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函数的图像(一轮景)


第二章 函数、导数及其应用

函数的图象
高三数学备课组 景光璧 2017.9

考纲 1.掌握图象的作法、描点法和图象变换法. 要求 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 预测在今后的高考中将会加大对函数图象考查 热 的力度.主要以选择题、填空题形式出现,


提 示

主要考查形式有:知图选式、知式选图、图
象变换(平移、对称、伸缩变换),以及自觉地 运用图象解题.因此要注意识图读图能力的 提高以及数形结合思想的灵活运用.

问题1:我们已学过哪些基本初等函数的图象?它 们的图象都是用什么方法做出来的? (1)描点法(其基本步骤是列表、描点、连线。) (2)图象变换法(把一个图象经过变换,得到 另一个相关函数图象的方法。)

y ? x2
-2

y

y ? ( x ? 2)2
x

O

2

问题2:在前面的学习中,我们学习过哪几种图象变换?

函数的图象变换

平 移

对称

翻折

伸缩

基本初等函数 的图象

图象变换

简单复合函数 的图象

一.平移变换 1.讨论下列函数的图象之间的关系。
(1) y=x2 (2) y=(x-2)2 (3) y=x2+2
y=x2+2

y
y ? ( x ? 2)2

y ? x2

y ? ( x ? 2)2

-2 O

2

x

左加右减,上加下减

二.对称变换
问题3:(1)设f(x)=lnx,试判断y = f(-x),y=f(x) ,y=-f(-x)分别是图???中的哪一个?

? y = f(-x)

y = f(x),

?
y=-f(-x)

y=-f(x)

?

函数图象对称变换的规律
y轴 对称。 1.函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于_______ x轴 对称。 2.函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于_______ 原点 对称。 3.函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于_______ y=x 4.函数y=f(x)与其反函数的图象关于_______对称。

三.翻折变换
若将函数f(x)=|x2-x|,改为f(x)=x2-|x|,应当怎样变换?

问题3:(2):如何将f(x)=x2-x的图象变换为f(x)=|x2-x|的图象?

y

y y= f (|x|) y= f (x)

?1 4

O

1

x

O
f(x)=x2-|x|

x

f(x)=|x2-x|

三.翻折变换
问题3: (3)函数f(x)=|x2-x|与f(x)=x2-x的图象有怎样的变换关系? 若将函数f(x)=|x2-x|,改为f(x)=x2-|x|,会有何变化?

右不动,右翻左
翻 折 变 换
去掉y轴左边图,保留y轴右边图 y=f(x)――――――――――――――――→y=f(|x|); 将y轴右边的图像翻折到左边去 留下x轴上方图 y=f(x)――――――――――――→y=|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去

上不动,下翻上

四.伸缩变换
问题3: (4)如何将函数f(x)=sinx变换f(x)=sin2x?

又由f(x)=sinx到f(x)=2sinx该如何变换?
0 ? ? ? 1,伸长为原来的 1 1 倍

y=f(x)

?

y=f(ωx; )

? ? 1,缩短为原来的

?
y=Af( x) .

A>1,伸为原来的A倍 y=f(x)――――――――――――→ 0<A<1,缩为原来的A倍

题型分类·深度剖析
题型一 作图

例1:作出下列函数的图像

(1)y=x2-2|x|-1.

题型分类·深度剖析
题型一 作图 y

例1:作出下列函数的图像

(2) y ? log 2 ( x ? 1)
根据一些常见函数的图象, 通 过平移、 对称等变换可以作出 函数图象.
-1 -1 1

o

1

x

水平变换时,解析式 仅在x本身进行代换。

题型分类·深度剖析
跟踪训练1: 作出下列函数的图像

(1) y ? e
解: y
1

ln x

(2)y=sin|x|
(2)

-1

o
-1

1

2

x

题型分类·深度剖析
题型二 识图、辨图
)

(1)(2016· 全国卷Ⅰ)函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(

(2)已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是( ln|x| A.f(x)= x 1 C.f(x)=x2-1 ex B.f(x)= x 1 D.f(x)=x-x

)

跟踪训练2:
项中错误的是( )

?x ? 1 已知 f ? x ? ? ? 2 ?x ? 1

x? [ ? 1,0) 则下列选 , x? [0,1]

(A) ①是f(x-1)的图象 (C) ③是f(|x|)的图象

(B) ②是f(-x)的图象 (D) ④是|f(x)|的图象

【小组讨论】请同学们根据刚才解决的

二个识图题目,讨论一下解决这一类问题 应当从那几个角度入手进行分析。

题型分类·深度剖析
题型二 识图
[规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; (2)从函数的值域,判断图象的上下位置; (3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (5)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (6)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

题型分类·深度剖析
题型三 用图
? ?|lg x|,x>0, f(x)=? |x| ? ?2 ,x≤0,

例 3:已知

则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的

零点个数是________.

题型分类·深度剖析
跟踪训练三:若定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +2) =f (x ) ,且当 x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则函数 y=f (x )-log3|x |的零点个数是 ( B ) A.多于 4 个 B.4 个 C .3 个 D.2 个

解析

由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数.

在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

函数零点问题

观察图象可以发现它们有 4 个交点,
即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.

图象交点问题

思想方法·感悟提高

课 堂 小

1、函数的图象变换有哪几种? 变换时应注意什么问题? 2、函数的图象有哪几种常见题型? 3、本节课主要使用了哪几种数学思想?



作业·预习

课 后 作 业

1、完成活页作业A、B组 2、补充近三年全国卷所涉及试题 3、预习二次函数与幂函数,完成《学情自测》 部分

(2)

函数 y=x+cosx 的大致图象是( B )

跟踪训练4:设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意
的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围

1,+∞ ) 是________ .
解析:如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x) =x-1的图象, 观察图象可知:当且仅当-a≤1,即a≥ -1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立, 因此a的取值范围是[-1,+∞).


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