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2016届陕西省西安市第一中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 word版


西安市第一中学 2016 届高三第二学期第一次模拟考试 数学(文科)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合 A ? ??1, 0,1, 2,3? , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B =(
2

开始 输入n

?

?


i=1, s=1 i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1 否 输出s 结束

A. ?3?

B. ??1,3?

C.

?2,3?

D. ?0,1, 2? )
1 D. 2

2. 若 z (1 ? i ) ? i (其中为虚数单位) ,则 | z | 等于( A.1 B.
3 2

C.

2 2

3. 设 a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5? 1 4.已知 sin( ? ? ) ? ,那么 cos ? ? 2 5 2 1 1 2 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是 A.1 B.2 C.4 D.7

图 1

2

1 正视图

1 侧视图

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.
1 6

B.

? ? 7. 在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos(2 x ? ) ,④ y ? tan(2 x ? ) 中, 6 4
最小正周期为 ? 的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

1 3

C.

2 3

D.

俯视图 图 2

8. 已 知 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中点 , ?ABC 所 在 平面 内有 一个 点 P , 满 足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? C | PD | PA ? PB ? PC ,则 ???? 的值为( ) | AD | A.
1 2

A D B

B.

1 3

C.

D. 2

P

?x ? 1 ? 9 .已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 , 则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?





A.

1 4

B.

1 2

C.

D. 2
1 ,则 C 的方程是 2

10.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 A .

x2 y2 ? ?1 3 4

B .

x2 y2 ? ?1 4 3

C .

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

11. 在 ?ABC 中, A ? 600 , BC ? 10, D 是 AB 边上的一点, CD ? 2 , ?BCD 的 面积为,则 AC 的长为( A. 2 3 D.
2 3 3

) B.

3

C.

3 3

12. 已知函数 f ? x ? ? x 2 ?

ln x ,则函数 y ? f ? x ? 的大致图像为( x



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则
k=_____________.

14.若曲线 y ? ax 2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?



15 . 设 数 列 {an } 是 首 项 为 , 公 比 为 ?2 的 等 比 数 列 , 则

a1 ? | a2 | ? a3 ? | a4 |?

.

16. A、B、C、D 是同一球面上的四个点 ,其中 ?ABC 是正三角形, AD ⊥平 面 ABC , AD=4,AB=2 3 ,则该球的表面积为_________. 三、 解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤, 并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 S n ,且满足
an ? 2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

(I) 求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?
1 1 1 3 S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . 2 3 n 2

(II) 证明:当 n ? 2 时, S1 ?

18.(本小题满分 12 分) 截至 2014 年 11 月 27 目,我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关,年均增长超过两千万.为了解某地区驾驶预考人员的现状,选择 A, B,C 三个驾校进行调查.参加各驾校科目一预考人数如下: 驾校 人数 驾校 A 150 驾校 B 200 驾校 C 250

若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析,他们的成绩如下: 87 87 97 89 91 99 92 92 93 99 99 92 97 93 86 76 92 70 98 90 92 92 94 64

(I)求三个驾校分别应抽多少人? (II)补全下面的茎叶图,并求样本的众数和极差; (Ⅲ)在对数据进一步分析时,满足|x-96.5|≤4 的预考成绩,称为具有 M

特性.在样本中随机抽取一人,求此人的预考成绩具有 M 特性的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图,已知 ?F ? 平面 ??CD ,四边形 ???F 为矩形,四 边形 ??CD 为直角梯形, ?D?? ? 90? , ?? //CD , ?D ? ?F ? CD ? 2 , ?? ? 4 .
(I)求证: ?F// 平面 ?C? ; (II)求证: ?C ? 平面 ?C? ; (Ⅲ)求三棱锥 ? ? ?CF 的体积.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (I)求椭圆 C 的离心率; (II)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小值. 21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x

(I)求 a,b 的值;

ln x . x ?1 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第
(II)证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x) ?

一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.已知四边形 ABCD 内接于⊙O,AD:BC=1:2,BA、CD 的 延长线交于点 E,且 EF 切⊙O 于 F. (Ⅰ)求证:EB=2ED; (Ⅱ)若 AB=2,CD=5,求 EF 的长.

23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,

已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ =4cosθ , 直线 l 的参数方程为: (t 为参数) ,两曲线相交于 M,N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P(﹣2,﹣4) ,求|PM|+|PN|的值.

24.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3. (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≤5,求满足条件的 x 的集合. .

西安市第一中学

2016 届高三第二学期第一次模拟考试 数学(文科)答案
一、选择题: DCDCCB 二、填空题 13.1 14. ACBDDA

1 2

15. 15

16. 32 ?

三、 解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤, 并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, S n ? S n ?1 ?
2 2Sn , 2Sn ? 1

Sn ?1 ? S n ? 2S n S n ?1


1 1 ? ?2, S n S n ?1
从而 ?

