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2005-2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案[1]


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为( 4

?

)

>
A. y ? sin x

B. y ? cos x

C. y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4
)

2. 如果二次方程 x 2 ? px ? q ? 0( p, q ? N * ) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有( A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个
1 的最小值是( b( a ? b )

D. 8 个
)
A1 D A

P C1 B1 C B

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2

D1

B. 3 C. 4 D. 5 4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此
四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?(

)

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an? 2 ? 16an?1 ? 63an , n? N*, 则 a2005 被 64 除的余数为
( )

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有( )

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ? _________
王新敞
奎屯 新疆

8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的
等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________
王新敞
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9. 函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ?R) 的最小值是 ________

王新敞
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新疆

10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 _________
王新敞
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11. 由三个数字 1、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数 共有 ________
王新敞
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1

12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},
N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是__
王新敞
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三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM (用 ? 表示) ? ? , 试求 N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 BN MN
王新敞
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A

M B D

N C

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,


? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn ?1 ? x1 )

王新敞
奎屯

新疆

2

x2 y 2 15. 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的 a b
焦点弦
王新敞
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若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用
y
王新敞
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e 表示直线 PQ 的斜率

R

Q

F P

o

x

16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由
王新敞
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2005 (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 , 求 n 的

最小值, 并说明理由

王新敞
奎屯

新疆

3

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案 的代表字母填在题的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括 号内) ,一律得 0 分. 2 1.已知数列{an}的通项公式 an= 2 ,则{an}的最大项是 n -4n+5 A.a1 2.函数 y=3 y B.a2 |log x| 3 的图象是 y y y C.a3 D.a4 ( ) ( )

O

x O

xO

x O

x

A. B. C. D. 2 3.已知抛物线 y =2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则 这样的 P 点共有 ( ) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数,若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( ) A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数多条 1 3 10 6.在△ABC 中,tanA= ,cosB= .若的最长边为 1,则最短边的长为 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 C. 2 5 5 D. 5 5 ( )

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本小题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10} ,B={y|y=5m,m∈N,0?n?6}则集合 A∪B 的所有元素 之和为__________________. 8.设 cos2θ= 2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是__________________. 3

9.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为__________________.

?y?0, ? 10.已知?3x-y?0, 则 x2+y2 的最大值是__________________. ? ?x+3y-3?0,
1 11.等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- ,设 f(n)表示这个数列的前 n 项的积,则当 n= 2 _________________时,f(n)有最大值. 12. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 AB1=4, 1=3, AD 则对角线 AC1 的取值范围是________________.
4

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题,第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)
2a 13.设集合 A={x|log1(3-x)?-2} ,B={x| ?1} ,若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. x-a 2

x2 y2 14.椭圆 + =1 的有焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 9 4 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1,若这 24 个点到右准线的距离 的倒数和为 S,求 S 的值.

5

15.△ABC 中,AB<AC,AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明是直角. A

B

D

E

C

16.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p.

6

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知函数 y ? sin x ,则
2

答:[ (B)有最小正周期 ? (D)无最小周期
2

]

(A)有最小正周期 2? (C)有最小正周期
2

? 2

2. 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值 (C) 0 (D) ?1 ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 (B) 1 三点是 (A) A 、 B 、 D (C) B 、 C 、 D 答:[ (B) A 、 B 、 C (D) A 、 C 、 D 答:[ ] ] 的和是 (A) 2 答:[ ]

4. 设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

, 3, 5, 7? 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1 2,4,6, , i ? 0,2 ,并且 1,
2

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为
(A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个

答:[ (D) 120 个

]

6. 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x? R) , 且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有
2

答:[ (D)无数个

]

(A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

7. 设 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 8. 设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过点 1)

.

(2, ,则 a ? b 等于 8)

.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 9. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( 2 x ? 2x ?1

x 的取值范围为
2 2

. .

10. 圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是
7

11. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?
2

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3
2

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x? R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中 有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 13. 设不等式组 ? .

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

0) 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 的直线 l 与
曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. C A

B A1

B1

C1

8

15. 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?3 ? an ? 3 , an ? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

16. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明 你的结论.

9

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
(时间:2008 年 4 月 20 日上午 8:00—10:00)
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大值为 [ ]
2 2
2 2

A.

a?b 2

B.

ab
x

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数 y ? f (x) 与其 反函数 y ? f ( x) 的图像的公共点只可能是点 [ ] A. P B. Q C. M D. N 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差 数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 答:[ ] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
?1

?1 1? ?2 4?
1 0.5

2 1

x
y

z
]

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 [ A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的平面 ? , ? [ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分)

]

6. 设 集 合 A ? x x ? ?x ? ? 2 和B ? x x ? 2 , 其 中 符 号 ?x ? 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 则
2

?

?

?

?

A ? B ? ___________________.
7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? __________(结果要求写成既约分数). 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为____________. 9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________. 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则
2

a2 ? b2 =______________. c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)

11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时, f (x) 的取值 范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?

10

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已 知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角 的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).

N C A D

B M

11

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角 线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

12

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinα cosβ =1,则 cos(α +β )= _________ .

2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1= -5,则 k= _________ .

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e=
A

_________ .
3 +1 1 4.已知 x = 1-x,则实数 x= _________ 9 -1 3-3
x

R


D B Q P C

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ =2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 _________ . . .

6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 _________

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm 的长方体, 长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、 60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 _________ → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO= _________ cm . .
3

3

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列 的前 2009 项的和为 _________ .
2

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a =2b(a+b),则 b= _________ 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)



x y 11. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A, 两点, 是椭圆的左焦点. B F 求 9 4 以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.

2

2

13

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,
C

AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC.
A D E B

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验 证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你 的结论.

15

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为
x x

. .

2.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值是
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

. ,最小值是 .

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4, 0 ? 、 B ? ? 6,8 ? 、 C ? ? 2, 4 ? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是关于 x 的奇函数,则函 数 y ? f ? x ? 在区间 ? 0,100 ? 上至少有 个零点. .

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .
(第 7 题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 .

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



10.设复数列 ? xn ? 满足 xn ? a ? 1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是 .

a xn * .若对任意 n? N 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1

二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB ,证 4 5 5

明:线段 AB 的中点在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2

16

12.已知整数列 ? an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 .

