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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二


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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十二
命题人:南昌二中 高三(01)班 张阳阳
一、选择题(36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结论正确 的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a AE CF 2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 = =λ EB FD (0<λ<+∞),记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所 A 成的角,则 (A) f(λ)在(0,+∞)单调增加 E (B) f(λ)在(0,+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 B (D) f(λ)在(0,+∞)为常数 F 3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 C 2 97 ,则这样的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4.在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范 围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 1 5 1 5 5.设 f(x)=x2-πx,? ? arcsin ,β=arctan ,γ=arcos(- ),?=arccot(- ),则 3 4 3 4 (A)f(α)>f(β)>f(?)>f(γ) (B) f(α)> f(?)>f(β)>f(γ) (C) f(?)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(?)>f(α)>f(γ)>f(β) 6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 二.填空题(每小题 9 分,共 54 分)
?(x-1)3+1997(x-1)=-1, 1.设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1.

D

.

y2 2.过双曲线 x2- =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数 λ 使得|AB| ?λ 的直线 l 2 恰有 3 条,则 λ= . . 1 3.已知复数 z 满足?2z+ ?=1,则 z 的幅角主值范围是 ? z?

4.已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设 S、 A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 5. 设 ABCDEF 为正六边形, 一只青蛙开始在顶点 A 处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之一. 若 在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止跳动,那么这只
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青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. ?1 ?1 6.设 a ?logz+log[x(yz) +1],b ?logx +log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)?1+1],记 a,b,c 中最大数 为 M,则 M 的最小值为 . 三、 (20 分) π π 设 x≥y≥z≥ ,且 x+y+z ? ,求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值. 12 2

四、(20 分) 设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标.
y

C1 O P(?1,?1)

x

五、(20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

C2

? a =a =a =a , ? 1 1 1 1 1 ?a +a +a +a +a =4(a +a +a +a +a )=S.
1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

a2 a3 a4 a5

其中 S 为实数且|S|≤2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

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参考答案
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结论正确 的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a 解: x1=a, x2=b, x3=b-a, x4=-a, x5=-b, x6=a-b, x7=a, x8=b, ?. 易知此数列循环, xn+6=xn, 于是 x100=x4=-a, 又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0,故 S100=2b-a.选 A. AE CF 2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 = =λ EB FD (0<λ<+∞),记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所 成的角,则 (A) f(λ)在(0,+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0,+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 (D) f(λ)在(0,+∞)为常数 AE CG CF 解: 作 EG∥AC 交 BC 于 G, 连 GF, 则 = = , 故 GF∥BD. 故∠GEF=αλ, EB GB FD
A

E B F C D

∠GFE=βλ,但 AC⊥BD,故∠EGF=90° .故 f(λ)为常数.选 D. 3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的数列共 有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1 解:设首项为 a,公差为 d,项数为 n,则 na+ n(n-1)d=972,n[2a+(n-1)d]=2×972,即 n 为 2 2 ×972 的大于 3 的约数. ∴ ⑴ n=972,2a+(972-1)d=2,d=0,a=1;d≥1 时 a<0.有一解; ⑵n=97,2a+96d=194,d=0,a=97;d=1,a=a=49;d=2,a=1.有三解; ⑶n=2×97,n=2×972,无解.n=1,2 时 n<3..选 C 4.在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范 围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 解:看成是轨迹上点到(0,-1)的距离与到直线 x-2y+3=0 的距离的比: x2+(y+1)2 = |x-2y+3| 12+(-2)2 1 5 1 5 5.设 f(x)=x2-πx,? ? arcsin ,β=arctan ,γ=arcos(- ),?=arccot(- ),则 3 4 3 4 (A)f(α)>f(β)>f(?)>f(γ) (B) f(α)> f(?)>f(β)>f(γ)
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5 <1?m>5,选 D. m

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(C) f(i)>f(α)>f(β)>f(γ) π 解:f(x)的对称轴为 x= , 2

(D) f(?)>f(α)>f(γ)>f(β)

π π π π 2π 3π 5π 易得, 0<α< < <β< < <γ< < <δ< .选 B. 6 4 3 2 3 4 6 6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的 直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 解:在 a、b、c 上取三条线段 AB、CC?、A?D?,作一个平行六面体 ABCD —A?B?C?D?, 在 c 上取线段 A?D?上一点 P, 过 a、 P 作 一个平面, 与 DD?交于 Q、 与 CC?交于 R,则 QR∥a,于是 PR 不与 a 平行,但 PR 与 a 共面.故 PR 与 a 相交.由于可以取无穷多个点 P.故选 D. 二.填空题(每小题 9 分,共 54 分)
?(x-1)3+1997(x-1)=-1, 1.设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1. ?(x-1)3+1997(x-1)+1=0, 解:原方程组即? 3 ?(1-y) +1997(1-y)+1=0.

