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四川省成都市第七中学2016届高三上学期第1次周练数学试题


成都七中高 2016 届数学周末练习(一) 1.已知集合 P ? {x | x 2 ? 1} , M ? {a} ,若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是( A. (??, ?1] B. [1, ??) C. [ ?1,1] D. (??, ?1] ? [1, ??) () )

2.若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ (a ? 1)(a ? 2) ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

C.既不充分又不必要条件

3.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x x ? b ? 2, x ? R .若 A ? B ,则实数 a , b 必满足 ( ) .

?

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A. a ? b ? 3 B. a ? b ? 3 C. a ? b ? 3D. a ? b ? 3 4.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x 1 ? x ? 5, x ? R .若 A I B ? ? ,则实数 a 的取值 范围是( ) .

?

?

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A. a 0 ? a ? 6 B a a ? 2, 或a ? 4 C. a a ? 0, 或a ? 6 D. a 2 ? a ? 4 5.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为( ) A. (3,?3) 6 已知集合 P ? { x | B. ( ?4,11) C. (3,?3) 或 ( ?4,11) D.不存在

?

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?

?

?

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1 ? x ? 3} ,函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 2) 的定义域为 Q. 2 1 2 (I)若 P ? Q ? [ , ), P ? Q ? ( ?2,3] ,则实数 a 的值为; 2 3
(II)若 P ? Q ? ? ,则实数 a 的取值范围为. 7 已知 f ? x ? 是定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? 的奇函数,在区 间 ?0,??? 上单调递增,当 x ? 0 时, f ? x ? 的图像如右图所示: 若: x ? ? f ?x ? ? f ?? x ?? ? 0 ,则 x 的取值范围是; 8 已知函数 y ? f ?x ? ?x ? R ?满足 f (? x ? 2) ? f (? x) ,且 x ? ? 1, 1 时 f ( x) ? x
x 则 y ? f ( x)与y ? log7 的交点的个数为 __________ ___。

y

o 3

x

?

?

9









f ( x)的值域 [0,4](x ? [?2,2]),函数g ( x) ? ax ? 1, x ? [?2,2]



?x1 ?[?2,2],总?x0 ?[?2,2],使得g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是。

10 设 f ( x) ? x? ? ax? ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f '(?) ? ?a, f '(?) ? ?b ,其中常数 a, b ? R 。 (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ)设 g ( x) ? f '( x)e? x ,求函数 g ( x) 的极值。

11 设 f ( x ) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3

12.设 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ?x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ?x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a )

成都七中高 2016 届数学周末练习(一) 1.已知集合 P ? {x | x 2 ? 1} , M ? {a} ,若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是( A. (??, ?1] B. [1, ??) C. [ ?1,1] D. (??, ?1] ? [1, ??) )

【解析】 : P ? {x | x2 ? 1} ? {x | ?1 ? x ? 1} , P ? M ? P ? a ?[?1,1] ,选 C。 2.若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ (a ? 1)(a ? 2) ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件 ( A)

3.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x x ? b ? 2, x ? R .若 A ? B ,则实数 a , b 必满足 ( ) .

?

?

?

?

A. a ? b ? 3 B. a ? b ? 3 C. a ? b ? 3D. a ? b ? 3 【解】集合 A 化为 A ? x a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R , 集合 B 化为 B ? x x ? b ? 2或x ? b ? 2, x ? R .
B A a- 1 a+1 b- 2 b+2 a- 1 B A a+1

?

?

?

?

若 A ? B ,则满足 a ? 1 ? b ? 2 或 a ? 1 ? b ? 2 ,因此有

a ? b ? ?3 或 a ? b ? 3 ,即 a ? b ? 3.故选D.
4.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x 1 ? x ? 5, x ? R .若 A I B ? ? ,则实数 a 的取值 范围是( ) .

?

?

?

?

A. a 0 ? a ? 6

?

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B. a a ? 2, 或a ? 4

?

? ?

C. a a ? 0, 或a ? 6

?

?

D. a 2 ? a ? 4

?

? ?

【解】集合 A 化为 A ? x a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R ,又 B ? x 1 ? x ? 5, x ? R 因为 A I B ? ? ,则 a ? 1 ? 1 或 a ? 1 ? 5 ,即 a ? 0 或 a ? 6 .故选C.

