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1.2.2基本初等函数的导数更是及导数的运算法则(2)


课题:1.2.2 复合函数的求导法则 课型: 新授课 学习要求: 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 制作人: 执行时间:

第 年 月

课时 日 批 注

2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进 行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(ax+b)的导数). 重点:复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函 数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积. 难点:正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确. 学法指导 复合函数的求导将复杂的问题简单化,体现了转化思想;学习中要 通过中间变量的引入理解函数的复合过程. 填一填: 复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可 以表示成_______,那么称这个函数为 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数, 记作__________. 复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关 系 为 yx′ = __________. 即 y 对 x 的 导 数 等 于

___________________________. 研一研: 探究点一 问题 1 复合函数的定义

观察函数 y=2xcos x 及 y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分

别是由哪些基本函数组成的? 问题 2 问题 3 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 在复合函数中,内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有

何关系?

例1

指出下列函数是怎样复合而成的:

(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5); (3)y=cos 3x.

小结

分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u,分别找出 y 和 u

的函数关系,u 和 x 的函数关系. 跟踪训练 1 (1)y=ln 指出下列函数由哪些函数复合而成:

x;(2)y=esin x;(3)y=cos ( 3x+1).

探究点二

复合函数的导数

问题 如何求复合函数的导数?

例2

求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4;(2)y= (4)y=102x+3. 1 π ;(3)y=sin(-2x+3); 1-2x

小结

分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把

一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本 函数. 复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合 过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导. 跟踪训练 2 求下列函数的导数.

1 (1)y=ln x;(2)y=e3x;(3)y=5log2(2x+1).

探究点三 例3

导数的应用

1 求曲线 y=e2x+1 在点(-2,1)处的切线方程.

跟踪训练 3

曲线 y=e2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l

的距离为 5,求直线 l 的方程.

练一练 1.函数 y=(3x-2)2 的导数为 ( ) B.6x D.6(3x-2)

A.2(3x-2) C.6x(3x-2) 2.若函数 y=sin2x,则 y′等于 ( )

A.sin 2x
C.sin xcos x

B.2sin x
D.cos x
2

3.若 y=f(x2),则 y′等于 ( A.2xf′(x2) C.4x2f(x)
ax

) B.2xf′(x) D.f′(x2)

4. 设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 则 a=________.

课堂小结: 求简单复合函数 f(ax+b)的导数
求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见 函数 y=f(u), u=ax+b 的形式, 然后再分别对 y=f(u)与 u=ax+b 分别求导, 并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为 y=f(u),u=ax+b 的形式 是关键.

教学后记:


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