4(m 2 ? 4) ? 0 , ? ? 0 恒成立,
8km ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 ,所以 ? 4km ? 4 ①, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 1 ? 4k 2 3 ? x1 x 2 ? 4( m ? 4) 2 ? 1 ? 4k ?

又d ?

|k ?m| 1? k2

? 1 ,得 k ?

1 ? m2 ②,联立①②得 m 4 ? m 2 ? 2 ? 0 , 2m

解得 m ? 2 .
2 2 4 16k 2 ? m 2 ? 4 2 4 16k ? m ? 4 | AB | ? 1 ? k ? ,所以 , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 | x1 ? x2 |?

把 l2 : y ? kx 代入 C 1 :

x2 y2 8 16 ? ? 1 得 x2 ? ,所以 | CD |? 1 ? k 2 ? , 2 16 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

10

所以 ? ?

1 m2 | AB | 16k 2 ? m 2 ? 4 1 m2 ? 4 ? ? ? 4? 2 | CD | 2 1 ? m2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4( ) 2m

?

1 m4 1 1 6 4? 4 ? 4? ? , 2 1 1 3 2 2 3 m ?m ?1 2 ( 2? ) ? 2 4 m
6 2 , ? 取最小值 . 4 3

当 m ? 2, k ? ?

20. (本题满分 15 分) 已知点列 Pn ( x n ,
2 ) 与 An (an ,0) 满足 xn ? 1 ? xn , xn

y

Pn Pn?1 ? An Pn?1 , 且 Pn Pn ?1 ? An Pn ?1
n ? N , x1 ? 1 .
*

, 其 中
P1 P2
O

P3

(Ⅰ)求 xn ? 1 与 xn 的关系式;
2 2 2 2 (Ⅱ)求证 : n2 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ? 4n .

A1

A2

x

(第 20 题)

解: ( Ⅰ) Pn Pn?1 ? ( x n?1 ? x n ,
( x n ?1 ? x n ,

2 x n ?1

?

2 2 ) , An Pn?1 ? ( x n?1 ? a n , ) xn x n ?1

2 2 2 4 ? ) ? ( xn ? 1 ? an , ) ? 0 得 x n ?1 ? a n ? 2 ①, x n ?1 x n xn ? 1 x n ?1 ? x n

又 ( xn ? 1 ? xn )2 ? (

2 xn ? 1

?

2 2 4 ) ? ( xn ? 1 ? an )2 ? 2 ② xn xn ? 1
2 xn ?1

把①代入②,得 ( x n?1 ? x n ) 2 (1 ? 得 ( x n ?1 ? x n ) 2 ?
4
2 xn ?1

4 4 4 ) ? 2 (1 ? 2 ), 2 2 ? xn x n ?1 x n ?1 ? x n
2 x n ?1

,所以 x n?1 ? x n ?



(Ⅱ) x n?1 ? x n ?
2 所以 xn ?1 ? 1 ? n

2 x n ?1
i ?1 2

,所以 2 ? xn?12 ? xn xn?1 ? xn?12 ? xn 2 ,
? xi
2

? ?x
i ?1

? ? 2n ,所以 x

n?1

? 2n ? 1 ,

2 2 2 2 x2 ? x3 ? ?? x n ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ? n .
n n n

又 n ? 2 时, xn?1 ? x2 ?

?
i ?2

( xi ?1 ? xi ) ?

?
i ?2

2 ? xi ?1

?
i ?2

2 2i ? 1



11

因为

2 2i ? 1

?

4 2i ? 1 ? 2i ? 1

?

4 2i ? 2i ? 2

? 2 2( i ? 1 ? i ) ,

所以 xn ? 1 ? x2 ?

? (2
i?2

n

2( i ? 1 ? i ) ? 2 2( n ? 1 ? 2 )

所以 xn ?1 ? 8n ? 8 ? 2 ,所以 x n?1 2 ? 8n ? 8 ? 4 ? 4 8n ? 8 ? 8n ? 4 ,
2 2 2 2 又 x 2 ? 2 ,所以 x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ? 4[1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? 4n .

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