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9-2两直线的位置关系与距离公式


9-2 两直线的位置关系与距离公式 基 础 巩 固 一、选择题 1.(文)(2012· 浙江文,4)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+ 2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 本题考查了平面中两条直线平行的充要条件,由题意 )

a 2 -1 知:1=2≠ 4 ,所以 a=1.两直线平行的条件一定要考虑全面,不要 以为只要斜率相等即可. (理)(2012· 浙江理,3)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y -1=0 与直线 l2:x+(a+1)y=0 平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 本题主要考查充分必要条件. 若两直线平行,则 a(a+1)=2,即 a2+a-2=0 ∴a=1 或-2,故 a=1 是两直线平行的充分不必要条件. 此类题目要特别注意充分不必要与必要不充分两个条件. 2. (2012· 湖州模拟)“m=2”是“直线 2x+my=0 与直线 x+y= )

1 平行”的(

)

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m=2 时,显然直线 x+y=0 与直线 x+y=1 平行,而当 直线 2x+my=0 与直线 x+y=1 平行时,有 2-m=0 且 2×(-1)- 0≠0,即 m=2,所以为充要条件. 3.(2012· 南京调研)与直线 3x-4y+5=0,关于 x 轴对称的直线 方程为( ) B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 [答案] A

[解析] 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x- 4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0. 4.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 [答案] A [解析] 由题意可知 OA 与所求直线 l 垂直.因为 kOA=2,所以 1 1 kl=-2,故 l 的方程为 y-2=-2(x-1), 即 x+2y-5=0. 5.(文)(2012· 金华模拟)已知直线 l1 过点 A(-1,1)和 B(-2,-1), 直线 l2 过点 C(1,0)和 D(0,a),若 l1∥l2,则 a 的值为( ) B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0 )

A.-2 C.0 [答案] A [解析] ∵kl1=

B.2 1 D.2

-1-1 =2,kl2=-a,∴a=-2. -2+1

(理)(2012· 盐城模拟)若 l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:mx+2y +6=0 两条平行直线,则 m 的值是( A.m=1 或 m=-2 C.m=-2 [答案] A [解析] 若 m=0 或 m=-1 时,易知两直线不平行;若 m≠0 且 1 1+m m-2 m≠-1 时,则有m= 2 ≠ 6 ?m=1 或-2. 6.已知两直线 l1:mx+y-2=0 和 l2:(m+2)x-3y+4=0 与两 坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数 m 的值为( A.1 或-3 1 C.2 或2 [答案] A [解析] ∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,∴对角互 补,∴两条直线垂直, m+2 ∴ 3 · (-m)=-1,∴m=1 或 m=-3. 二、填空题 7.若直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=-7+a 平行,则 实数 a=________. B.-1 或 3 1 D.-2 或2 ) ) B.m=1 D.m 的值不存在

[答案] 3 [解析] 由题意知,a(a-1)-2×3=0 得 a=-2 或 a=3,当 a =-2 时,两直线重合,舍去,∴a=3. 8. y=a|x|的图像与直线 y=x+a(a>0)有两个不同的交点, a 若 则 的取值范围是________. [答案] (1,+∞) [解析] 如图,要使 y=a|x|的图像与直线 y=x+a(a>0)有两个不 同的交点,则 a>1.

三、解答题 9.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解析] (1)由条件知 m2-8+n=0,且 2m-m-1=0, ∴m=1,n=7. (2)由 m· m-8×2=0,得 m=± 4.
? ? ?m=4 ?m=-4 由 8×(-1)-n· m≠0,得? 或? . ?n≠-2 ?n≠2 ? ?

即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2;

(3)当且仅当 m· 2+8· m=0, n 即 m=0 时,l1⊥l2,又-8=-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [点评] 若直线 l1、2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y l +C2=0,则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2-A2B1=0 且 A1C2≠A2C1;而 l1 ⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0. 能 力 提 升 一、选择题 x y 1. (2012· 青岛模拟)若直线a+b=1 通过点 M(cosα, sinα), 则( A.a2+b2≤1 1 1 C.a2+b2≤1 [答案] D x y [解析] 直线a+b=1 通过点 M(cosα,sinα), ∵点 M 在单位圆上, x y ∴原点到直线a+b=1 的距离 d≤1, 由点到直线的距离公式有 |-1| 1 1 ≤1?a2+b2≥1,故选 D. 1 1 a2+b2 2.(2012· 合肥统考)直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针 π 旋转2所得的直线方程是( A.-x+2y-4=0 C.-x+2y+4=0 ) B.x+2y-4=0 D.x+2y+4=0 B.a2+b2≥1 1 1 D.a2+b2≥1 )

