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涪陵实验中学高2013级2011年第二次月考(理科)


涪陵实验中学高 2013 级 2011 年第二次月考

数学试题(理科 数学试题 理科) 理科
出题人:何泽进 审题人:王征宇

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(填空题解答题)两部分,满分120分,考试时间120分 钟。参考公式:

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b =

∑x y
i =1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

∑x
i =1

? ? , a = y ? bx 。

2 i

选择题) (I 卷 选择题) 选择题( 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) a b 1 1 A. < B.a2>b2 C. 2 > 2 a b c +1 c +1 2. 不等式 ( x + 3)(1 ? x) ≤ 0 的解集为

D.a|c|>b|c| D. {x | x ≤ ?3或x ≥ 1}

A. {x | x ≥ 3或x ≤ ?1} B. {x | ?1 ≤ x ≤ 3} C. {x | ?3 ≤ x ≤ 1}

3.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件 是( ) A.恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 B.至少有 1 名男生与全是男生 C.至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D.至少有 1 名男生与全是女生 4.某学校共有师生 2400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本, 已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是( ) A.10 B.90 C.150 D.1500

?y ≤ x ? 5.已知变量 x 、y 满足的约束条件为 ? x + y ≤ 1 , 且目标函数为 z = 2 x + y , z 的最大值是 则 ( ? ? y ≥ ?1
A.



3 2

B. ? 3

C. ? 2

D.3
7

6.在各项均为正数的等比数列

{bn } 中,若 b

? b8 = 3 ,则 log 3 b1 + log 3 b2 + ? + log 3 b14 等

于( ) A.5 B. 6 C. 7 D. 8 7.下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平 的游戏是 ( ) 游戏 1 3 个黑球和一个白球 取 1 个球,再取 1 个球 取出的 两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 A. 游戏 1 和游戏 3 取 1 个球 取出的球是黑球→甲胜 取出的球是白球→乙胜 B.游戏 1
1

游戏 2 一个黑球和一个白球

游戏 3 2 个黑球和 2 个白球 取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 D.游戏 3

C.游戏 2

8. 在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C = lg 2 ,则△ABC 的形状是(



A.直角三角形

B. 等腰直角三角形 C.等边三角形
2 2 2 2 2

D.等腰三角形
2

9.若△ABC 边长为 a,b,c,且 f ( x) = b x + (b + c ? a ) x + c , 则 f(x)的图象( A.在 x 轴的上方 B.在 x 轴的下方 C.与 x 轴相切 D.与 x 轴交于两点 10.已知正项数列 {an } 满足: a1 = 3, ( 2n ?1) an + 2 = ( 2n +1) an?1 + 8n2 n > 1, n ∈ N* 列 {bn } 的前 n 项的和 S n ,则 S n 的取值范围为 ( A. ? 0, 1 ?
? ? ? 2?

)

(

)

,设 bn =

1 ,数 an

) D. ? 1 , 1 ?
?3 2 ? ? ?

B. ? 1 , 1 ?

? ?3 2 ? ?

C. ? 1 , 1 ?

? ? ?3 2?

非选择题) (II 卷 非选择题) 二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 填空题( 11.已知 x 与 y 之间的一组数据为则
x y 0 1 1 3 2 5 3 7

? ? ? y 与 x 的回归直线方程 y = bx + a 为
__ __

12. 已知数列{an}的前 n 项和是 S n = n 2 + n + 1 ,

则数列的通项
13.右图是求满足 1+2+3+…+ n > 500 的最小的自然 数 n 的程序框图,则输出框内的内容是______________. 14.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于

3 的概率 5

是____ ____. 15.某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器,假设这台仪器从启用的第 n + 49 一天起连续使用,第 n 天的维修保养费为 (n ∈ N ? ) 元,若使用这 10 台仪器的日平均费用最少,则一共使用了 800 天. 15.已知

5 3 + = 2, ( x > 0, y > 0) ,则 xy 的最小值是 x y

。15

16.已知函数 f ( x ) =

x2 1 1 1 7 ,则 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) 的值为 2 1+ x 2 3 4 2

三.解答题(6 个题,共 75 分) 解答题( 个题, 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = ( (Ⅰ)求实数 m 和 n 的值; (Ⅱ)当 x > 0 时,求函数 f (x ) 的最小值,并求此时 x 的值.
2

mx 2 + 2 5 是奇函数,且 f (2) = . 3x + n 3

17. 本小题满分 13 分) ( 腾讯公司 2005 年 8 月 15 日推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的天数 为 an ( n ∈ N *) ,设 bn = an +1 ? an .
等级 1 2 3 4 5 6 等级图标 需要天数 5 12 21 32 45 60 等级 7 8 12 16 32 48 等级图标 需要天数 77 96 192 320 1152 2496

(1)求 b1 , b2 , b3 , b4 的值,并猜想 bn 的表达式(不必证明) ; (2)利用(1)的结论求数列 {an } 的通项公式; 18. (本小题满分 13 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、 乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.

19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足 ) (2a ? c) cos B = b cos C. (1)求角 B 的大小。 12 π (2)设 m = (cos A, cos 2 A), n = (? , 1) ,当 m ? n 取最小值时,求 tan( A ? ) 的值 5 4
20.(本小题满分 12 分) 实验中学理科 1000 名学生参加高一上学期数学结业考试,某人将成绩制成如下的频率分布表: (I)为了了解同学们高一上学期的学习情况,学校将成绩采用分层抽样取 100 名同学进行问卷调 查,甲同学在本次测试中成绩为 95 分,求他被抽到的概率; (II)若假设本次数学结业考试 80 分为合格线(不及格需补考) ,试根据所提供数据估计实验中 学需要补考的人数; ( III) 将 下表 填写 完整后 作出 频率 分布直 方图, 并估 计实 验中学 本次考 试的 数学 平均分 .

