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2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第2章 第7节 指数函数与对数函数]


第七节
是( )

指数函数与对数函数
|x|a
x

1.(2013·德州二模)函数 y=

x

(a>1)的图象大致形状

解析:当 x>0 时,y=a (a>1)为增函数.当 x<0 时,y= x x -a (a>1)与 y=a 关于 x 轴对

称.故选 B. 答案:B 2. 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象如右图所示, 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称, 则函 数 y=g(x)的解析式为( )

x

A.g(x)=2 ?1?x ? B.g(x)=? ?2? ? ? C. g(x)=log1x
2

x

D.g(x)=log2x 解析: 由图象知函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)过点(2, -1),

1 ∴loga2=-1.∴a= . 2 ∵函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对 称, ∴函数 y=g(x)与 y=f(x)互为反函数. ?1?x ? ∴g(x)=? ?2? .故选 B. ? ? 答案:B 3.(2013·河北省高三质监)函数 y=log1(3x-a)的定义域
2

?2 ? ? ,+∞ 是? ) ?3 ?,则 a=( ? ? A .2 B.-2

C.3

D.-3

a 1 解析:由 3x-a>0 得 x> .因此,函数 y=log (3x-a)的 3 2 ?a ? a 2 ? ,+∞ 定义域是? ,所以 = ,得 a=2. 故选 A. ?3 ? 3 3 ? ? 答案:A
4.若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0 且 a≠1)的反函数,其 图象经过点( a,a),则 f(x)=( ) 1 2 A.log2x B.log1x C. x D.x 2 2 解析:f(x)=logax,点( a,a)在其图象上,∴a=loga a, 1 1 a 即 a =a ,解得 a= . 2 2 ∴f(x)=log1x.故选 B.
2

x

答案:B

5.已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f? ?

?

1 ? ? ?=4,则 ?2 014?

f(2 014)的值为(
A .2
? 解析:∵f? ?2 ?

) B.1

C.-1

D.0

1 ? 1 1 ? + f (2 014) = a log + b log +2 2 3 014? 2 014 2 014 ? +alog22 014+blog32 014+2=4, ∴f(2 014)=0. 答案:D
x ? ?2 ,x<0, f(x) = ? ?g x ,x>0. ?

6. (2013·洛阳质检)设函数



f(x)是奇函数,则 g(2)的值是(
A.- 1 2 1 B. 2

) C.- 1 4
-x

1 D. 4

解析:令 x>0,则-x<0,∴f(-x)=2 ,又∵f(x)是奇 函数,∴f(x)=-f(-x), 1 -x -x, -2 ∴f(x)=-2 ,∴g(x)=-2 ∴g(2)=-2 =- . 故选 4 C. 答案:C 7 . (2013· 汕 尾 二 模 ) 设
x ? ?e g(x) = ? ? ?ln

x , x x> ,



g(g(0))=________.
解析:∵当 x=0 时, g(x)=e ,∴当 x=0 时,g(0)=e =1, ∴g(g(0))=g(1),∵当 x>0 时,g(x)=ln x,∴当 x=1 时,g(1)=ln 1=0,∴g(g(0))=0,故答案为 0. 答案:0 8. 定义: 区间[x1, x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 f(x)
x
0

1 =|log x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长 2 度的最大值与最小值的差为________. 答案:3 9.在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点.若 函数 y=f(x)的图象恰好经过 k 个格点,则称函数 y=f(x)为 k 阶格点函数.下列函数中为一阶格点函数的序号是 ________________. 2 -1 x ①y=x ;②y=x ;③y=e -1;④y=log2x. 解析:这是一道新概念题,重点考查函数值的变化情况.显 然①、④都有无数个格点,②有两个格点(1,1)、(-1,-1), x 而③y=e -1 除了(0,0)外,其余点的坐标都与 e 有关,所以不 是整点,故③符合.填③. 答案:③
?1?x ? 10. 已知函数 f(x)=? ?2? 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 ? ? y=x 对称,令 h(x)=g(1-|x|),则关于函数 h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称;②h(x)为偶函数;③h(x)的最 小值为 0;④h(x)在(0,1)上为减函数. 其中正确命题的序号为____________(将所有正确命题的序 号都填上).

答案:②③ 11. (2013·抚顺月考)已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1), 若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 的轨迹恰 好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范 围.

解析:(1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x, -y)是点 P 关于原点的对称点, ∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上, ∴-y=loga(-x+1), 即 y=g(x)=-loga(1-x). x+1 (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m. 1-x 1+x 设 F(x)=loga ,x∈[0,1),由题意知, 1-x 只要 F(x)min≥m 即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0. 故 m≤0 即为所求. 2 . 2 +1 (1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值. (2)若 a=2,则是否存在实数 m,n(m<n<0),使得函数 y =f(x)的定义域和值域都为[m,n]?若存在,求出 m,n 的值; 若不存在,请说明理由. 12.已知函数 f(x)=a-
x

解析:(1)∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(0)=0.∴a=1. (2)(法一)不存在实数 m,n 满足题意. 2 易知 f(x)=2- x . 2 +1 x ∵y=2 在 R 上是增函数,∴f(x)在 R 上是增函数. 假设存在实数 m,n(m<n<0)满足题意, 2 ? 2- ? 2 +1=m,① 则有? 2 2 - ? ? 2 +1=n,②
m n

2 m ∵m<0,∴0<2 <1.∴0<2- m <1. 2 +1 而①式左边>0,右边<0,故①式无解.

同理②式无解. 故不存在实数 m,n 满足题意. (法二)不存在实数 m,n 满足题意. 2 易知 f(x)=2- x . 2 +1 x ∵y=2 在 R 上是增函数,∴f(x)在 R 上是增函数. 假设存在实数 m,n(m<n<0)满足题意,则有
? ?f(m)=m, ? ? ?f(n)=n,

即 m, n 是方程 f(x)=x 的两个不等负根.

2 2 x =x,得 2 +1=- . 2 +1 x-2 2 x 令 h(x)=2 +1,g(x)=- . x-2 ∵函数 g(x)在(-∞,0]上单调递增, ∴当 x<0 时,g(x)<g(0)=1. 而 h(x)>1,∴h(x)>g(x). 2 x ∴方程 2 +1=- 在(-∞,0)上无解. x-2 故不存在实数 m,n 满足题意. 由 2-
x


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