17

E 13 . 如 图 , 圆 内 接 五 边 形 ABCDE 中 , AD 是 外 接 圆 的 直 径 ,

BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、
DC 分别交于点 F 、 G .
证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

A

H F B G C

D

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3 x 都是完全平方数.
2 2

18

2011 年高中数学联赛江苏赛区试题
一、填空题(本题共 10 小题,每小题 7 分,要求将答案直接写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? . .

2.已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ?

2. 3 . 某 班 共有 30 名学 生, 若 随 机 抽查 两 位 学生的 作 业 , 则班 长 或 团支书 的 作 业 被抽 中 的 概率 是 . (结果用最简分数表示) . 3.
1 4.已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 四边形的面积为 .

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段为邻边的平行 3

6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等 于 . 7.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是



8.设 f (m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ?

.

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10 . 已 知 m 是 正 整 数 , 且 方 程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有 整 数 解 , 则 m 所 有 可 能 的 值 是 .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

x 12. f ( ) ? 2? cbc ( , ? ) R . x ? 2 时,f ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, b2 ? c2 设 x x b ? 若 且 求

的最大值和最小值.
19

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC ) ? 90? ? ?BAC 2 2 2

A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

20

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2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x?[?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为_____.

???? ??? ? ???? ??? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? _______.
3、从集合 ?3, 4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值为 ________.

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C : 12 4
角的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 6、已知 a 是正实数, k

3 ,则直线的斜率为_______.

? a lg a 的取值范围是________.

7 、 在 四 面 体 ABCD 中 , ____________. 8、 已知等差数列 则 an

AB ? AC ? AD? DB?5 , BC ? 3 , CD ? 4 该 四 面 体 的 体 积 为

?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足:a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35,

? bn ? ______.( n ? N * )

71 75 9、将 27,37,47,48,55 , , 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排
列有________种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个 数为_____. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a
2 C cos A ? cos B 2sin 2 ? (2) a?b c

21

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

f ( x) ?| ln x ?

a | ?b( x ? 0) x

. 若

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a , b ; (2)求函数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线

OM

上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1 .线段 AB 交圆 O 于另一点

C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

22

14、设是 a, b, c, d 正整数, a , b 是方程 x 面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准
说明:
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次
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23

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4

?

A. y ? sin x

B. y ? cos x

C. y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4
答: [ B ]

解: y ? sin[( x ?

?

) ? ], 即 4 4

?

y ? c o s . 故选 B x

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2. 如果二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个
2

B. 6 个

C. 7 个

D. 8 个
答: [ C ]

解:由 ? ? p ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负. 设 f ( x) ? x ? px ? q ,则 f (3) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9
2 2

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由于 p, q ?N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意. 故选 C
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3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3

1 的最小值是 b( a ? b )

C. 4

D. 5
答: [ C ]

解:由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b(a ? b) ? ( 所以, a ?
2

b? a ?b 2 1 2 ) ? a , 2 4
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1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C b( a ? b) a

4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个

? 去截此四棱锥, 使得

D. 有无数多个
答: [ D ]

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 确定了一个平面 ? 作与 ? 平行的平面
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? , 与四棱锥的各个侧面 ? 有无数多
?

? n

P

m

n

C1

截,则截得的四边形必为平行四边形 而这样的平面 个.故选 D
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A1 D

D1

B1 C B

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5. 设 数 列

{an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an? 2 ? 16an ?1 ? 63an ,
A

n?N*, 则 a2005 被 64 除的余数为
A. 0 B. 2 C. 16
24

D. 48

答: [ C ] 解 : 数 列 {an } 为 : 2,16,130,1072,8962,75856,649090, ? ? , 被 64 除 的 余 数 为 2,16, 2,48,2,16,2,48,??四项一个循环, 又 2005 被 4 除余 1, 故选 C
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6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

答: [ D ] 解:铺第一列(两块地砖)有 30 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图), 那么, 第二列的上格不能铺 A 色 若铺 B 色, A 2 则有 6-1=5 种铺法;若不铺 B 色,则有 (6 ? 2) =16 种 B
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方法 于是第二列上共有 5+16=21 种铺法
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同理, 若前一列铺好,则其后一列都有 21 种铺法.因

此,共有 30 ? 21 种铺法 故选 D
7
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二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ? ________
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解:设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以 2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9)

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

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? 2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .

23 ? ?m ? 5 , ? ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此 OB ? (?

??? ?

11 23 11 23 , ) 故填 (? , ) 5 5 5 5
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8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的
等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________
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解:由题意知 由 a1 ? S1 得 又由 ① 式得

(a ? 2) 2 an ? 2 ? 2Sn , 即 Sn ? n 8 2

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??? ①

a1 ? 2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 2
(an ?1 ? 2 2 ) Sn ?1 ? (n ? 2 ) , 8

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??? ②

于是有

an ? Sn ? S?1 ? n

(an ? 2) 2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8
25

整理得 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an ?1 ? 0 , 故 an ? an ?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2
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所以数列 {an } 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列,其通项公式为 an ? 2 ? 4(n ? 1) , 即 an ? 4n ? 2 . 故填

an ? 4 n ? 2 (n ? N*)

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9. 函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ?R) 的最小值是 _________
解:令 t ?| cos x |?[0,1] ,则 y ? t ? | 2t ? 1|
2
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2 1 9 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 2 4 8

2 ? y ? 2; 2 2 9 ? y? . 2 8

当 0?t?

2 1 2 9 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 2 4 8

又 y 可取到

2 2

, 故填

2 2

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10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、F 、G 分别是棱 AA1 、
C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 _____
解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ? 易证, HE || B1G , HE || 平面 B1 FG
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1 4

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D1 A1 H

F B1

C1

故 VB1 ? EFG ? VE ? B1FG ? VH ? B1FG ? VG ? B1FH
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而 S?B1FH
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9 ? , 8

E D G A B C

3 G 到平面 B1 FH 的距离为 1 故填 VB1 ? E F G ? 8 11. 由三个数字 1、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数 共有 _______
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解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个;
1 1 2 3

若 1 只出现 2 次,有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个;
2 1 2
3 1 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个.则这样的五位数共有 150 个.故填 150 个
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12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},
N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ?
R}. 若
y

M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是____

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26
N N

2 1

M

N x

o

解:由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集,

N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其内部的点集(如图)
令 y ? 1, 代入方程 | x ? y ? 1|?

