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第二讲


第二讲 命题及其关系?充分 条件与必要条件

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教材知识整合 回归教材

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1.四种命题 一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,则四种命题的 形式就是:

原命题:若p,则q;
逆命题:若q,则p 否命题:若?p,则?

q 逆否命题:若?q,则?p 原命题与它的逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假.

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2.充要条件 若"p?q",则p是q的充分条件; 若q?p,则p是q的必要条件;

若p?q且q? p,则p是q的充分不必要条件;
若q?p且p? q,则p是q的必要不充分条件; 若p?q,则p是q的充要条件; 若p? q且q? p,则p是q的既不充分也不必要条件.

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基础自测 1.(2010·陕西文数)“a>0”是“|a|>0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 )

D.既不充分也不必要条件

解析:本题考查充要条件的判断
∵a>0?|a|>0,|a|>0? a>0,∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必

要条件.
答案:A

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2.(2010·山东文数)设{an}是首项大于零的等比数列,则 “a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 )

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案:C

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3.(2010·四川)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于x=1对称的充 要条件是( A.m=-2 C.m=-1 ) B.m=2 D.m=1

答案:A

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4.(2010·广东)“m<?”是一元二次方程x2+x+m=0有实数解 的( ) B.充分必要条件 D.非充分非必要条件 A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 ∴Δ=1-4m≥0 ∴m≤ ?由m< ? ?m≤ ? ,反之不成立,故选A.

解析:一元二次方程x2+x+m=0有实数解

答案:A

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5.(2010·天津)命题"若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数"的否命 题是( )

A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数

C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数

答案:B

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重点难点突破

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题型一

四种命题的关系

【例1】 写出下列命题的逆命题?否命题?逆否命题,并判断 这些命题的真假.

(1)若ab≤0,则a≤0或b≤0;
(2)若x2+y2=0,则x?y全为0; (3)若q>1,则方程x2+2x+q=0有实根.

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[解] (1)原命题为真. 逆命题:若a≤0或b≤0,则ab≤0.为假. 否命题:若ab>0,则a>0且b>0.为假.

逆否命题:若a>0且b>0,则ab>0.为真.

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(2)原命题为真. 逆命题:若x?y全为0,则x2+y2=0.为真. 否命题:若x2+y2≠0,则x?y不全为0.为真.

逆否命题:若x?y不全为0,则x2+y2≠0.为真.
(3)原命题为假. 逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q>1.为假. 否命题:若q≤1,则方程x2+2x+q=0没有实根.为假. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0没有实根,则q≤1.为假.

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[点评] (1)写出一个命题的逆命题?否命题?逆否命题的关键 是正确找出原命题的条件和结论; (2)在判断原命题及其逆命题,否命题和逆否命题真假时,要灵

活应用“原命题与逆否命题同真同假;否命题与逆命题同
真同假”.

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变式1:有三个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命 题; (2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;

(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题.
其中真命题的个数为________.

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解析:(1)的逆命题为"若x,y互为相反数,则x+y=0"是真命题. (2)原命题是假命题,所以逆否命题为假命题. (3)的逆命题为"若x2+x-6>0,则x≤-3",是假命题.又逆命题与否 命题是等价命题,故否命题为假命题.

答案:1个

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题型二

? 【例2】 ①(2010?上海文数)“x=2kπ+ (k∈ Z)”是 4
“tanx=1”成立的( A.充分不必要条件 )

充要条件的判定

B.必要不充分条件
C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
[答案] A

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②(2010·北京理数)a?b为非零向量.“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)?(xb-a)为一次函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

[答案]B

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?? ? ? [解析]①tan ? 2k? ? ? ? tan ? 1, 所以充分; 4? 4 ? 5? 但反之不成立, 如tan ? 1.故选A. 4

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②函数f(x)=x2a?b-(a2-b2)x-a?b 当函数f(x)是一次函数时必然要求a?b=0,即a⊥b反过来,当 a⊥b时且|a|=|b|时,f(x)不是一次函数,

∴a⊥b是f(x)是一次函数的必要不充分条件.
故选B.

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[点评] 判断充分必要条件时,一是要分清命题的条件和结论, 二是要从两个方向上判断条件?结论与结论?条件是否成 立.

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变式2:设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是 “l⊥m且l⊥n”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 解析:∵m,n?α,∴l⊥α?l⊥m且l⊥n,反之由l⊥m且l⊥n,当 m∥n时,不能推出l⊥α,故选A. 答案:A

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题型三

充要条件的应用

【例3】 设A={x∈R|2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},则命题C?B 的充要条件是什么?

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[解] ∵A={x∈R|-2≤x≤a}, ∴B={y|-1≤y≤2a+3}. 当-2≤a<0时,C={z|a2≤z≤4};

当0≤a≤2时,C={z|0≤z≤4};
当a>2时,C={z|0≤z≤a2}. ∴当-2≤a≤2时,C?B?4≤2a+3??≤a≤2; 当a>2时,C?B?a2≤2a+3?2<a≤3. 综上可知,所求的充要条件是?≤a≤3.