P
Q D
a

c

D’ R C

C’ b

A‘ A B

B‘ S

.

取 f(t)=t3+1997t+1,f ?(t)=3t2+1987>0.故 f(t)单调增,现 x-1=1-y,x+y=2. y2 2.过双曲线 x - =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数 λ 使得|AB| ?λ 的直线 l 2
2

恰有 3 条,则 λ=



2b2 解:右支内最短的焦点弦= =4.又 2a=2,故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2,这样的弦 a 由对称性有两条.故 λ=4 时 2ab2 4 设 AB 的倾斜角为 θ,则右支内的焦点弦 λ= 2 2 2 = ≥4,当 θ=90° 时,λ=4. a -c cos θ 1-3cos2θ 与左支相交时,θ=±arccos 2 2ab2 4 ?=4.故 λ=4. 时,λ=? 2 2 2 ?=? 3 ?a -c cos θ? ?1-3cos2θ? .

1 3.已知复数 z 满足?2z+ ?=1,则 z 的幅角主值范围是 ? z?

1 解:?2z+ ?=1?4r4+(4cos2θ-1)r2+1=0,这个等式成立等价于关于 x 的二次方程 4x2+(4cos2θ- ? z? 4cos2θ-1 1 1)x+1=0 有正根.△=(4cos2θ-1)2-16≥0,由 x1x2= >0,故必须 x1+x2=- >0. 4 4 3 3 3 ∴cos2θ≤- .∴ (2k+1)π-arccos ≤2θ≤(2k+1)π+arccos . 4 4 4 π 1 3 π 1 3 ∴ kπ+ - arccos ≤θ≤kπ+ + arccos ,(k=0,1) 2 2 4 2 2 4 4.已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2, AB=2,设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距
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A H 2 O S 2 M C B

2 1

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离为 . 解:SA=SB=SC=2,?S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H,∴ SH⊥平面 ABC. ∴ SH 上任意一点到 A、B、C 的距离相等. ∵ SH= 3,CH=1,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O,则 O 为 SABC 的外接 2 3 3 球球心.SM=1,∴SO= ,∴ OH= ,即为 O 与平面 ABC 的距离. 3 3 5. 设 ABCDEF 为正六边形, 一只青蛙开始在顶点 A 处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之一. 若 在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止跳动,那么这只 青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 解:青蛙跳 5 次,只可能跳到 B、D、F 三点(染色可证). 青蛙顺时针跳 1 次算+1,逆时针跳 1 次算-1,写 5 个“□1” ,在□中填“+”号或“-”号: □1□1□1□1□1 规则可解释为:前三个□中如果同号,则停止填写;若不同号,则后 2 个□中继续填写符号. 前三□同号的方法有 2 种;前三个□不同号的方法有 23-2=6 种,后两个□中填号的方法有 22 种. ∴ 共有 2+6×4=26 种方法. 6.设 a ?logz+log[x(yz)?1+1],b ?logx?1+log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)?1+1],记 a,b,c 中最大数 为 M,则 M 的最小值为 . x 1 1 解:a=log( +z),b=log(yz+ ),c=log( +y). y x yz 1 1 ∴ a+c=log( + +yz+x)≥2log2.于是 a、c 中必有一个≥log2.即 M≥log2,于是 M 的最小值≥ yz x log2. 但取 x=y=z=1,得 a=b=c=log2.即此时 M=log2.于是 M 的最小值≤log2. ∴ 所求值=log2. 三、 (本题满分 20 分) 设 x≥y≥z≥ ,且 x+y+z= ,求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值. 12 2 解:由于 x≥y≥z≥ ,故 ≤x≤ - ×2= . 12 6 2 12 3 1 1 1 1 ? 1 ∴ cosx siny cosz=cosx× [sin(y+z)+sin(y-z)]= cos2x+ cosxsin(y-z)≥ cos2 = .即最小值. 2 2 2 2 3 8 (由于

?