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考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围:

2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 .

所以,当 a ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 时, 令 y ? 2 ,代入方程

M ? N ? ?.

???? ③

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得 x ? 3 ? 10 .
???? ④

所以,当 a ? 3 ? 10 时, M ? N ? ? .

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ? [1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M ? N ? ? .故填 [1 ? 6,3 ? 10]

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三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB 是 ?NBC BC BM 的外接圆的切线, 设 (用 ? 表示) ? ? , 试求 A BN MN BM NA CD 证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得 ? ? ?1 N MN AC DB M B C BM AC D 因为 BD ? DC ,所以 ?????? 6 分 ? MN AN AB AC CB 由 ?ABN ? ?ACB ,知 ?ABN ∽ ?ACB ,则 ? ? AN AB BN
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AB AC ? CB ? ? ?? 所以, ? , 即 AN AB ? BN ?
2

2

AC ? BC ? ?? ? AN ? BN ?

2
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?? 12 分

BM ? BC ? BC BM ?? 因此, ??, 故 ? ?2 ? . 又 MN ? BN ? BN MN

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???????? 15 分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,


?x
i ?1

n

i

? 0 时, 总有

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn ?1 ? x1 )

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解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1 x2 ? x2 x1 ? ?2 x1 ? 0
2

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所以 n ? 2 时命题成立

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???????? 3 分

当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0. 2 2

27

所以 n ? 3 时命题成立

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??????? 6 分

当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 ) 2 ? 0
所以 n ? 4 时命题成立
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??????
n

9分
i

当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1 , x4 ? ?2 , x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 , 则
n

?x
i ?1

? 0.

但是,

?x x
n ?1

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立

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综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4

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????? 15 分

15. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M

y
R Q' M' P' F P M Q

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过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则

o

x

1 1 | PF | | QF | | PQ | ????? 6 分 | MM ' |? (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? 2 2 e e 2e
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假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | 3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 ? | PQ | , 2 2e 2
?????????? 12 分

所以, e ?

3 3

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于是, cos ?RMM ' ?

1 | MM ' | | PQ | 2 1 ? ? ? , 故 cot ?RMM ' ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e 2 ? 1

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若 | PF | ? | QF | (如图),则 k PQ ? tan ?QFx ? tan ?FMM ' ? cot ?RMM ' ?

1
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3e 2 ? 1

? 18 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 k PQ ? ?

1
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3e2 ? 1

?????? 24 分

28

x2 y 2 又 e ? 1 , 所以,椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a b
e?( 3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1

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16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由; (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 2005 , 求 n 的 最小值, 并说明理由
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3 3 解: (1) 因为 10 ? 1000, 11 ? 1331, 12 ? 1728, 13 ? 2197 , 12 ? 2005 ? 13 ,
3 3 3 3

故 n ?1

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因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使
3 3 3 3

nmin ? 4

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?????? 6 分
3 3

若 n ? 2 ,因 10 ? 10 ? 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12 ,计算

2005 ? 113 ? 674, 2005 ? 123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以

n ? 2 不可能是 n 的最小值

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?????? 9 分
2 3

若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3x ? 2005 ? 3 ? 8 , 知 最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 11 或 12
3 3
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由于 2005 ? 3 ? 9 , 2005 ? 2 ? 9 ? 547 , 2005 ? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9
3 3

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由于 2005 ? 2 ? 10 ? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3
3 3 3 3

2005 ? 10 3 ? 2 ? 7 3 ? 0 , 所以
3 3

x ? 10

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由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331 , 2005 ? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3

3

3

所以 x ? 11

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由于 2005 ? 12 ? 6 ? 61 , 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 12
3 3 3 3 3

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因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值

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综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 ,? , xn , 则

?????? 12 分

3 3 x13 ? x2 ? ? ? xn ? 20022005 ????? ⑤
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29

由 2002 ? 4(mod9) , 4 ? 1(mod 9) ,得
3

20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod 9) ?? ⑥
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?? 15 分

又当 x?N* 时, x ? 0, ?1 (mod 9) ,所以
3

3 3 3 x13 ∕ 4(mod 9) , x13 ? x2 ≡ 4 (mod 9) , x13 ? x2 ? x3 ∕ 4 (mod 9) . ? ⑦ ≡ ∕ ≡

????? 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4
3 3 3 3
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而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ,则

20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 )3 ?? 24 分
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因此 n ? 4 为所求的最小值

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30

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案 的代表字母填在题的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括 号内) ,一律得 0 分. 2 1.已知数列{an}的通项公式 an= 2 ,则{an}的最大项是 n -4n+5 A.a1 B.a2 C.a3 D.a4 1 解:an= ,当 n=2 时,an 取最大值,故选 B. (n-2)2+1 |log x| 2.函数 y=3 3 的图象是 y y y y ( ) ( )

O

x O

xO

x O D.

x

A. B. C. 解:由于|log3x|?0,故 y?1,只有 A 满足此条件,故选 A.

3.已知抛物线 y2=2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则 这样的 P 点共有 ( ) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 解:作垂直于 x 轴的焦点弦交抛物线于点 P1、P2,则△P1OF、△P2OF 是直角三角形.对于抛物线上异 于 O、P1、P2 的点 Q,显然∠QFO≠90?,∠QOF≠90?,从而若△QOF 为直角三角形,则只能是∠ y2 FQO=90?.设点 Q 坐标为( ,y)(y≠0,±p),则有 2p y2 y2 p ( - )+y2=0, 2p 2p 2 y2 3p 由 y≠0 得, + =0,此方程无实解,从而这样的点 P 只能 2 个,选 B. 2p 2 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数,若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 解:则 x1>-x2,知 f(x1)<f(-x2)=-f(x2)?f(x1)+f(x2)<0; 同理,f(x2)+f(x3)<0,f(x3)+f(x1)<0; 所以,f(x1)+f(x2)+f(x3)<0.选 B. )

5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数多条 解:首先,过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线.故若以
31

长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系,则方程|x|=|y|=|z|共有 8 解,此 8 解共 组成 4 条直线,故选 C. 1 3 10 6.在△ABC 中,tanA= ,cosB= .若的最长边为 1,则最短边的长为 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 C. 2 5 5 D. 5 5
A 2a C a D 3a B





