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第一讲-函数的基本性质


第一讲 函数的基本性质(教案) 考点一 集合 集合的特征:确定性、互异性及无序性 1、已知集合 M={ x, xy, x?y }与集合 N={ 0, x ,y}表示同一集合,求 x,y 的值。

2、设 A 是数集,满足:若 a∈A, 则 1 1?a ∈A,且 a≠1. ⑴若 2∈A,求 A; ⑵证明:若 a∈A,则 1? 1 a ∈A.

>3、用适当的方法表示下列集合: ⑴所有被 3 除余 1 的数; ⑵ y=sinx 上的所有零点、对称轴、极值点.

练习 1: i 集合 A={ x|x=a+b 2 , a,b∈Z},设 x 1 ∈A, x 2 ∈A, 求证: x 1 ?

x 2 ∈A. (提示:欲使 x 1 ? x 2 ∈A,只要将其表示为一个“整数+ 2 ”的整数倍形式即可! )

ii 已知集合 A= x∈R a x 2 ?3x+2=0, a∈R},若 A 中元素至多有一个根,求 a 的取值范围。 (误区警告:千万不要忽略 a=0 的情况! )

集合的基本关系 4、已知集合 A= x x 2 ?5x+4≤0 , B={x| x 2 ?(2+a)x+2a≤0},且 B?A,求实数 a 的取值范围。

5、已知非空集合 M、N,规定 M-N={x|x∈M,但 x?N},那么 M-(M-N)=( A M∪N B M∩N CM D N

)

考点二 函数及其表达

定义域&值域 1、若函数 y = k x 2 -6x+k+8 的定义域是一切实数,则k的取值范围是______________. 2、已知函数 f(x)= ax+b x 2 +1 的值域是[-1,4] ,求实数a,b的值

3、⑴ 设函数 f(x)定义域为[0,1], 则函数 f( x ?2)定义域为______________. ⑵ 已知函数 y=f(x2)定义域[-1,1], 则 y=f(x)的定义域为________________. ⑶ 已知函数 y=f(x)定义域[0,1], 则 y= f(x2)的定义域为________________. 4、对任意实数 x1、x2,min{ x1,x2}表示 x1、x2 中较小的那个数。 若 f(x)=2-x2,g(x)=x,则 min{ f(x) ,g(x)}的最大值__________。 练习 2 i 对定义域分别为 Df,Dg 的函数 y=f(x), y=g(x)。 规定函数 h(x)= f x ?g x 当 x∈ D f ,x∈ D g f x

当 x∈ D f ,x? D g g x 当 x? D f ,x∈ D g

, 若函数 f(x)= 1 x?1 , g x = x 2 , 写出函数 h(x)的解析式; 求问题中函数 h(x)的值域; 若 g(x)=f(x+α ),其中α 是常数,且α ∈[0,π ]. 请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x)及一个α 的值,使得 h(x)=cos2x,并予以证明。 (注:理解分段函数的定义,能根据给出的函数写出具体的分段函数 h(x);将 cos2x 化为 f x ?g x 的形式)

ii 用 min{a, b, c}表示 a,b,c 三个数中最小值。 设 f(x)=min{ 2 x

,x+2,10?x} (x≥0), 则 f(x)的最大值为__________.

考点三 函数的性质 单调性 ??= ?? ?? ?? <?? ?? ?? ,当 ?? ?? < ?? ??

?? ?? ?? ???( ?? ?? ) ?? ?? ?

?? ?? >?? 几个值得注意的观点: f(x)在定义在[a,b]上,c∈[a,b],如果 f(x)在[a,c]上是增函数,在(c,b]上也是增函数,那么 f(x) 在[a,b]上就是增函数。 f(x)为奇函数,如果 f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么它在(?∞,0)上也是增函数;但是它在 整个定义域上不一定是增函数。 复合函数的单调性可以逐层判别。 已知函数 y=f(u)和 u=g(x),u=g(x)在区间(a,b)上具有单调性,当 x∈(a,b)时 u ∈(m, n)且 y=f(u) 在(m,n) 上也具有单调性,则复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上具有单 调性, y=f(u) 增 ↑ 减↓ u=g(x) 增↑ 减↓ 增 ↑ 减 ↓ y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓ 减 ↓ 增 ↑ 判断函数 y= x 2 +1 ?ax (a∈ 1,+∞ ,x∈[0,+∞)) 的单调性。

类比:同样的计算模式, f(x)= ax

x 2 ?1 a≠0 在(?1,1)上的单调性。 2、 已知函数 f(x)在 R 上是增函数,g(x)在[a,b]上是减函数, 求证:f[g(x)]在[a,b]上是减函数.