[答案] D [解析] 直线 2x-y-2=0 与 y 轴的交点为 P(0,-2),其斜率 k π 1 1 =2,绕点 P 逆时针旋转2后的斜率为 k′=-k=-2, 1 故旋转后的直线方程为 y+2=-2x,即 x+2y+4=0. 二、填空题 3. △ABC 中, b、 是内角 A、 C 的对边, lg sinA, sinB, a、 c B、 且 lg lg sinC 成等差数列,则下列两条直线 l1:(sin2A)x+(sinA)y-a=0,l2: (sin2B)x+(sinC)y-c=0 的位置关系是________. [答案] 重合 [解析] 由已知 2lg sinB=lg sinA+lg sinC, 得 lg(sinB)2=lg(sinA· sinC),∴sin2B=sinA· sinC. 设 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0. a1 sin2A sin2A sinA b1 sinA ∵a =sin2B=sinAsinC=sinC,b =sinC, 2 2 c1 -a -2RsinA sinA a 1 b 1 c1 = = =sinC,∴a =b =c ,∴l1 与 l2 重合. c2 -c -2RsinC 2 2 2 4.(文)若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在 不等式 2x+y<3 表示的平面区域内,则 m=________. [答案] -3 [解析] 识. |4m-9+1| 点 P 到直线 4x-3y+1=0 的距离 d= =4, 5 解得 m=7 或 m=-3, 又∵点 P 在 2x+y<3 表示的区域内,故 m=-3. 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知

(理)将直线 l:x+2y-1=0 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个 单位后得到直线 l′,则直线 l 与 l′之间的距离为____. [答案] 5 5

[解析] 平移后 l′:(x+3)+2(y-2)-1=0, |-2-?-1?| 5 即 l′:x+2y-2=0,∴d= =5. 2 1+2 三、解答题 5.已知两直线 l1? x+ysinθ-1=0 和 l2?2 xsinθ+y+1=0,试求 θ 的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. [解析] (1)解法 1:当 sinθ=0 时,l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 1 0,l1 显然不平行于 l2,当 sinθ≠0 时,k1=-sinθ, k2=-2sinθ. 1 2 欲使 l1∥l2,只要-sinθ=-2sinθ,即 sinθ=± 2 . π ∴θ=kπ±4,k∈Z,此时两直线截距不相等. π ∴当 θ=kπ±4,k∈Z 时,l1∥l2. 解法 2:要使 l1∥l2,需 2sin2θ-1=0,且 1+sinθ≠0, 2 π 即 sinθ=± 2 ,∴θ=kπ±4,k∈Z. π ∴当 θ=kπ±4,k∈z 时,l1∥l2. (2)解法 1:当 sinθ=0 时,l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0,故 l1 ⊥l2.此时 θ=kπ(k∈Z).

1 当 sinθ≠0 时,k1=-sinθ,k2=-2sinθ, 要使 l1⊥l2,则 k1·2=-1, k 1 即-sinθ· (-2sinθ)=-1,显然无解, 故当 θ=kπ(k∈Z)时,l1⊥l2. 解法 2:要使 l1⊥l2,需 2sinθ+sinθ=0, 即 sinθ=0,∴θ=kπ(k∈Z). ∴当 θ=kπ(k∈Z)时,l1⊥l2. 6.已知点 P(2,-1),求: (1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6的直线?若存在, 求出方程; 若不存在,请说明理由. [解析] (1)过 P 点的直线 l 与原点的距离为 2, P 点坐标为(2, 而 -1),可见过 P(2,-1)垂直于 x 轴的直线满足 条件,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得, 2 =2,解得 k=4,这时直线 l 的方程为 3x- 1+k 4y-10=0. 综上所述,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)∵P 点在直线 l 上,∴原点到直线 l 的距离 d≤|OP|,∴过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, l⊥OP, 由 1 得 k1·OP=-1.∴k1=-k =2,得直线 l 的方程为 2x-y-5=0,即 k
OP

直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线, |-5| 最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)知,过 P 点的直线与原点 O 最大距离为 5,故过 P 点不 存在到原点距离为 6的直线. 7.在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4) 的距离之差最大. [解析] 如图所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连接 AB′并 延长交 l 于 P,此时的 P 满足|PA|-|PB|的值最大.

设 B′的坐标为(a,b), 则 kBB′·l=-1, k b-4 即 3· a =-1. ∴a+3b-12=0.① a b+4 又由于线段 BB′的中点坐标为(2, 2 ),且在直线 l 上, a b+4 ∴3×2- 2 -1=0,

即 3a-b-6=0.② 解①②,得 a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是 AB′的方程为 y-1 x-4 = ,即 2x+y-9=0. 3-1 3-4

?3x-y-1=0, ?x=2, ? ? ? 解 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, ? ?

即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5). 此时点 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大.


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