解:作辅助图如右:取高 CD=a,则 AD=2a,BD=3a, 1 最短边 AC= 5a;由 5a=1,得 a= ,故选 D. 5

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本小题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10} ,B={y|y=5m,m∈N,0?n?6}则集合 A∪B 的所有元素 之和为__________________. 解:A∩B={15};故所求和=(3+6+?+27)+(0+5+?+30)-15=225. 2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是__________________. 3 2 2 ?cos4θ+sin4θ-2cos2θsin2θ= ; 3 9 ① ②

8.设 cos2θ=

解:已知即 cos2θ-sin2θ=

又,cos2θ+sin2θ=1? cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θ=1. (①+②)÷2: 11 cos4θ+sin4θ= . 18

9.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为__________________. 解:(x-3x2)3=x3-3x2×3x2+3x×9x4-27x6.?x5 的系数=27. 10. 已知?3x-y?0,

?y?0,

?x+3y-3?0,

则 x2+y2 的最大值是__________________.

y

解:满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界.其中 点(3,0)与原点距离最大,故(x2+y2)max=9.
1

1 11.等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- ,设 f(n)表示这 2 个数列的前 n 项的积,则当 n=_________________时,f(n) 有最大值. 解:由于 f(4k)>0,f(4k+1)>0,(k∈N*). f(4k)=a1 q2k(4k 故
4k
-1)

x
O 1 2 3

;f(4k+1)=a 1

4k+1 2k(4k+1)

q



f(4k+1) f(12) 3 30 =a1q4k.于是 f(12)>f(13),且当 k?3 时,f(4k+1)<f(4k);又 =a1q ,有 f(9)<f(12); f(4k) f(9)

f(4k+4) 4 2(8k+3) =a1q , 故 f(8)<f(12),且 k?3 时,f(4k+4)<f(4k), f(4k) 从而 f(12)最大. 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围是_____
32

_________________________. 解:设长方体的三度分别为 x,y,z,对角线 AC=d.则可得 x2+z2=16,y2+z2=9. d2=x2+y2+z2=25-z2, 但 0<z<3,从而 16<d2<25?4<d<5?所求取值范围为(4,5).

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题,第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)
2a 13.设集合 A={x|log1(3-x)?-2} ,B={x| ?1} ,若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. x-a 2 解:由 log 1(3-x)?-2?0<3-x?4?-1?x<3.
2

2a 由 ?1?(x-a)(x-3a)?0. x-a ① 当 a>0 时,解为 a<x<3a; ② 当 a=0 时,解为?; ③ 当 a<0 时,解为 3a<x<a. 若 A∩B≠?,则当 a<0 时,有 a>-1?-1<a<0;当 a>0 时,有 3a<3?0<a<1. 所以,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,1). x2 y2 14.椭圆 + =1 的有焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 9 4 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1,若这 24 个点到右准线的距离 的倒数和为 S,求 S 的值. 5 b2 4 解法一:已知椭圆的 a=3,b=2,c= 5,e= ,p= = . 3 c 5 对于椭圆上任一点 P,|FP|=r,P 到准线的距离|PH|=d, Ox 正向夹角为 θ,则有 r rcosθ+d=p, =e. d 于是, 1 1 d(1+ecosθ)=p,? = (1+ecosθ). d p 1 1 24 e 24 S= ∑ = ∑ (1+ecosθ)= + ∑ cosθ= . di pi=1 p pi=1 p i=1 242 S2= 2 =180. p 解法二:设过焦点且斜率为 k 的直线交椭圆于 A、B 两点.则有
? y=k(x-c), ? 2 2 ?4x +9y =36.
24 24 24

y P r O d H x

FP 与

F p

?

所以,



① ②

①代入②: 即, 所以,

4x2+9k2(x- 5)2-36=0. (4+9 k2)x2-18 5xk2+45k2-36=0. 45k2-36 18 5k2 x1+x2= . 2 ,x1x2= 4+9k 4+9k2

9- 5x 1 a2 5 而点 P 到准线距离 d= -x= ? = , c d 9- 5x 5 故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为

33

5[18- 5(x1+x2)] 5 5 + = 9- 5x1 9- 5x2 81-9 5(x1+x2)+5x1x2 18 5k2 5[18- 5· ] 4+9k2 = 2 18 5k2 45k -36 81-9 5· 2 +5 4+9k 4+9k2 = = 18 5(4+9k2)-90 5k2 81(4+9k2)-810k2+225k2-180 72 5+72 5k2 5 = . 2 144+144k2

a2 4 而过焦点且倾斜角 θ=90?时,两交点到准线的距离= -c= ,故 θ=90?及 270?的两个点到准线 c 5 距离倒数和也= 5 . 2 5 =6 5;S2=180. 2

所以,S=12×

?x= 5+tcosθ, 解法三:令? 代入椭圆方程得,t2(4cos2θ+9sin2θ)+8 5tcosθ-16=0. ?y=tsinθ.

同上. 15.△ABC 中,AB<AC,AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明是直角. 证明一:延长 AE 到 F,使 EF=AE,延长 AD 到 K,使 DK= A FK,FB. 因 FB∥AC?∠AFB=∠EAC. B D E 又 BD 垂直平分 AK,故∠AKB=∠BAD, 因∠BAD=∠EAC,所以∠AKB=∠AFB.所以 A、F、K、B 圆. K F FK∥BC?∠FKA=90?.故 AF 为该圆直径.E 为此圆圆心. 故 EA=EB=EC,即点 C 在此圆上.此圆为△ABC 的外接圆,BC 为圆的直径. 所以∠BAC 为直角. AD . 连

C

四点共

证明二:取△ABC 的外接圆,延长 AE 交圆于点 F,连 FB,则∠CBF=∠CAF=∠BAD, 但∠BAD+∠ABD=90?,从而∠FBC+∠ABC=90?,即∠ABF=90?. 从而 AF 为圆的直径.若 E 不是圆心,则 AF⊥BC,?AB=AC.与已知矛盾. A 故 E 为外心.从而∠BAC=90?. 证明三:作△ABC 的外接圆,作 EF⊥BC,交外接圆于点 F,连 AF. ⌒ 则 EF 是 BC 的垂直平分线,故 F 为 BC 的中点,于是 AF 是∠BAC 的平分线.
F 由∠BAD=∠EAC,得∠DAF=∠EAF. 又,EF∥AD,故∠DAF=∠EFA?∠EAF=∠EFA.?EA=EF.故 AF 的垂直平分线经过点 E. 由于△ABC 的外接圆圆心应是弦 AF、BC 的垂直平分线的交点,故 E 为△ABC 的外心.从而△ABC 为直角三角形,得,∠BAC 为直角. 证明四:取 AC 中点 F,连 DF、EF, A 由 EF∥AB?∠AEF=∠EAB=∠BAD+∠DAE=∠EAC+ ∠ DAE B C

