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高中椭圆与双曲线的经典性质总结


椭圆-- 必背的经典结论) 椭圆--(必背的经典结论)
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角 外角

2.

PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点.

3.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 相离. 相离

4.

以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 内切. 内切

5.

若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

xx y y x2 y2 + 2 = 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b

6.

若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 + = 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切 a2 b2 xx y y 点弦 P1P2 的直线方程是 02 + 02 = 1 . a b

7.

x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a b ∠F1 PF2 = γ ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 = b 2 tan
椭圆

γ

2

.

8.

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的焦半径公式: > > )的焦半径公式: a2 b2 | MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

11. AB 是 椭 圆

x2 y2 + = 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a2 b2



kOM ? k AB = ?
即 K AB

b2 , a2 b2 x =? 2 0 。 a y0 x2 y2 + = 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a2 b2

12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x0 x y0 y x0 2 y0 2 + 2 = 2 + 2 . a2 b a b x2 y2 + = 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a2 b2

13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x 2 y 2 x0 x y0 y + = 2 + 2 . a2 b2 a b

--(会推导的经典结论) 椭圆--(会推导的经典结论)
1.

x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a, 0) , A2 ( a, 0) ,与 y 轴平行的直 a b x2 y2 线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 = 1 . a b
过椭圆

2.

x2 y2 + = 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 a2 b2 b2 x 交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC = 2 0 (常数). a y0 x2 y2 + = 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, a2 b2
a?c α β = tan co t . a+c 2 2

3.

若 P 为椭圆

∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β ,则

4.

设椭圆

x2 y2 + = 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 a2 b2

任意一点,在△PF1F2 中 ,记 ∠F1 PF2 = α , ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ ,则有

sin α c = = e. sin β + sin γ a


5.

若椭圆

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0 a2 b2

<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的 比例中项.

6.

x2 y2 P 为椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点, a b
则 2a ? | AF2 |≤| PA | + | PF1 |≤ 2a + | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成 立.

7.

椭圆

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 + = 1 与 直 线 Ax + By + C = 0 有 公 共 点 的充 要 条 件是 a2 b2 A 2 a 2 + B 2 b 2 ≥ ( Ax0 + By0 + C ) 2 .

8.

已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 a2 b2 1 1 1 1 4a 2b 2 OP ⊥ OQ .(1) + = 2 + 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为 2 ; | OP |2 | OQ |2 a b a + b2 a 2b 2 . a2 + b2

(3) S ?OPQ 的最小值是

9.

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 a2 b2 | PF | e MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 = . | MN | 2
过椭圆

10. 已知椭圆

x2 y2 + = 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 ? < x0 < . a a x2 y2 + = 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a2 b2 2b 2 γ 2 .(2) S ?PF1F2 = b tan . 1 + cos θ 2

11. 设 P 点是椭圆

记 ∠F1 PF2 = θ ,则(1) | PF1 || PF2 |=



12. 设 A、B 是椭圆

x2 y2 + = 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, a2 b2 ∠PAB = α , ∠PBA = β , ∠BPA = γ ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有

(1) | PA |=

2ab 2 | cos α | 2a 2b 2 .(2) tan α tan β = 1 ? e 2 .(3) S ?PAB = 2 cot γ . a 2 ? c 2 co s 2 γ b ? a2
x2 y2 + = 1 a>b>0) ( 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F a2 b2

13. 已知椭圆

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ⊥ x 轴,则直线 AC 经 过线段 EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.)

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.



双曲线-- 必背的经典结论) 双曲线--(必背的经典结论)
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角 内角. 内角 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 相交. 相交

4.

以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 相切.(内切:P 在右支;外切: 相切 P 在左支)

5.

若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 是

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程 a2 b2

x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b

6.

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切 a2 b2 xx y y 线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 = 1 . a b
若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 双曲线

7.

x2 y2 ? = 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a2 b2
2

一点 ∠F1 PF2 = γ ,则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 = b co t

γ

2

.

8.

双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) > > )的焦半径公式: a2 b2 在右支上时, 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 ? a .
在左支上时, 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |= ?ex0 + a , | MF2 |= ?ex0 ? a

9.

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.



11. AB 是双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 AB a2 b2 b2 x b2 x 的中点,则 K OM ? K AB = 2 0 ,即 K AB = 2 0 。 a y0 a y0

12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 a2 b2 xx y y x2 y2 程是 02 ? 02 = 02 ? 02 . a b a b

x2 y2 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程 a b 2 2 xx y y x y 是 2 ? 2 = 02 ? 02 . a b a b

--(会推导的经典结论) 双曲线--(会推导的经典结论)
1.

x2 y2 双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 ( ? a, 0) , A2 ( a, 0) ,与 y 轴 a b x2 y2 平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 + 2 = 1 . a b
过双曲线

2.

x2 y2 ? = 1(a>0,b>o) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补 a2 b2 b2 x 的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC = ? 2 0 (常数). a y0 x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, a2 b2
c?a α β = tan co t ( 或 c+a 2 2

3.

若 P 为双曲线

F

2

是 焦 点 , ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β , 则

c?a β α = tan co t ). c+a 2 2

4.

设双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点) a2 b2

为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ∠F1 PF2 = α ,



∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ ,则有

sin α c = = e. ± (sin γ ? sin β ) a

5.

若双曲线

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, a2 b2

则当 1<e≤ 2 + 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距 离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为双曲线

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内 a2 b2

一定点,则 | AF2 | ?2a ≤| PA | + | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和

A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

7.

x2 y2 双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)与直线 Ax + By + C = 0 有公共点的充要条 a b 2 2 2 2 2 件是 A a ? B b ≤ C .
已知双曲线

8.

x2 y2 ? = 1 (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动 ,O a2 b2 点,且 OP ⊥ OQ . 1 1 1 1 4a 2b 2 + = 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 ;(3)S ?OPQ | OP |2 | OQ |2 a b b ? a2

(1)

的最小值是

a 2b 2 . b2 ? a2

9.

过双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 a2 b2 | PF | e M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 = . | MN | 2

x2 y2 10. 已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的 a b a2 + b2 a2 + b2 垂直平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ≥ 或 x0 ≤ ? . a a



11. 设 P 点是双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 a2 b2 2b 2 γ 2 为其焦点记 ∠F1 PF2 = θ , 则(1) | PF1 || PF2 |= .(2) S ?PF1F2 = b cot . 1 ? cos θ 2

12. 设 A、B 是双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的 a2 b2 一点, ∠PAB = α , ∠PBA = β , ∠BPA = γ ,c、e 分别是双曲线的半焦距离

2ab 2 | cos α | 心率,则有(1) | PA |= 2 . | a ? c 2 co s 2 γ |
(2) tan α tan β = 1 ? e .(3) S ?PAB =
2

2a 2b 2 cot γ . b2 + a2

13. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲 a2 b2

线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 两点,点 C 在右准线 l 上, BC ⊥ x B 且 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.



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