?

?

a-1

a+1 1

5 a-1

a+1

5.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为( B) A. (3,?3) 6.已知集合 P ? { x | B. ( ?4,11) C. (3,?3) 或 ( ?4,11) D.不存在

1 ? x ? 3} ,函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 2) 的定义域为 Q. 2 3 1 2 (I)若 P ? Q ? [ , ), P ? Q ? ( ?2,3] ,则实数 a 的值为 a ? ? ; 2 2 3
(II)若 P ? Q ? ? ,则实数 a 的取值范围为 a ? (??, ?4] . 7.已知 f ? x ? 是定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? 的奇函数,在区 间 ?0,??? 上单调递增,当 x ? 0 时, f ? x ? 的图像如右图所示: 若: x ? ? f ?x ? ? f ?? x ?? ? 0 ,则 x 的取值范围是; y

?? 3,0? ? ?0,3?;

o 3

x

8.已知函数 y ? f ?x ? ?x ? R ?满足 f (? x ? 2) ? f (? x) ,且 x ? ? 1, 1 时 f ( x) ? x
x 则 y ? f ( x)与y ? log7 的交点的个数为 __________ ___。6

?

?

9.









f ( x)的值域 [0,4](x ? [?2,2]),函数g ( x) ? ax ? 1, x ? [?2,2]



?x1 ?[?2,2],总?x0 ?[?2,2],使得g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 。
5 5 (?? ,? ] ? [ ,?? ) 2 2

10.设 f ( x) ? x ? ax ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f '(?) ? ?a, f '(?) ? ?b ,其中常数 a, b ? R 。 (Ⅰ)求 曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e ,求函数 g ( x) 的极值。 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b 则 f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 2a ? b ? ?3 ;
/ 2 / ?x

?

?

f / (2) ? 12 ? 4a ? b ? ?b ? a ? ?
f (1) ? 5 / , f (1) ? ?3 2

3 2

; 所 以

3 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 1 2

, 于 是 有

故曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程为: 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知
/ 2 g(x ? ) x2 ( ? 3 x ? e? x3? g 3 x ? ) ? x ? x (e? x ) , (令 3

9

)

g / ( x) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? 3 ;
于是函数 g ( x) 在 ( ??,0) 上递减, (0,3) 上递增, (3, ??) 上递减; 所以函 数 g ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? ?3 ,在 x ? 3 处取得极大值 g (3) ? 15e?3 。

11.设 f ( x ) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3 2 2 【解析】 (1) f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,即存在某个子区间 (m, n) ? ( ,?? ) 使 3 3 2 1 2 1 ' 2 得 f ' ( x) ? 0 .由 f ( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ? ? 2a ,f ' ( x) 在区间 [ ,?? ) 上单调 3 2 4 2 1 ' 2 ' 2 递减,则只需 f ( ) ? 0 即可。由 f ( ) ? ? 2a ? 0 解得 a ? ? , 9 3 3 9 1 2 所以,当 a ? ? 时, f ( x) 在 ( ,?? ) 上 存在单调递增区间. 9 3
(2)令 f ' ( x) ? 0 ,得两根 x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x1 ? , x2 ? . 2 2 2

所以 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调 递减,在 ( x1 , x 2 ) 上单调递增 当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( x2 )

27 ? 6a ? 0 ,即 f (4) ? f (1) 2 40 16 ? ? ,得 a ? 1 , x2 ? 2 , 所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 f (4) ? 8a ? 3 3 10 从而 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( 2) ? . 3 1 3 2 12.设 f ? x ? ? x ? mx ? nx . 3
又 f (4) ? f (1) ? ? (1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ?x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ?x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a ) .解: (1)已知 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx ,? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n 3

' 2 又? g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 ? x ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值,

则 g ' ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5. 则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,? f ? x ? ?
2

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x 3

(2)要使 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx 单调递减,则? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 3

又递减区间长度是正整数,所以 f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b。即有: b-a 为区间长度。又 b ? a ?

?a ? b?2 ? 4ab ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ?

又 b-a 为正整数 ,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合。


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