D

E

F

34
B D E C

=∠DAC, 由 AD 为高,故∠DAC=∠ADF, 所以,∠ADF=∠AEF?A、D、E、F 四点共圆. 于是有∠EFA=90?,从而∠BAC=90?,故证. 证明五:以 D 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立坐标系.设点 A、B、C 的坐标分别为 A(0,a),B(b, 0),C(0,c). b 设 AB 到 AD 的角为 α,则 tanα=- . a a 2a kAC=- ,kAE=- ,? c b+c a 2a - + c b+c a(c-b) tan∠EAC= = 2 . 2a2 2a +bc+c2 1+ c(b+c) a(c-b) b 由 tan∠EAC=tanα?- = 2 . a 2a +bc+c2 化简得 a2=-bc.即|AD|2=|DB|· |DC|.故△ABC 为直角三角形. h 证明六:设 BC=a,BD=p,AD=h,则 tanB= , p h 2h tan∠AEB= = . 1 a-2p a-p 2
B A

y
A(0,a)

B(b,0)

D E

C(c,0)

x

p

h
D E

a

C

a-p ∠BAE=∠DAC?tan∠BAE=tan∠DAC= . h a-p h 2h a-p 2h(a-p) h 2h 在△ABE 中,有 + + = · · = . p a-2p h p a-2p h p(a-2p) 即 h2(a-2p)+2ph2+p(a-p)(a-2p)=2h2(a-2p).?h2=p(a-p).从而|AD|2=|DB|· |DC|.故△ABC 为直角三角形.得证. 证明七:设∠BAD=∠EAC=α,则 AD=ABcosα=ACsinC, ① ∠BAE=∠DAC=90?-C.而 S△BAE=S△CAE?AB· AEsin(90?-C)=AC· AEsinα?ABcosC=ACsinα.② ①×②:sin2α=sin2C?α+C=90?或 α=C. 若 α+C=90?,则 D、E 重合,与 AC>AB 矛盾,?α=C.则有∠BAC=90?,得证. 16.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p. 解 p=2 时,p2+71=75=3×52,d(75)=2×3=6<10,故 p=2 是本题的解; p=3 时,p2+71=80=24×5,d(80)=5×2=10?10,故 p=3 是本题的解; 若质数 p>3,则 p2≡1(mod 8)?p2+71≡0(mod 8),故 23|p2+71; p2≡1(mod 3)? p2+71≡0(mod 3),故 3|p2+71. α 2 所以,p +71=2 ×3β×t.其中α 、β ∈N*,且α ?3. 当α =3, =1,t 若有大于 3 的质因子,则 d(p2+71)?4×2×2,故 t=1.此时无质数 p 满足题意; β 当α =4,β =1,必有 t=1,此时有 d(p2+71)?5×2=10.此时无质数 p 满足题意; 当α ?4,β ?1,且等号不同时成立时,d(p2+71)>10. 综上可知,解为 p=2,3.

35

2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y ? sin x ,则( B ).
2

(A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 解: y ? sin 2 x ?

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

? 2

1 . (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 故选(B) 2

2.关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值 的和是( C ). (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) ? 1 解:方程 x 2 ? ax ? 20a 2 ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式

x 2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即
. ? 1 ? a ? 1 . 故选(C) ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线 的三点是( A ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D

解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A) . 4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( D ). (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

解: (A)选项缺少条件 m ? ? ; (B)选项当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ; (C)选项当 , ? 、 ? 、 ? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角) m ? ? ? ? 时, m ? ? ;

(D)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D) .
2 , 3, 5, 7? 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1 2,4,6, , i ? 0,2 ,并且 1,

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( C )
(A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个 (D) 120 个

解:由 6 ? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ?1 ?

? 7 ? 6 ?10 ,故
(1) 由 3 ? 2 ? 1知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ?10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种.
36

于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C) . 6.已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2007 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2007 ( x? R) , 且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有( D ).
2

(A)2 个

(B)3 个

(C)4 个

(D)无数个

解:由题设知 f ( x) 为偶函数,则考虑在 ? 1 ? x ? 1 时,恒有

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2007) ? 2008 ? 2007 .
所以当 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ?1 ? 1 时,恒有 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) .
2

2

由于不等式 ?1 ? a 2 ? 3a ? 2 ? 1 的解集为

3? 5 3? 5 ,不等式 ?a? 2 2

? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2 .因此当
. f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) . 故选(D) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

3? 5 ? a ? 2 时,恒有 2

7.设 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 S 5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 解:设等差数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公差为 d . 由题设得 ?

d ? ?1 .

?5a1 ? 10 d ? 10, ?a1 ? 2d ? 2, 即 ? 解之得 d ? ?1 . ?10 a1 ? 45 d ? ?5, ?2a1 ? 9d ? ?1,

8. 设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过点 1)

(2, ,则 a ? b 等于 8)
解:由题设知 ?

4

.

? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 化简得 ? 2 ? (8 ? b) ? a . ?log a (8 ? b) ? 2,

解之得 ?

? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, (舍去). 故 a ? b 等于 4. ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.
2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 x2 ? 2 x ? 1

9.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

x 的取值范围为

x ?[? 2 1 ). ,

2 2 解: 因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) ? 11 ? lg11 ? 1 ,所以

?

?

?

?

lg ? x 2 ? 6 x ? 20 ? ? 0 . 于是,由图象可知,

2x ?1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, . 1)
37

2 2 10.圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是

2 .

2 2 解:原式变形为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 3 | ,即

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

2

| x ? y ?3| 2

.所以动点 ( x, y ) 到定点 (?31) 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离 ,

之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 11.在 ?ABC 中,已知 tan B ?

3 , sin C ?

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

S?ABC ? 8 3 ? 6 2 .
解:在 ?ABC 中,由 tan B ?

