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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)专题讲座一知能训练轻松闯关


b 1.(2016· 湛江模拟)若函数 f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则 f(x)在 x 下列区间上单调递增的是( A.(-2,0) C.(1,+∞) ) B.(0,1) D.(-∞,-2) b b 解析:选 D.由题意知,f′(x)=1- 2,因为函数 f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1, x x b 2)上有零点,所以当 1- 2=0

时,b=x2,又 x∈(1,2),所以 b∈(1,4),令 f′(x)>0,解得 x x<- b或 x> b,即 f(x)的单调递增区间为(-∞,- b),( b,+∞),因为 b∈(1,4),所 以(-∞,-2)符合题意,故选 D. 2. (2015· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0, 当 x>0 时, xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) f(x) xf′(x)-f(x) 解析:选 A.设 y=g(x)= (x≠0),则 g′(x)= ,当 x>0 时,xf′ x x2 (x)-f(x)<0,所以 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)上为减函数,且 g(1)=f(1)=-f(-1)=0. 因为 f(x)为奇函数,所以 g(x)为偶函数, 所以 g(x)的图象的示意图如图所示. 当 x>0,g(x)>0 时,f(x)>0,0<x<1, 当 x<0,g(x)<0 时,f(x)>0,x<-1, 所以使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选 A. 1-x 3.已知函数 f(x)= +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数 a 的取值 ax 范围为________. 1-x ax-1 解析:因为 f(x)= +ln x,所以 f′(x)= (a>0). ax ax2 因为函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以 f′(x)= ax-1 ≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,所 ax2 1 以 ax-1≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≥ 对 x∈[1,+∞)恒成立,所以 a≥1. x 答案:[1,+∞) 4.若函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同的零点,则 a 的值为________. 解析: 由题意得 f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2), 由 f′(x)>0, 得 x<1 或 x>2, 由 f′(x)<0, 得 1<x<2,所以函数 f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可 知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1),f(2),若欲使函数 f(x)恰好有两个不同的零点,则需使 f(1)=0 或 f(2)=0,解得 a=5 或 a=4. 答案:5 或 4 5.已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x<- a或 x> a,由 f′(x)<0,解得

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