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圆锥曲线的几何性质


圆锥曲线的几何性质
x2 y 2 一、椭圆的几何性质(以 2 + 2 =1(a﹥b﹥0)为例) a b

1、焦点⊿PF1F2 中: (1)S⊿PF1F2= b 2 ? tan ?
2
F2

y P

(2) (S⊿PF1F2)max= bc
F1

x

/>
(3)当 P 在短轴上时,∠F1PF2 最大 2、 过点 F1 作⊿PF1F2 的∠P 的外角平 分线的垂线,垂足为 M ,则 M 的轨迹是 x2+y2=a2 证明:延长 F1M 交 F2 P 于 F , 连接 OM 由已知有 PF1 ? FP ,
M
M P y

为 F1F 中点
1 1 FF2 = ? PF1 ? PF2 ? = a 2 2
2 x2 ? y 2 ? a。

x F1 O F2

∴ OM ?

所以 M 的轨迹方程为

3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆 x2+y2=a2 内切 4、过焦点 F 的弦 AB,
1 1 2a ? ? 2 (定值) AF BF b

5、AB 是椭圆的任意一弦,P 是 AB 中
y

点,则 K AB ? K OP ? ?

b (定值) a2

2

P A O B

证明:令 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P ? x0 , y0 ?

M

x

? y1 ? y2 ? ? y ?x ? x ? 则 1 2 ?x
2
0

2

0

? x12 y12 ? 2 ? 1? 2 ? x1 ? x2 ? . ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? . ? y1 ? y2 ? ? 0 ? a b ?? 2 2 a2 b2 x2 y2 ? ? ?1 ? a 2 b2 ?

∵ ∴

k AB ?

? y1 ? y2 ? , k ? y0 , OP x0 ? x1 ? x2 ?
A1

M P

b2 k A B? k O ? P ? 2 。 a

A2 F N

6、椭圆的长轴端点为 A1、A 2,P 是椭 圆上任一点,连结 A1P、A2P 并延长,

交一准线于 N、M 两点,则 M、N 与对应准线的焦点张角为 900 证明:令 M ?
uuu r

? a2 ? ? a2 ? , y1 ? , N ? , y2 ? , P ? x0 , y0 ? , A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0? ? c ? ? c ?
uuu r

∴ A1 P ? ? x0 ? a, y0 ? , A2 P ? ? x0 ? a, y0 ? , A1M ? ? ? a, y1 ? , A2 N ? ? ? a, y2 ? ? c ? ? c ? ∵ 由于 A1 、 P 、 M 共线 ,∴
x0 ? a y0 ? ? y1 ? a2 y1 ?a c x0 ? a y0 ? ? y2 ? a2 y2 ?a c y0 ? ( a2 ? a) c x0 ? a

uuuu r

? a2

r ? uuuu

? a2

?



由于 A2 , P, N 共线 ,∴

y0 ? (

a2 ? a) c x0 ? a



y1 y2 ?

y0 ? (

a2 a2 ? a) y0 ? ( ? a) y0 2 a 4 ? a 2c 2 c c ? 2 2? , x0 ? a x0 ? a x0 ? a c2

x02 y02 y02 b2 ∵ 2 ? 2 ?1? 2 2 ? ? 2 a b x0 ? a a



2 2 b2 a 4? a c b4 y1 y2 ? ? 2 ? ?? 2 , a c2 c



uuur ? a 2 ?? F M ? ? ? ,c 1 ? y? r b4 ? c ?? uuur uuu ? FM ? FN ? 2 ? y1 y2 ? uuu r ? a2 c ?? F N ? ? ? ,c 2 y ?? ? c ??

∴ FM ? FN ? 0 , ∴ M、N 与对应准线的焦点张角为 900 7、 圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互 垂直的直线交圆锥曲线于 AB, 则 AB 必
x0 (a 2 ? b 2 ) y 0 (a 2 ? b 2 ) , ) 2 2 a2 ? b2 过定点 a ? b (
A

uuu r uuu r

y

P

F2

F1 B

x

8、P为椭圆一定点, kPB ? ?kPA ,当B变动时, k AB 为一定值。
y

P

x A B

x2 y2 9、已知点 P( x0 , y0 ) ,椭圆 C: 2 + 2 =1(a﹥b﹥0。 a b
x0 x ? a2 xx (2)若 P 在 C 外,则直线 02 ? a x0 x (3)若 P 在 C 内,则直线 2 ? a

(1)若 P 在 C 上,则直线

y0 y ? 1 是椭圆在 P 处的切线; b2 y0 y ? 1 是椭圆过 P 的切线的切点弦; b2 y0 y ? 1 与椭圆相离; b2

10 、已知圆锥曲线的一个焦点是 F,过 F 的焦点弦两端点为 A、B, 分别过 A、B 作圆锥曲线的切线, 其交点为 C, 则点 C 的轨迹是相应 于焦点 F 的准线,且 CF⊥AB。
F2 F1 A B C

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 11、过椭圆 a b 上

B T

位于第一象限内的一点 T 作椭圆 的切线,与 x 轴、y 轴分别交于 点 A、B, F1 , F2 分别为椭圆的左 右焦点,则∠ AB F2 = ∠ A F1 T. 即 B、 F1 、 F2 、T 四点共圆.
F1

F2

A

12、椭圆的光学性质:过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 13、 已知椭圆 a b 内一定点 M (m,0)(m ? 0) , 过 M 的弦的

两端点为 A、B,过点 A 作直线 直线
BC AD
x?

x?

a2 m 的垂线,垂足为 D,过点 B 作

a2 a2 x? m 的垂线,垂足为 C ,直线 m 与 x 轴交点为 K ,则

?

BM AM

;

∠AKM=∠BKM.
B C

F2

F1 A

K D


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