3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ?

AC ? sin C ? 8. sin B

因为 arcsin

2 2 1 ? 60 ? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 3 3 2 3 .故 ? 3 6

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

S?ABC ?

AC ? AB sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2

12. 设命题 P : a 2 ? a ,命题 Q : 对任何 x? R,都有 x 2 ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有 且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ?

1 1 ? a ? 0 或 ? a ?1 . 2 2

解:由 a 2 ? a 得 0 ? a ? 1 .由 x 2 ? 4ax ? 1 ? 0 对于任何 x? R 成立,得

1 1 ? a ? .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 2 2 1 1 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 ? a ? 1 . 2 2
? ? 16 a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?
三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 13. 设不等式组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

0) 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 的直线

l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.
解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示.

38

设动点为 P( x, y ) ,则

x? y 2

?

x? y 2

? 2 ,即

y

x 2 ? y 2 ? 4 .由 P ? D 知

x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2-y2<0.
所以 y2-x2=4(y>0),即曲线 C 的方程为 y2 x2 - =1(y>0). 4 4 O x

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2 x ? x2 1 因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? AB ? 1 ,即 2 2
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q(

AB ? x1 ? x2 . ①

因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB ? x 轴时,不合题意.

y2 x2 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 2 2 1 2 k -1 k -1 ? k -1 ?

化简得:k4+2k2-1=0, 解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) . 2 2 2 2 2 由△=(4 2k ) -4(k -1) (8k -4) =3k -1>0, 又由于 y>0,所以-1<k<- 3 .所以 k=- 3 2-1

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; A (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. 证: (1)设 AA1 中点为 D ,连 C 、 D . C

B A1

B1

C1

(第 14 BD 因为 A1 B ? AB ,所以 BD ? AA1 .因为面 ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以题) ? 面 AA1C1C . 又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA1 . 从而 BC1 ? AA1 . (2) 由(1) ,有 BD ? C1 D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1 DB .设 A1 到面 ABC 的 距离为 h ,则 hS?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 .

1 3

因为 VC ?C1DB ?
39

1 CC1 ? S?C1DB , 3

所以 h ?

S?C1DB S?ABC

.又 C1D ? BD ,且 2S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD 2 ?

3 . 4

设 ?ABC 的高为 AE ,则 BC 2 ? BC12 ? CC12 ? 2 BD 2 ? 1 ?

3 5 ?1 ? , 2 2

1 5 3 AE ? 1 ? ? ? , 4 2 8
于是有 h ?

2S ?ABC ?

5 3 15 ? ? . 2 8 4

3 15

?

15 15 ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 . ??????15 分 5 5

15.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?3 ? an ? 3 , an ? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 . 解:由题设, an ? 2 ? an ? 2 ,则

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2 ? 2 ? ? ? a1 ? 2 ?1003 ? 2007 .
由 an ? 2 ? an ? 2 ,得 an ? an ? 2 ? 2 ,则 an ?3 ? an ? 3 ? an ? 2 ? 2 ? 3 ? an ? 2 ? 1 (n ? 1) . 于是

a2007 ? a2006 ? 1 ? a2005 ? 1? 2 ? a2002 ? 3 ? 1? 2 ? a1999 ? 3 ? 2 ? 1? 2

? ? ? a1 ? 3 ? 668 ? 1? 2 ? 2007 ,所以 a2007=2007. 易知数列 a1 ? 1 , a2 ? 2 , ? , an ? n 符合本
题要求. 注意:猜得答案 a n ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分. 16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论. 解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下:如图,先作直线 l0 ,设第 i 个圆在直线 l0 上 是线段 Ai Bi , 其中 Ai 、Bi 分别是线段的左右端点. 10 个投影线段,有 10 个左端点,有 10 个右端点. 因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段 的部分,设 Ak 是最右边的左端点,则所有右端点都在 A1 A2 Ak B m
10

的正投影 个圆有 10

B2 B1

都有重叠

Ak 的 右

边,否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两个圆相交矛盾. 再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线段

Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与10
个圆都相交.
40

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2
2 2

的最大值为

答:[B] B.

a?b A. 2


ab

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

由柯西不等式 (mx ? ny) 2 ? (m 2 ? n 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx ? ny ? ab . 选 B.
2
2

2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数
x

?1 1? ?2 4?

y ? f (x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M
1

答:[D]

D. N
1

1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 4 16 2 ? 16 ? ? 16 ?
点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答:[A]

x
y

z
解 第一、 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, 3 1.5; 第三、 五列中的 x ? 0.5 ,y ? 四、 则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形
41

5 3 ,z ? , 16 16

D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若

?A2 B2C2 是锐角三角形,则不妨设
cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ? C1 ? . ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?



A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D]

解 任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与 垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x ? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则
2

?

?

?

?

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

2 当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ? 3 .

所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ?

91 (结果要求写成既约分数). 216



考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ?

?5? ?6?

3

91 . 216

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

A O
42

高是 5:1. 故面积比是 5:1.

C

B

2 2 9. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) 或
2

y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义, 圆心可以是以(2,0)为焦点、x ? ?2 为准线的抛物线上的点; 若切点是原点, 则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) ,或 y ? 0( x ? 0) .
2

a2 ? b2 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =3. c2
解 切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C , ? ? cos A cos B cos A cosC cos B cosC

亦即

sin A sin B cosC ab cosC sin A sin B sin(A ? B) ,即 =1,即 ? ? 1. 2 sin C cosC sin C c2

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 所以, ? 3. 2c 2 c2
三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时, f (x) 的取值
2

范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?
2

解 由题 f ( x) ? ?2( x ? 1) ? 1 ,

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m 1 1 2 且 f (n) ? ?2(n ? 1) ? 1 ? . m n 1 的两个解,方程即 x
??10 分

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

?m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

( x ? 1)( 2 x 2 ? 2 x ? 1) =0,
解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2

?1 ? m ? n ,?m ? 1 , n ?
A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

1? 3 . 2

??15 分

12.

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.
43

证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin? ) ,B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin? ?) ,则 r ? OA ,

? cos2 ? sin 2 ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r ? ? 4 ? 9 ?
2

? ? ? 1. ? ?
??5 分

所以

1 cos2 ? sin 2 ? . ? ? 4 9 r2
2 2 2 2

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? . 同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? , ? ? ? ? 4 9 4 9 r ?2
1
2

所以

?