3、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1, 若 a、b∈[?1,1], a+b≠0, 有 f a +f(b) a+b >0 ⑴ 判断 f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论; ⑵ 解不等式 f(x+ 1 2 )<f( 1 x?1 ); ⑶ 若 f(x)≤ m 2 +2am+1, 对所有 x∈ ?1,1 , a∈ ?1,1 恒成立,求实数 m 的取值范围。

讨论&练习 i 讨论如下函数的单调性. ⑴ f(x)=lg?(x+ x

2 +1 ) a x (a>0) ii 已知函数 f x = ⑵ f(x)=x+

3a?1 x+4a (x<1) lo g a x 是 R 上的减函数。 试求 a 的取值范围。 (x≥1)

iii 如果函数 f(x)=x2+bx+c对任意的实数t都有 f (2+t)= f(2- t) ,那么( ) . A. f(2)< f(1)< f(4) B. f(1)< f(2)< f(4) C. f(2)< f(4)< f(1) D. f(4)< f(2)< f(1) 提问:关于 x=a 的轴对称图形,以及关于(a,b)的中心对称图形有什么性质,可以用公式表达 出来。

函数奇偶性 偶函数:f(x)=f(-x) A (x , f(x)) 也可以表达为 y=f(|x|) 奇函数:f(x)+f(-x)=0 A (x , f(x)) 也可以表达为 y= ?f ?x x<0

B (-x , f(-x)) B (-x , f(-x))

f x x≥0

注:这里的点 B 横坐标-x,纵坐标就对应为 f(-x) 4、⑴函数 f(x) 的图像如右所示,则 f(|x|)的图像是________

⑵已知 f(x)= ( 1 2 ) x (x≥0) ? x 2 (x<0) 给出代号为 a,b,c 的三个图像,再给出序号为的三个函数:y=f(|x|); y=|f(x)|; y=f(x+1) 那 么图像与函数能建立对应关系的是________

5、⑴ 设函数 f(x)( x∈R)是奇函数, f(x+2)=f(x)+f(2) , 且 f(1)= 1 2 , 则 f(5)=_________. ⑵ 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x)= 3 ?x ?1, 求 f(lo g 1

3

1 32 )的值。 ⑶ 若 f(x)满足关系式 f(x) + 2f( 1 x )=3x, 则 f(x)的表达式为_____________. 讨论与练习 i 判断下面函数的奇偶性,并简单总结下这一类函数的特征: ⑴ f(x)=lo g 2

x 2 +1 ?x ⑵ f(x)= 1 2 x ?1 + 1 2 x. ⑶ y= e x + e ?x

e x ? e ?x

第一讲函数性质练习 已知,则的值是: A.0 B. C.

D.4

若函数,那么函数的定义域是: A. B. C.,且 D.,或 已知的定义域为,则定义域是: A. B. C. D. 函数定义域为,对任意都有, 又,则: A. B.1 C. D. 函数在上的值域为,则的值为: A.0 B.1 C.0 或 1 D.2 6.(2010 福建理科第 15 题) 已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足: (1)对任意 x(0, +∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2) 当 x∈(1,2]时,f(x)=2-x。给出结论如下:

任意 m∈ Z,有 f(2m)=0; ②函数 f(x)的值域为[0, +∞) ;③存在 nZ,使得 f(2n+1)=9;④ “函数 f(x) 在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 kZ,使得(a,b) ?(2k,2k+1)”. 其中所有正确结论的序号是_______________. 7. 已知 g(x)为奇函数,f(x)=lo g 2

x 2 +1 ?x +g x + 2 x ,且 f(-3)=5 1 8 ,求 f(3);

8.已知函数. (1)画出该函数的图象; (2)写出函数的单调区间.

9. 求函数 y=

的单调区间

10.利用定义判断函数 f(x)=x+在区间(-∞,+∞)上的单调性。

11.若函数在上为增函数,求实数 a 的取值范围.

12.已知 f(x)=lo

g a ax? x (a>0 且 a≠1) ⑴ 求 f(x)的定义域; ⑵ 若 a=2,试根据单调性的定义确定函数 f(x)的单调性; ⑶ 若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。

13. 已知函数 y=f(x)在 R 上是减函数,求 y=f(|1 - x|)的单调递增区间。

14. 若函数 f(x)=asin(x+ π 4 )+bsin(xπ 4 ) (ab≠0)是偶函数,则有序实数对(a,b)可以是________(写出你认为正确的一组即可) 15.已知函数 f(x)= 1 2 x ?1 + 1 2 x. ⑴ 定义域; ⑵ 判断 f(x)的奇偶性。 ⑶ 求证 f(x)>0.

16. 已知 f(x)=lo g a

ax? x (a>0 且 a≠1) ⑴ 求 f(x)的定义域; ⑵ 若 a=2,试根据单调性的定义确定函数 f(x)的单调性; ⑶ 若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。

17.设 a∈R, 若 f x =a? 2 2 x +1 . ⑴ 证明:对于 a 取任意实数,f(x)为增函数; ⑵ 解方程:f(x)=3; ⑶ 若 f(x)为奇函数,求 a 的值。

18. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体: 存在非零常数 T,对于任意 x∈R,有 f(x+T)=Tf(x)成立。 ⑴ 函数 f(x)=x 是否属于 M?说明理由。 ⑵ 设函数 f x = a x (a>0 且 a≠1)的图像与 y=x 的图像有公共点。证明:f x = a x ∈M. ⑶ 若函数 f(x)=sinkx∈M, 求 k 的取值范围。

19. 设 f(x)定义域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)上是增函数,f( x

y )=f(x)-f(y). 1 求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y); 2 若 f(2)=1,解不等式 f(x)-f( 1 x?3 )≤2.


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