?

?

?

?

?

?

?
6

≤x≤

?
3

1 ? ? ,y≥z,故 cosxsin(y-z)≥0),当 y=z= ,x= 时,cosx siny cosz= . 12 3 8

1 1 1 ∵ cosx siny cosz=cosz× [sin(x+y)-sin(x-y)]= cos2z- coszsin(x-y). 2 2 2 1 1 ? 1 ? 2+ 3 由于 sin(x-y)≥0,cosz>0,故 cosx siny cosz≤ cos2z= cos2 = (1+cos )= . 2 2 12 2 6 8 5? ? 当 x= y= ,z= 时取得最大值. 12 12 2+ 3 1 ∴ 最大值 ,最小值 . 8 8
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四、(本题满分 20 分) 设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标. 1 1 1 解: 设某个正三角形的三个顶点都在同一支上. 此三点的坐标为 P(x1, ), Q(x2, ), R(x3, ). 不 x1 x2 x3 1 1 1 妨设 0<x1<x2<x3,则 > > >0. x1 x2 x3 kPQ= y2-y1 1 1 =- ;k =- ; x1x2 QR x2x3 x2-x1
O y
Q R

1 1 - + x1x2 x2x3 tan∠PQR= <0,从而∠PQR 为钝角.即△PQR 不可能是正 1 1+ 2 x1x3x2 三角形.

x

P

1 ⑵ P(-1,-1),设 Q(x2, ),点 P 在直线 y=x 上.以 P 为圆心,|PQ|为半径作圆,此圆与双 x2 曲线第一象限内的另一交点 R 满足|PQ|=|PR|, 由圆与双曲线都是 y=x 对称, 知 Q 与 R 关于 y=x 对称. 且 1 在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数).于是 R( ,x2). x2 3 3 ∴ PQ 与 y=x 的夹角=30° ,PQ 所在直线的倾斜角=75° .tan75° = =2+ 3. 3 1- 3 1+ PQ 所在直线方程为 y+1=(2+ 3)(x+1), 代入 xy=1, 解得 Q(2- 3, 2+ 3), 于是 R(2+ 3, 2- 3). 五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

? a =a =a =a , ? 1 1 1 1 1 ?a +a +a +a +a =4(a +a +a +a +a )=S.
1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

a2 a3 a4 a5

其中 S 为实数且|S|≤2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上. a2 a3 a4 a5 4 证明:设 = = = =q,则由下式得 a1(1+q+q2+q3+q4)= 4(1+q+q2+q3+q4). a1 a2 a3 a4 a1q ∴ (a12q4-4) (1+q+q2+q3+q4)=0,故 a1q2=± 2,或 1+q+q2+q3+q4=0. 1 1 1 1 1 1 5 ⑴ 若 a1q2=± 2,则得± 2( 2+ +1+q+q2)=S.?S=± 2[(q+ )2+(q+ )-1]=± 2[(q+ + )2- ]. q q q q q 2 4 1 1 5 1 1 5 ∴ 由已知,有(q+ + )2- ∈R,且|(q+ + )2- |≤1. q 2 4 q 2 4
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1 1 5 令 q+ + =h(cosθ+isinθ),(h>0).则 h2(cos2θ+isin2θ)- ∈R.?sin2θ=0. q 2 4 5 1 9 -1≤h2(cos2θ+isin2θ)- ≤1.? ≤h2(cos2θ+isin2θ)≤ ,?cos2θ>0.?θ=kπ(k∈Z) 4 4 4 1 1 1 1 ∴ q+ ∈R.再令 q=r(cosα+isinα),(r>0).则 q+ =(r+ )cosα+i(r- )sinα∈R.?sinα=0 或 r=1. q q r r 1 1 1 1 5 1 1 3 若 sinα=0,则 q=± r 为实数.此时 q+ ≥2 或 q+ ≤-2.此时 q+ + ≥ ,或 q+ + ≤- . q q q 2 2 q 2 2 1 1 5 此时,由|(q+ + )2- |≤1,知 q=-1.此时,|ai|=2. q 2 4 若 r=1,仍有|ai|=2,故此五点在同一圆周上. ⑵ 若 1+q+q2+q3+q4=0. 则 q5-1=0, ∴ |q|=1. 此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|, 即此五点在同一圆上. 综上可知,表示复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

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