1 | OB |
2

?

| OA |

1 1 1 1 5 ? 2 ? ? ? . 2 4 9 36 r r'

??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ? ? ?

? ? 2 2 2 ? ? 即 OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? 5 ? ? 1 . ? ? ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
于是, OP 2 ? 36 . 5 即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
N C A D

1 , AB ? tan ? , DB ? cos ?
AC ? tan ? , DC ?

B M

1 , cos?

??5 分 ??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角.
44

在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?

1 1 2 ? ? cos? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? 2 tan ? tan ? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
2 2

所以, 2 tan ? tan ? cos? ? tan ? ? tan ? ?

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
??15 分

= 故得到 cos? ?

2(cos? ? cos ? cos? ) , cos ? cos?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线 3 上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 1?1?2?1?2?1 =219·8 不是立方数,故不能. 4× 8× 18× 36× 3 3 (Ⅱ)可以. 如右表 ??5 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

??15 分

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.

??20 分

45

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinα cosβ =1,则 cos(α +β )= _________ .

填 0. 解:由于|sinα |?1,|cosβ |?1,现 sinα cosβ =1,故 sinα =1,cosβ =1 或 sinα =-1,cosβ =-1, π π π ∴ α =2kπ + , =2lπ 或 α =2kπ - , =2lπ +π ?α +β =2(k+l)π + (k, β β l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α +β )=0.

2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1= -5,则 k= _________ .

填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11.

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= _________ 填 -1+ 5 -1+ 5 2 2 2 2 . 解:由(2b) =2c×2a?a -c =ac?e +e-1=0?e= . 2 2



3 +1 1 4.已知 x = 1-x,则实数 x= _________ 9 -1 3-3
x

x



1 3 2x x x x 填 1. 解:即 x = x ?3 -4×3 +3=0?3 =1(舍去),3 =3?x=1. 3 -1 3(3 -1)

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的 中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 _________ .
A

1 填 . 解:A、B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 4 PQR 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9
R D A B N R D M Q P C P C Q

46
B

4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值: 在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 = , = ,故 =4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD 在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4.

6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 _________ 填[3,4].



解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3,4].

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm 的长方体, 长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中 的存水,则净水水箱中最少可以存水 _________ 填 78000. xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) =30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm .
3

3

cm .

3

解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则

→ → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO= _________ 25 → → → 填- . 解:设|AO|=|BO|=|OC|=R.则 2 → → → → → → → → → 2 2 BC·AO=(BO+OC)·AO=BO·AO+OC·AO=R cos(π -2C)+R cos2B


A R R B O R C

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 =R (2sin C-2sin B)= (2RsinB) - (2RsinC) = (12 -13 )=- 2 2 2 25 . 2
47

9.设数列{an}满足:an+1an =2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为

_________



2 2 填 2008+ 2. 解:若 an+1≠0,则 an=2- ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006 an+1 2- 2 =2+ 2,a2005= 2. 2 an+1-2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,an-2= ,an-3=an+1,故 an-4=an. an+1 an+1-1 2-an+1 2009 于是, Σ an=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+ 2. k=1

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a =2b(a+b),则 b= _________ 填 0,
2

2



3-1 , 3-1. 2

解:若 a 为负整数,则 a >0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0.
2

2

于是 a =2b(a+b)<2(a+1)?a -2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0; a=1 时,2b +2b-1=0?b=
2 2

3-1 ; 2

a=2 时,b +2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x] =2{x}x.
2

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) x y 11. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A, 两点, 是椭圆的左焦点. B F 求 9 4 以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
?4x +9y =36, 2 解:取方程组? 代入得,25y -64y+28=0. ?x=2y-4.
2 2 2 2

y B A C F O x

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25 连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积:

1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积:
48

1 14 72 72 14 1 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0×0)= 2 25 25 25 25 2 ( 144 14 1 + 5)= (72+7 5). 25 25 25

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE =12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB
A C

∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC +AE -CE 14 +16 -12 14 +28·4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC·AE 2·14·16 2·14·16 16
2 2 2 2 2 2 2

D

E

B

11 2 2 2 2 2 2 ∴ BC =AC +AB -2AC·ABcosA=14 +28 -2·14·28· =7 ·9?BC=21. 16

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y) ?k (2x+y)?(2k -1)x-2 xy+(k -1)y?0 对于 x,y>0 恒成 立. 令 t=
2 2 2 2 2

x 2 2 2 >0,则得 f(t)=(2k -1)t -2t+(k -1)?0 对一切 t>0 恒成立. y
2

当 2k -1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k -1>0. 1 1 2 2k -3k k (2k -3) 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k -1= 2 = . 2 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 当 2k -1>0 且 2k -3?0,即 k? ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2
2 2 2 2 4 2 2 2

6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

( x+ y) x+2 xy+y 解法二:显然 k>0,故 k ? = .令 t= 2x+y 2x+y 4t+1 ). 2 2t +1

x t +2t+1 1 2 >0,则 k ? = (1+ 2 y 2t +1 2

2

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 1 4t+1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2t +1 2 2 9 u· -2 u 8

3 6 2 ∴k ? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t +4-4t(4t+1) -8t -4t+4 1 又:令 s(t)= 2 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 0 2 2 2 2 2t +1 (2t +1) (2t +1) 2 1 1 1 1 1 2 <t< 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k ? (1+s( ))= 2 2 2 2 2
49
2 2

3 . 2 1 2 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y) ?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 成立. 而当 k? ∴ k∈[ 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等式恒成立. 2 2 6 ,+∞). 2 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不能恒 2 4 2 2 2 2 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验 证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你 的结论. 解:对于任意 n∈N*,n ≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡ 0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4),或 a≡b≡ 3(mod 4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. / ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2×3+10= 4 ,2×13+10=6 ,3×13+10=7 . 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全 平方数,如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完 全平方数. 故证.
2 2 2 2

50

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为
x x


2x

提示与答案:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 3 +3 -6=0,解得 3 =2,x=log32.
x x

2.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是 提示与答案:与 f(x)=y =1+|sin2x|的单调减区间相同, [
2

.
k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2

3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 提示与答案: AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ?

4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值是
2

,最小值是



提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0.

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4, 0 ? 、 B ? ? 6,8 ? 、 C ? ? 2, 4 ? ,则 R 的取值范围为 .

