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椭圆的定义与标准方程(二)课件


?实验

1.椭圆的定义: 平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和
等于常数( 大于 F1 F2 )的点的轨迹是椭圆.
这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间 的距离叫作椭圆的焦距 定义中的常数为什么要大于焦距|F1F2|?

当2a>2c>0时轨迹为 :动点的轨迹为椭圆
当2a=2c时轨迹为 :动点的轨迹为线段F1F2

当2a<2c时:

无轨迹

Y

?椭圆的标准方程的特点:
Y M M O F2 (c,0) X

F2(0 , c)

F1 (-c,0)

O

X

F1(0,-c)

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b a b 共同点:(1)椭圆的标准方程表示的图像一定是 焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方 和,右边是1. (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
不同点:焦点在x轴上的椭圆x 2 项分母较大. 焦点在y轴上的椭圆 y2 项分母较大.

下列方程哪些表示椭圆?若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a2,b2 ,写出焦点坐标.

x y (1) ? ?1 16 16
x2 y2 ( 2) ? ?1 25 16

2

2

(4)9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0
(5) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1
(6) (x-2)2+y2 + (x+2)2+y2 = 16

x2 y2 (3) 2 ? 2 ?1 m m ?1

x2 y2 (7 ) ? ?1 24 ? k 16 ? k

当a为定值时,椭圆的形 状与c的变化关系是 c越大,椭圆越扁 c越小,椭圆越圆

求满足下列条件的椭圆的标准方程

(1)焦点F (0,-3),F (0,3)且b=4
1 2

(2)焦点F (-2,0),F (2,0)且过点p(2,3)
1 2

(3)a= 6 ,b=1

(4)a+b=10,c=2 5

(5)过点A(

3 ,-2),B(-2 3 ,1)

若椭圆的焦点位置不确定可设其方程为: mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)

焦点三角形问题
x2 2 已知椭圆 +y =1的两焦点是F1、F2,P为椭圆上的任意一点 4 (1)求 PF1 PF2 的最大值 (2)若?F1PF2=60° ,求 PF1F2的面积

轨迹问题
动圆C与定圆
C1 : x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 64

内切和定圆

C2 : x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 外切,求动圆圆心C的轨迹

已知A,C两点的坐标分别是(-1,0)和(1,0)点B到 A,C两点的距离之和为2m(m>0),求点B的轨迹

小结:
? ? ?

求椭圆的标准方程的方法: 1、定义法 2、用待定系数法求a、b、c

?

若椭圆的焦点位置不确定可设其方程为: 3、 mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)


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