3

分分 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) 总总

人人 60 90 300

频频 0.06

0.3 0.39

160 1000

0.16 1

21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 S n , 首 项 a1 = 1 , 公 比
q = f (λ ) =

λ
1+ λ

(λ ≠ ?1, 0) .

(Ⅰ)证明: S n = (1 + λ ) ? λ an ; (Ⅱ)若数列{ bn }满足 b1 = (Ⅲ)若 λ = 1 , cn = an ( 记
1 , bn = f (bn ?1 )(n ∈ N * , n ≥ 2) ,求数列{ bn }的通项公式; 2

1 数列{ cn }的前项和为 Tn , 求证: n ≥ 2 时,2 ≤ Tn < 4 . 当 ? 1) , bn

级第二次月考数学试题参考 参考解答 2010 年秋期高 2013 级第二次月考数学试题参考解答 一、选择题 1~5: CDACD 二、填空题 6~10:BDDAB

4

? 11. y = 2 x ? 1 ;
14. 三、解答题 16.m=2,n=0;

12. an

= { 3,n 2

n =1 n≥2

13. i ? 1

17.解: (1)由表所给出的数据得 a1 = 5, a2 = 12, a3 = 21, a4 = 32 ,而 bn = an +1 ? an , 于是 b1 =7, b2 =9, b3 =11, b4 =13. ·························································································· 3 分 猜测 {bn } 是以 7 为首项,公差为 2 的等差数列. 所以 bn =2n + 5, n ∈ N * ······································································································ 4 分 (2)由(1)知 an +1 ? an =2n + 5 , 当 n ≥ 2 时, an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + ? ( a2 ? a1 ) + a1 ········································ 5 分

= [2 × (n ? 1) + 5] + [2 × (n ? 2) + 5] + ? + (2 × 1 + 5) + 5 ································· 6 分 = 2 × [1 + 2 + ? (n ? 1)] + 5n = n 2 + 4n
8分

18.解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y , : 用 ( x, y ) 表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即

(1,1) , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,3) , ( 2, 4 ) , ( 3,1) , ( 3, 2) , ( 3,3) , ( 3, 4) , ( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4,3) , ( 4, 4 ) .
(Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则A=

{(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 )} .
4 1 = . 16 4 1 . 4

事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P ( A ) = 答:取出的两个球上的标号为相同数字的概率为

(Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则B =

{(1,3) , ( 3,1) , ( 2,3) , ( 3, 2 ) , ( 3,3) , ( 3, 4 ) , ( 4,3)} .
7 . 16

事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P ( B ) =

5

答:取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为

7 . 16

解:∵ (2a ? c) cos B = b cos C ,由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B = sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A cos B = sin( B + C ) ∵ 在△ ABC中,sin( B + C ) = sin A 1 ∴ 2sin A cos B = sin A, 得cosB= 2
∴B =

π

3

12 cos A + cos 2 A 5 12 ∴ m ? n = ? cos A + 2 cos 2 A ? 1 5 3 43 ∴ m ? n = 2(cos A ? ) 2 ? 5 25 3 当 cos A = 时, m ? n 取得最小值 5 4 4 π tan A ? 1 1 ∴ sin A = ,∴ tan A = ∴ tan( A ? ) = = 5 3 4 1 + tan A 7 (2)m ? n = ?

6

a (1 ? q n ) 21.解:(Ⅰ) S n = 1 = 1? q

而 an = a1 ( ) n ?1 = ( ) n ?1 1+ λ 1+ λ
S n = (1 + λ ) ? λ an (Ⅱ) f (λ ) =

λ

λ

a1[1 ? ( )n ] λ n λ n ?1 1+ λ = (1 + λ )[1 ? ( ) ] = (1 + λ ) ? λ ( ) λ 1+ λ 1+ λ 1? 1+ λ

λ

所以
………………………………3 分

λ
1+ λ

,∴ bn =

bn ?1 1 1 ,∴ = +1, 1 + bn ?1 bn bn ?1

……………………4 分

1 1 ∴{ } 是首项为 = 2 ,公差为 1 的等差数列, bn b1 1 1 = 2 + (n ? 1) = n + 1 ,即 bn = . bn n +1
1 1 1 (Ⅲ) λ = 1 时, an = ( ) n ?1 , ∴ cn = an ( ? 1) = n( )n ?1 2 2 bn

………………6 分

…………………………7 分

1 1 1 ∴ Tn = 1 + 2( ) + 3( ) 2 + ? + n( ) n ?1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 ∴ Tn = + 2( ) + 3( ) + ? + n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 相减得∴ Tn = 1 + ( ) + ( )2 + ? + ( ) n ?1 ? n( )n = 2[1 ? )] ? n( ) n ( n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ∴ Tn = 4 ? ( ) n ? 2 ? n( ) n ?1 < 4 , ………………10 分 2 2 1 又因为 cn = n( ) n ?1 > 0 ,∴Tn 单调递增, 2

∴Tn ≥ T2 = 2, 故当 n ≥ 2 时, 2 ≤ Tn < 4 .

………12 分

7


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