8 5 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5

6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ? 0,100 ? 上至少有

个零点.

提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ?1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点.

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 提示与答案:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以. .

51

(第 7 题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 . 1 . 3

提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



提示与答案:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 .

10.设复数列 ? xn ? 满足 xn ? a ? 1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是 .

a xn * .若对任意 n? N 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1

a 3 xn a 2 xn ?1 a xn a xn ? 2 ? xn ? 提示与答案:由 xn ?1 ? , xn ?3 ? ? xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn ?1 ? 1 ? a 2 ? a ? 1? xn ? 1
2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ? 1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以
2

?

?

1 3 a?? ? i. 2 2

二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB ,证 4 5 5

明:线段 AB 的中点在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2
x12
4 +y1 =1,
2

解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 由 OM ?

x22
4

+y2 =1.

2

???? ?

? ? 3 4 3 4 3 ??? 4 ??? OA ? OB ,得 M( x1+ x2, y1+ y2). 5 5 5 5 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以

52

3 4 2 ( x1+ x2) 5 5 3 4 2 +( y1+ y2) =1, 4 5 5 即 (

???????6 分

x12

3 2 x2 4 2 3 4 x1x2 2 2 +y1 )( ) +( +y2 )( ) +2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4

2

3 2 4 2 3 4 x1x2 得 ( ) +( ) +2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4

x1x2
4

+y1y2=0.

???????14 分

又线段 AB 的中点的坐标为 ( ( 所以

x1+x2 y1+y2
2 , 2
2

),

x1+x2
2 2

)

2

+2(

y1+y2
2 ,

1 x1 1 x2 x1x2 2 2 2 ) = ( +y1 )+ ( +y2 )+ +y1y2=1, 2 4 2 4 4 2 )在椭圆 +2y =1 上. 2

2

从而线段 AB 的中点(

x1+x2 y1+y2
2

x2

2

??????20 分

12.已知整数列 ? an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1) =4(2d-1), 即 9d -14d+5=0,得 d =1. 当 n?6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n?5 时,an =2 .
? ?n-4,n?4, 故 an =? n-5 ?2 , n?5. ?
n-5
2 2

???????6 分

???????10 分

(2) 由(1)知,数列 ? an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立; 当 m?5 时,amam+1am+2 =2 7×2 ≠2
m-5
3m-12 3m-12

???????15 分 , am +am+1+am+2=2 (2 -1)=7×2 ,
m-5
3

m-5



所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .
53

故所求 m= 1,或 m=3.

???????20 分 过点 H 作平行于

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H .

CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G .
证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; ???????8 分 (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, B G C A H F D E

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴

CG⊥AC,

???????14 分

由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=90 , ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形.
2 2
0

∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, ???????20 分

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3 x 都是完全平方数. 解:若 x=y,则 x +3x 是完全平方数. ∵ x <x +3x<x +4x+4= (x+2) , ∴ x +3x= (x+1) ,∴
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x=y =1.
2 2 2

??????5 分

若 x>y,则 x <x +3y<x +3x<x +4x+4= (x+2) . ∵ x +3y 是完全平方数, ∴ x +3y= (x+1) ,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y +3x= 4k +4k+1+9k+3=4k +13k+4 是完全平方数,且 (2k+2) =4k +8k+4<4k +13k+4<4k +16k+16= (2k+4) , ∴ y +3x=4k +13k+4=(2k+3) , 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11).
54
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

???????15 分

???????20 分

2011 年高中数学联赛江苏赛区试题
二、填空题(本题共 10 小题,每小题 7 分,要求将答案直接写在横线上) 1、 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? 答案:-8 2.已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ? 3 答案: ? 2 3.某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 (结果用最简分数表示) . 答案:
19 145



1 4.已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



答案:

4 5

5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3



6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 1 答案: (8n ? 48) 7 .

7.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2) 8.设 f (m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ? 答案:6



9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 答案:4 3 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 答案:3,14,30 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.
1 5 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程,得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 5 ? ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ? ? ,1? ? 4 ?
x 12. f ( ) ? 2? cbc ( , ? ) R . x ? 2 时,f ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, b2 ? c2 设 x x b ? 若 且 求
55





的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上单调递增, 故有 f (2) ? f (3) ? 1,从而 b ? ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,
4 ? ? ?b ? ? 5 , ? f (?2) ? 0, ? 4 ? 2b ? c ? 0, ? ? ? 在区间 ? ?2, 2? 有 ? f (2) ? 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ? 0, 消去 c,解出 ?b ? ?4, ? ?4 ? b ? 4, ??4 ? b ? 4, ? b ? ??2 ? ? 2, ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ? b ? ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c 2 )min ? 32,(b2 ? c 2 )max ? 74 . 13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 1 1 2 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2 1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC ) ? 90? ? ?BAC 2 2 2

A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. q q2 证明:设 n0 ? ? ? ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p 设 k 为任意的正整数,构造 n ? p 2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?
p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ? p 2 k 2 ? 2qk ? q2 q ? pk ? ? Q . p2 p

www.zxsx.c

56

2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x?[?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___.

???? ??? ? ???? ??? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____.
3 、 从 集 合 ?3, 4 , 5 , 6 , 7 ,中 随 机 选 取 3 个 不 同 的 数 , 这 3 个 数 可 以 构 成 等 差 数 列 的 概 率 为 ? 8 _____

3 _______. 10

4、已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值为 _____ 2 2 ___.

5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐 12 4

角的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 6、已知 a 是正实数, k 7、在四面体 _____ 5

3 ,则直线的斜率为___

1 ____. 2

? a lg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.

ABCD 中 , AB ? AC ? AD? DB?5 , BC ? 3 , CD ? 4 该 四 面 体 的 体 积 为

3 _______.

8、 已知等差数列 则 an

?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足:a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35,

? bn ? ___ 3n?1 ? 2n ___.( n ? N * )

71 75 9、将 27,37,47,48,55 , , 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排
列有___144_____种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个 数为__24___. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

57

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

f ( x) ?| ln x ?

a | ?b( x ? 0) x

. 若

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a , b ; (2)求函数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

58

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线

OM

上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1 .线段 AB 交圆 O 于另一点

C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

59

14、设是 a, b, c, d 正整数, a , b 是方程 x 面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且

60


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