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2014届高三数学一轮复习专讲专练 :9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.(2013· 淄博月考)直线 l 经过 A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的 倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π? ? C.?0,4?
? ?

) π? ?3π ? ? B.?0,4?∪? 4 ,π?
? ? ? ?

π? ?π ? ? D.?0,4?∪?2,π?
? ? ? ?

m2-1 解析:k= =1-m2≤1,又 k=tanα,0≤α<π, 1-2 π? ?π ? ? 所以直线 l 的倾斜角的取值范围为?0,4?∪?2,π?.
? ? ? ?

答案:D 2. 设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α, sinα+cosα=0, a、 满足( 且 则 b A.a+b=1 C.a+b=0 B.a-b=1 D.a-b=0 )

解析:∵sinα+cosα=0,α 是倾斜角,∴tanα=-1, a ∴k=-b=tanα=-1,∴a-b=0. 答案:D 3.(2013· 郑州月考)直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2 过点(1,0),且它的倾斜角 是直线 l1 的倾斜角的 2 倍,则直线 l2 的方程为( A.y=6x+1 3 C.y=4(x-1) )

B.y=6(x-1) 3 D.y=-4(x-1)

解析:由 tanα=3 可求出直线 l2 的斜率

2tanα 3 k=tan2α= 2 =- , 4 1-tan α 3 再由 l2 过点(1,0)即可求得直线方程 y=-4(x-1). 答案:D 4.(2013· 金华调研)若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截 距为 1,则实数 m 等于( A.1 1 C.-2 解析:当 2m2+m-3≠0 时, 4m-1 在 x 轴上截距为 2 =1,即 2m2-3m-2=0, 2m +m-3 1 ∴m=2 或 m=-2. 答案: D 5.(2013· 中山调研)直线 ax+y+1=0 与连接 A(2,3)、B(-3,2)的线段相交, 则 a 的取值范围是( A.[-1,2] C.[-2,1] ) B. (-∞,-1)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) ) B.2 1 D.2 或-2

解析:直线 ax+y+1=0 过定点 C(0,-1), 当直线处在 AC 与 BC 之间时,必与线段 AB 相交, 3+1 2+1 应满足-a≥ 2 或-a≤ ,即 a≤-2 或 a≥1. -3 答案:D 6.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小, 则直线的方程为( )

A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0

C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0 x y 解析:设直线的方程为a+b=1(a>0,b>0), 1 4 则有a+b=1,
?1 4? b 4a ∴a+b=(a+b)?a+b?=5+a+ b ≥5+4=9, ? ?

b 4a 当且仅当a= b ,即 a=3,b=6 时取“=”. ∴直线方程为 2x+y-6=0. 答案:B 二、填空题 7.已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角 的一半,则 l 的斜率是__________. 解析: 设直线 AB 的倾斜角为 2α, 则直线 l 的倾斜角为 α, 由于 0° ≤2α<180° , -2-?-5? 3 1 1 ∴0° ≤α<90° ,由 tan2α= =4,得 tanα=3,即直线 l 的斜率为3. 3-?-1? 1 答案:3 8. 过点 P(1,2), x 轴, 轴上截距相等的直线方程为____________________. 在 y 解析:设所求直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即直线 l 过点(0,0)和(1,2), ∴直线 l 方程为 y=2x; 若 a≠0,设直线 l 方程为 x+y=a,则 a=1+2=3, ∴直线 l 方程为 x+y-3=0. 综上,所求直线 l 的方程为 y=2x 或 x+y-3=0. 答案:y=2x 或 x+y-3=0. 9.已知点 A(2,3),B(-5,2),若直线 l 过点 P(-1,6),且与线段 AB 相交,

则直线 l 倾斜角的取值范围是__________.

6-3 解析:如图所示,kPA= =-1, -1-2 3π ∴直线 PA 的倾斜角为 4 , 6-2 kPB= =1. -1-?-5? π ∴直线 PB 的倾斜角为4,
?π 3π? 从而直线 l 的倾斜角的范围是?4, 4 ?. ? ? ?π 3π? 答案:?4, 4 ? ? ?

三、解答题 10.(2013· 芜湖调研)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-
? ? ? 3 -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

解析:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 3-2 1 当 m≠-1 时,k= = , m+1 m+1

1 故直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 1 故所求直线 AB 的方程为 x=-1 或 y-2= (x+1). m+1 π (2)当 m=-1 时,α=2; 当 m≠-1 时,m+1∈?-
? ?

3 ? ?∪(0, 3], 3 ,0?

? 3 ? 1 ∴k= ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ? ?π π? ?π 2π? ∴α∈?6,2?∪?2, 3 ?. ? ? ? ? ?π 2π? 综上可知,直线 AB 的倾斜角 α∈?6, 3 ?. ? ?

11.已知△ABC 中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求: (1)△ABC 的平行于 BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程; (2)BC 边的中线的一般式方程,并化为截距式方程. 解析:(1)平行于 BC 边的中位线就是 AB、AC 中点的连线.
?7 ? ? 1 ? 因为线段 AB、AC 中点坐标为?2,1?,?-2,-2?, ? ? ? ?

1 x+2 y+2 所以这条直线的方程为 = , 1+2 7 1 2+2 整理得 6x-8y-13=0, x y 化为截距式方程为13-13=1. 6 8 (2)因为 BC 边上的中点为(2,3), y+4 x-1 所以 BC 边上的中线方程为 = , 3+4 2-1

即 7x-y-11=0, x y 化为截距式方程为11-11=1. 7 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设 △AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解析:(1)方法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 方法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立, 即(x0+2)k-y0+1=0 恒成立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0,解得 x0=-2,y0=1, 故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
? ?k≥0, 要使直线 l 不经过第四象限,则? ?1+2k≥0, ?

解得 k 的取值范围是 k≥0. (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- 且 k>0,
? 1+2k ? ∴A?- ,0?,B(0,1+2k), k ? ?

1+2k k ,在 y 轴上的截距为 1+2k,

1 故 S=2|OA||OB| 1 1+2k =2× k (1+2k)

1 ? 1 1? =2?4k+k+4?≥2(4+4)=4.
? ?

1 1 当且仅当 4k=k,即 k=2时,取等号, 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.


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