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函数3.2


第三章 函数
3.2 函数的性质

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创设情景 兴趣导入 问题1
观察天津市2008年11月29日气温时段图,此图反映了0时至 14时的气温T(℃)随时间t( h )变化的情况.

(1)

时,气温最低为
时,气温最高为




(2)随着时间的增加,在时间段 0时到6时的时间段内,气温 不断地 ;6时到14时

这个时间段内,气温不断

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创设情景 兴趣导入 问题2
下图为股市中,某股票在半天内的行情,请描述此股票的涨幅情况.

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动脑思考 单调性

探索新知

函数值随着自变量的增大而增大(或减小)的性质 增函数
有f(x1)<f(x2)成立.
把函数叫做区间 (a,b)内的增函数 设函数y=f(x)

减函数
有f(x1)>f(x2)成立.
把函数叫做区间 (a,b)内的减函数

在区间(a,b)
内有意义. 对于任意的

区间(a,b)叫做函
数的增区间.

x1,x2∈ (a,b)
当x1<x2时

区间(a,b)叫做函
数的减区间.

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动脑思考

探索新知 减函数

增函数

演 示
随着自变量的增加 函数值不断增大 图像呈上升趋势.
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随着自变量的增加 函数值不断减小 图像呈下降趋势.

动脑思考

探索新知

函数单调性的判定方法

判定函数的单调性有两种方法: 借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定 . .

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巩固知识

典型例题

例1 小明从家里出发,去学校取书,顺路将自行车送还王伟同学. 小明骑了30分钟自行车,到王伟家送还自行车后,又步行10分钟 到学校取书,最后乘公交车经过20分钟回到家.这段时间内,小 明离开家的距离与时间的关系如图所示.指出这个函数的单调性. 观察函数图像

.

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巩固知识 例2

典型例题

判断函数y=4x-2的单调性.

分析 对于用解析式表示的函数,其单调性可以通过定义来 判断,也可以作出函数的图像,通过观察图像来判断.无论 采用哪种方法,都要首先确定函数的定义域. 观察函数图像

.

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理论升华

整体建构

由一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性
y y

1.当k>0时,图像从左至右
是 的,函数是单调 函数;

x

x

2.当k<0时,图像从左至右 是 的,函数是单调 函数.

由反比例函数 y ?
.

k (k≠0)的图像分析其单调性 x

1.当k>0时,在各象限中y值分别随x值的 增大而 ,函数是单调 函数;

2.当k<0时,在各象限中y值分别随x值的
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增大而

,函数是单调

函数.

应用知识

强化练习

教材练习3.2.1
1.已知函数图像如下图所示.

.

(1)根据图像说出函数的单调区间以及函数在 各单调区间内的单调性; (2)写出函数的定义域和值域.
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创设情景 兴趣导入 问题
如图所示:
P3

P2

P1

点P(3,2)关于x 轴的对称点是点P1,其坐标为
点P(3,2)关于y 轴的对称点是点P2,其坐标为 点P(3,2)关于原点O 的对称点是点P3,其坐标为


; .

演 示
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动脑思考 点的对称

探索新知

一般地,设点P(a,b)为平面上的任意一点,则
(1)点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b);
. P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b); (2)点

(3)点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b).

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巩固知识

典型例题

例3 (1)已知点P(?2,3),写出点P关于x轴的对称点的坐标;

(2)已知点P(x,y),写出点P关于y轴对称点的坐标与关于原点O
的对称点的坐标; (3)设函数y=f(x,y),在函数图像上任取一点P(a,f(a)),写出点P 关于y轴的对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标.
.

分析

利用三种对称点的坐标特征进行研究即可.
点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b);

点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b);
点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b).

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应用知识

强化练习

教材练习3.2.2

1.求满足下列条件的点的坐标: (1)与点 ? ?2,1? 关于 x 轴对称; (2)与点 ? ?1, ?3? 关于 y 轴对称;
.

(3)与点 ? 2, ?1? 关于坐标原点对称; (4)与点 ? ?1,0? 关于 y 轴对称.
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创设情景 兴趣导入 问题1 观察下列图形的是否具有对称性:

演 示
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创设情景 兴趣导入 问题2
观察下列函数的图像的是否具有对称性,如果有关于

什么对称?

如果沿着y轴对折,那么对折后 y轴两侧的图像完全重合.

如果将图像沿着坐标原点旋转180°, 旋转前后的图像完全重合. 这时称函数图像关于坐标原点对称.

这时称函数图像关于y轴对称.

y轴叫做这个函数图像的对称轴. 原点O叫做这个函数图像的对称中心.
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动脑思考

探索新知

函数y=f (x)
对任意的x∈D,都有 ? x ∈ D

f (?x)=f (x) 图像关于y轴对称
. 称函数为偶函数 .

f (-x)=-f (x) 图像关于原点对称 称函数为奇函数.

不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 如果一个函数是奇函数或偶函数, 那么,就称此函数具有奇偶性.
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动脑思考

探索新知

函数奇偶性的判断

(1)求出函数的定义域,看其是否满足对任意的x∈D,都有-x ∈ D, 如果存在?x ∈ D,则函数肯定是非奇非偶函数; (2)分别计算出f(x)与f(?x),然后根据它们的关系判断函数的奇偶性.
.

用图像法表示的函数,可以通过对图像对称性的观察判断函数是否 具有奇偶性.

演 示
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巩固知识

典型例题

例 4 判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? x3 ; (2) f ? x ? ? 2x2 ? 1 ; (3) f ? x ? ? x ; (4) f ? x ? ? x ? 1 .
分析 依照判断函数奇偶性的基本步骤进行. 解(4) f ? x ? ? x ? 1 的定义域为 ? ??, ?? ? , 3
. 是关于原点对称的区间, 解 ( 3 ) f ? x ? ? x 的定义域是 ?0, ?? ? ,

1) )函数 的定义域为?? , ?? ?? x 解 (2 ?? ,, ?? f ? x? f ??2 x ?x 1 的定义域为 ?2? ??,
且 f ? ?x? ? ? ?x ? ? 1 ? ?x ? 1 ,

是关于原点对称的区间, 是关于原点对称的区间,

由于 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,并且 f ? ? x ? ? f ? x ? , 所以函数 f ? x ? ? x ? 1 是非奇非偶函数.
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2 3 且 f ? ?x ? ? 1 2x f ? x? , ?2 xx ? x? ? ? f??1 x? ?? ?? ? ? ?? ?,

不是一个关于原点对称的区间, 32

所以函数 ? 2x ? 1 是偶函数. 所以 f ? x ?f? ? x? 是奇函数.

所以函数 f ? x ? ? 2 x 是非奇非偶函数. 3

应用知识

强化练习

教材练习3.2.2
2.判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? x ;

1 (2) f ? x ? ? 2 ; x (3) f ? x ? ? ?3x ? 1 ;
(4) f ? x ? ? ?3x2 ? 2 .

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归纳小结

强化思想
几何对称

函数性质

图像特征

性质判断

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归纳小结

强化思想

学习效果

学习行为
学习方法

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继续探索 作业探究

阅读

教材章节3.2

书写

学习与训练3.2

实践 举出函数性质的生活事例
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再 见

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