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变式3:已知p

x ?1 1? 3

≤2,q:x2-2x+1-

m2≤0(m>0),若非p是非q的必要而不充分条件,求实数m的取值 范围.

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解 :由题意知, 若非p是非q的必要不充分条件的等价命题为 : x ?1 x ?1 p是q的充分不必要条件. p : 1 ? ≤2, ?2≤ ? 1≤2, 3 3 x ?1 ?1≤ ≤3, ?2≤x≤10.q : x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ≤0, ( x ? 1) 2 ≤m 2 , 3 ?1 ? m≤ ? 2, 1 ? m≤x≤1 ? m(m ? 0).? p是q的充分不必要条件 ? ? ?1 ? m≥10. ?m≥3, ?? ? m≥9.即实数m的取值范围是 ?9, ?? ? . ?m≥9.

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解题方法拾遗 【例4】 “a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函 数”的( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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[解析] 当a=1时,f(x)=|x-1|在区间[1,+∞)上为增函数,而函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上是增函数,得出a≤1,因此“a=1” 是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必 要条件.故选A.

[答案] A

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【例5】 设全集为U,在下列条件中 ,(1)A∪B=A;(2)(?UA)∩B=?;(3)?UA??UB;(4)A∪?UB=U 能作为B?A的充要条件的有________.(把正确的序号都 填上).

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[解析] 利用韦恩图解答,作韦恩图,如图所示. (1)A∪B=A?B?A. (2)(?UA)∩B=??B?A. (3)?UA??UB?B?A. (4)∵A∪?UB=U??UA??UB. ∴A∪?UB=U是B?A的充要条件.

[答案] (1)(2)(3)(4)

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[点评] 判断充要条件的方法 (1)定义法:若p?q,则p是q的充要条件. (2)逆否法:若证非p是非q的充要条件,只需证明q是p的充要条

件.
(3)集合法:从集合的观点出发,建立命题p和q相应的集合 ,A={x|p(x)},B={x|q(x)}. ①若A?B,则p是q的充分条件. ②若B?A,p是q的必要条件.

③若A=B,则p是q的充要条件.

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考向精测 1.若a>0,b>0,且a≠1,则logab>0是(a-1)(b-1)>0的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

答案:C

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2.下列命题错误的是(

)

A.命题"若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根"的逆否命题为:"若 方程x2+x-m=0无实数根,则m≤0" B."x=1"是"x2-3x+2=0”的充分不必要条件

C.若p∧q为假命题,则p?q均为假命题
D.y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件是

φ=kπ+

? 2

(k∈Z)

答案:C

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教师备课资源 1.指出下列命题中,p是q的什么条件(在"充分不必要条件"?" 必要不充分条件"?"充要条件"?"既不充分也不必要条件" 中选出一种作答).

(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;
(2)对于实数x?y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A?B中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知x?y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0.

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解:(1)在△ABC中,∠A=∠B?sinA=sinB,反之,若sinA=sinB, 因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所 以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知,?p:x+y=8,?q:x=2且y=6,显然?q??p,但?p? ?q,即?q是

?p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p
是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以

p是q的必要不充分条件.
(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p?q但q? p,故p是q 的充分不必要条件.

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2.现有命题:若c>b,且f(x)在两个区间[a,b],[c,d]上都是增函数, 则f(x)在区间[a,b]∪[c,d]上是增函数,若认为该命题为真,请 给出证明.若认为该命题为假,请对原命题予以补充条件(不 允许变更原命题的内容?不允许举反例)使原命题成立,请先 写出补充条件,然后证明给出的真命题.

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解:原命题为假命题.需补充的条件:f(c)>f(b). 证明:任取x1,x2∈[a,b]∪[c,d],且x1<x2. (1)若x1,x2∈[a,b],由f(x)在[a,b]上为增函数, 必有f(x1)<f(x2)成立; (2)若x1,x2∈[c,d],由f(x)在[c,d]上为增函数, 必有f(x1)<f(x2)成立;

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(3)若x1∈[a,b],x2∈[c,d],由题设知f(x1)≤f(b),f(x2)≥f(c),又 f(b)<f(c). ∴f(x1)<f(x2).

综上所述,f(x)在[a,b]∪[c,d]上为增函数.

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3.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.

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解:(1)a=0时x=-?,适合. (2)a≠0时,显然方程没有零根. 若方程有两异号实根,则a<0; 若方程有两个负的实根,则
?1 ?a ? 0 ? ? 2 , ?? ? 0 a ? ? ? ? 4 ? 4a≥0 ? ?

必有

解得0<a≤1.

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综上知,若方程至少有一个负实根,则a≤1. 反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根, 因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件 是a≤1.

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