?1? ? 构成以1为首项,2为公差的等差数列. ? Sn ?
1 1 1 . ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? S n ? 2n ? 1 S n S1

--------------------------------6 (Ⅱ)由(1)可知,

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ( ? ). n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3

从而 S1 ? 2 S 2 ? 3 S3 ? ... ? n S n ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? n ) ? 2 ? 2n ? 2 。 ------12 18. 解: (I)因为四边形 ABEF 为矩形, 所以 AF // BE , BE ? 平面 BCE , AF ? 平面 BCE , 所 以

1

AF //





B C E.

-------------------------------------4

(II)过 C 作 CM ? AB ,垂足为 M , 因为 AD ? DC , 所以四边形 ADCM 为矩形. 所以 AM ? MB ? 2 ,又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2

所以 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,所以 AC ? BC ;
F E

因 为 AF ? 平 面 ABCD , AF // BE , 所 以 BE ? 平 面 ABCD , 所 以

BE ? AC ,
又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B 所 以
D

A

M
B

C

AC ?





B C E. -------------------------------------------------------8
(III)因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM , 又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF , AB ? 平面 ABEF , AF ? AB ? A 所以 CM ? 平面 ABEF .

VE ? BCF ? VC ? BEF ?
?

1 1 1 1 8 S ?BEF ? CM ? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 3 2 6 3

EF

1 1 1 1 8 S ?BEF ? CM ? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 3 2 6 3 --------------------------------------1
2 19. 解: (1)用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取: 驾校 A: 24 ?

150 ?6人 600

驾校 B: 24 ?

200 250 ? 8 人 驾校 C: 24 ? ? 10 人---------4 600 600

(2)补全的茎叶图为 9 0 1 22 2 2 2 2 3 3 4 7 7 8 9 9 9 8 67 7 9 7 06 6 4 众数为:92 极差为:99-64=35---------------------------------------------------------8 (3)设事件 A=“预考成绩具有 M 特性” 。满足 x ? 96.5 ? 4 的预考成绩为: 共 9 个,所以 P(A)=

9 3 ? ------------------------------------------------12 24 8

x2 y2 20.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1. 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2.因此 a=2,c= 2.

c 2 故椭圆 C 的离心率 e=a= 2 .----------------------------------------------------------------------5 (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. 2y0 → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- x .
0



2 x2 0+2y0=4,所以

2y0?2 ? |AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2= x0+ x +(y0-2)2

?

0

?

2 4-x2 2(4-x0 ) 4y2 0 0 2 2 =x2 + +4 2 0+y0+ 2 +4=x0+ x 2 x 0 0

8 = 2 +x2+4 (0<x2 0≤4).
0

2 x0

8 2 2 因为 2 +x2≥4(0<x2 0≤4),当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8.
0

x2 0

故线段 AB 长度的最小值为 2 2.----------------------------------------------------------------------12

21. (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。------------------------------------------------5

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

x2 ?1 x2 ?1 ln x 1 ( x ? 0) ,则 f ( x) ? ? (2 ln x ? ) 考虑函数 h( x) ? 2 ln x ? x x ?1 1? x2 x
2 2 2 2 x ? ( x ? 1) ( x ? 1) 2 所以当 x ? 1 时, h ?( x) ? 0, 而h(1) ? 0, 故 h ?( x) ? ? ? ? x x2 x2



x ? (0,1)





h( x) ? 0, 可得

1 h( x) ? 0; 1? x2



x ? (1,??)





h( x) ? 0, 可得

1 h( x) ? 0; 1? x2
ln x ln x ? 0, 即f ( x) ? . ------------------------------------12 x ?1 x ?1

从而当 x ? 0, 且x ? 1, f ( x) ?

22.证明: (Ⅰ) ∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠EAD=∠C, 又∵∠DEA=∠BEC, ∴△AED∽△CEB, ∴ED:EB=AD:BC=1:2,即 EB=2ED; (Ⅱ)∵EF 切⊙O 于 F.∴EF2=ED?EC=EA?EB,设 DE=x,则由 AB=2,CD=5 得: x(x+5)=2x(2x﹣2) ,解得:x=3,∴EF2=24,即 EF=2 23.解: (Ⅰ)根据 x=ρ cosθ 、y=ρ sinθ ,求得曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣y﹣2=0.
2

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,

代入 y2=4x,得到 则 t1+t2=12

,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2, .

,t1?t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=

24.解: (1)函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 4、a 对应点的距离之和, 它的最小值为|a﹣4|=3,再结合 a>1,可得 a=7.

(2)f(x)=|x﹣4|+|x﹣7|=

,故由 f(x)≤5 可得,

①,或

②,或

③.

解①求得 3≤x<4,解②求得 4≤x≤7,解③求得 7<x≤8, 所以不等式的解集为.


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