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高一指数函数(复习学案)


对数函数复习学案
一、基本概念及相关知识点: 1、对数、对数的底数、真数:一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N, 就是 ab =N,那么数 b 叫做 的 .N 叫做 ,记为 logaN=b.a 叫做对数 . 没有对数.

2、常用对数:通常将以 10 为底的对数叫做常用对数. 3、自然对数:以 e 为底的对数叫自然对数,N 的自然对数 logaN 简记作 4、对数的运算性质: 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)= (2) log a ; ; . 。

M = N

(3)logaMn= 5、对数换底公式:

logb N ?

(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0)

6、对数函数:函数 y= logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是 7、对数函数的图象与性质: a>1 图 像 性 (1)定义域: (2)值域: 质 (3)过点 (4)在(0,+∞)上是 (4)在(0,+∞)上是 0<a<1 .

8、对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.它们都属于超 越方程,一般不可用初等方法求解. 9、最简单的对数方程: loga x=b(a>0,a≠1),它的解是

二、范例分析:
例1.将适当的数填入( (1) log381=( (4) 5
? log5 2

)内. )=1.5; (3) log(
)16=-4.

); ).

(2) log25(

=(

例2.计算:

lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 . lg 1.2
? ? ? ? 3 ? log4 36? . ? 4 ?

例3.计算: log2 ? log2 32 ? log 1
2

例4.(1) 已知:8 =9,2b=5,求 log9125. (2) 已知:log1227=a,求 log616 的值.

a

例5.比较大小: (1) log0.81.5 和 log0.82; (3) log89 和 log98; 例6.比较下列各数组中各数的大小: (1) 1.5,log30.6, log2 3 24 ,log45,log54. (2) 1<x<a 时,(logax)2,logax2,loga(logax). (2) log25 和 log75; (4) log35 和 log64.

例7.求函数

y ? log 1 x 2 ? 4 x ? 5 的单调区间.
2

?

?

例8.求函数

y ? log1 ? x 2 ? 4x ? 2 的值域
2

?

?

例9.已知 f ? x ? ? log a (1) 求 f (x)的定义域;

1? x (a>0 且 a≠1) 1? x

(2) 判断 f (x)的奇偶性并予以证明; (3) 求使 f (x)>0 的 x 的取值范围.

例10.画出下列函数的图象. (1) y ? log2 1 ? x (2). y ? log2 ( x ? 1)

例11.解下列方程 (1) lg(8+2
x+1

)=2x(1-lg5); (2) log3 3 x ? 1 ? log3 ? 3 x ?1 ? ? ? 2 ;

?

?

? ?

1? 3?

(3) x

log a x

?

x4 x (a>0 且 a≠1) a2

例12.解关于 x 的方程 lgx+lg(4-x)=lg(2x+a).

三、习题:
(1)已知集合 A = { y | y = logax,x > 0}, B ? {x | y ? ? ? ,y ? 2} ,那么 A ? B 等于( ) . (B) { x | x ≤-1} (D)

?1? ? 2?

x

(A) { x | x ≥-1} (C) { x | x > 0}

?

(2)函数 y = log4(1-2x + x2)的图象是(

) .

(3)若函数 f ( x ) ? 值集合为( ) .

1 5 ? a (a≠0)是奇函数,则满足 f ( x) ? 的 x 的取 3 ?1 6
x

(A) { log32 } (C) {2 log32 }

(B) { 1 } (D)

?

(4)已知函数 f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形,且 x < 0 时,

?1? ?1? f ( x) ? ? ? ,那么 f ? ? 的值等于( ?2? ? 3?
(A) (C)

x

) .

3 3

(B) (D)
? 1 2

? 3
? 3 3
? 1 2

3
?6? ,n ?? ? ?5?
? 1 3

?5? (5)若 m ? ? ? ?4?
(A) m < p < n (C) p < m < n

?6? , p?? ? ?5?

,则(

) .

(B) n < m < p (D) n < p < m ) .

(6)函数 y = log2x 与 y ? log 1 (4 x) 的图象(
2

(A)关于直线 x = 1 对称 (B)关于直线 y = x 对称 (C)关于直线 y=-1 对称 (D)关于直线 y = 1 对称 (7)方程 9 x-2·31 x = 27 的解集为_____________________________.
- -

(8)方程 logx(3x+4)=2 的解集为__________________________. (9)已知函数 f ( x ) = loga (1-ax)(a > 0,a≠1) . 1.求函数 f ( x )的定义域和值域; 2.证明函数 f ( x )的图象关于直线 y = x 对称.

(10)已知函数 f ( x ) = loga (1 + x),当 x∈ ? , ? ?? 时,恒有| f ( x ) | > 2,求 1 实数 a 的取值范围.

(11)已知 loga b ? 2 logb a ? 并说明理由.

9 - - ,且 a > b > 1.试比较 a a 与 b 2b 的大小, 2

测试题:
一、选择题(每小题 7 分) 1.设 0<a<1,α >0,在下列四个不等式中,正确的是( (A) (1-a)
α

)

>(1+a)α

(B) log(1-a)(1+a)>0 (D) (1 ? a)
? 1 a

(C) (1-a)1+ >1

a

?1
)

2.设 a∈(0,1),函数 y=loga(2+2 (x2)的单调递增区间是( (A) 1 ? 3, 1

?

?

(B) ?1 ? ?? ,

(C) 1 1 ? 3 ,

?

?

(D) (??,1]

3.函数 f ?x ? ? lg? (A) x 轴对称 (C) 原点对称

? 2 ? ? 1? 的图象关于( ?1? x ?
(B) y 轴对称

)

(D) 直线 y=x 对称

? 4.函数 y ? ? log 1 ? 4 ?
(A) 4

? x ? ? log2 x ? 5 在区间[2,4]上的最大值是( ? ? 1 23 (C) (D) (B) 7 4 4
x

2

)

5.已知 C1 是函数 f (x)=2 的图象,C2 是 g (x)=log2(x+1)-1 的图象,则( (A) 把 C1 右移 1 个单位、下移 1 个单位,再绕直线 y=x 翻转 180?,得 C2 (B) 把 C1 左移 1 个单位、上移 1 个单位,再绕直线 y=x 翻转 180?,得 C2 (C) 把 C1 右移 1 个单位、上移 1 个单位,再绕直线 y=x 翻转 180?,得 C2 (D) 把 C1 左移 1 个单位、下移 1 个单位,再绕直线 y=x 翻转 180?,得 C2 二、填空题(每小题 7 分) 6.函数 y ? log2 ?

)

?x ? ? 1? 的反函数是________. ?2 ?

7.已知函数 f (x)=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则实数 a 的取值范围 是____________.

8.方程 log2(9-2 )=3-x 的解集是__________. 三、解答题(共 44 分) 9.已知函数 f ( x) ? ?

x

1? ? 1 ? ?x3 x ? 2 ?1 2 ?

(1) 求函数 f (x)的定义域;(2) 讨论 f (x)的奇偶性;(3) 求证:f (x)>0.

10.已知函数 f (x)=loga(a -1) (a>0 且 a≠1). (1) 求 f (x)的定义域;(2) 讨论 f (x)的单调性;(3) 解方程 f (2x)=f 1(x).


x

11.已知:x=log2aa,y=log3a2a. 求证: 2
1? xy

? 3 y ? xy .


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