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含参不等式恒成立问题的求解策略


含参不等式恒成立问题的求解策略
一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有
1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

?a ? 0 ; ?? ? 0 ?a ? 0 . ?? ? 0
2

2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?
2

例 1.已知函数 y ? lg[ x ? (a ? 1) x ? a ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 解 : 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 对 x ? R 恒 成 立 , 即 有
2 2

1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 。 3 1 所以实数 a 的取值范围为 (??,?1) ? ( ,??) 。 3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例 2.设 f ( x) ? x ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范
2

围。 解:设 F ( x) ? x ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立
2

当 ? ? 4(m ? 1)( m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1 时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:

y x

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?
综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。

-1 O

x

二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f (x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f (x) max

例 3.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求 x

实数 a 的取值范围。 解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, 即对 x ? [1,??) , f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x
2

考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而得 而抛物线 g ( x) ? x ? 2 x ? a 在 x ? [1,??) 的最小值 g min ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得 a ? ?3
2

注:本题还可将 f (x) 变形为 f ( x) ? x ?

a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f (x) 最小值。 x

三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求 主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作 性更强。一般地有: 1) f ( x) ? g (a)( a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 2) f ( x) ? g (a)( a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 实际上,上题就可利用此法解决。 略解: x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立,只要 a ? ? x ? 2 x 在 x ? [1,??) 时恒
2 2

成立。而易求得二次函数 h( x) ? ? x ? 2 x 在 [1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以 a ? ?3 。
2

例 4. 已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围。
2

解: 将问题转化为 a ?

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

令 g ( x) ?

4x ? x 2 ,则 a ? g (x) min x
4x ? x 2 ? x 4 ? 1 可知 g (x) 在 (0,4] 上为减函数,故 g ( x) min ? g (4) ? 0 x

由 g ( x) ?

∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。 注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”

思考,往往会使问题降次、简化。 例 5.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。
2

分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转化为 一次不等式 ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。
2

解: f (a) ? ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 , 令 则原问题转化为 f (a) ? 0 恒成立 a ? [?1,1] ) ( 。
2

当 x ? 2 时,可得 f (a) ? 0 ,不合题意。 当 x ? 2 时,应有 ?

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f ( ?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 注:一般地,一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 在 [? , ? ] 上恒有 f ( x) ? 0 的充要条件 为?

? f (? ) ? 0 。 ? f (? ) ? 0

四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明了数形结合思 想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着 密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f (x) 图象恒在函数 g (x) 图象上方; 2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f (x) 图象恒在函数 g (x) 图象下上方。

例 6.设 f ( x) ?

? x 2 ? 4 x , g ( x) ?

4 x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 3
y

a 的取值范围.
分析:在同一直角坐标系中作出 f (x) 及 g (x) 的图象 如图所示, f (x) 的图象是半圆 ( x ? 2) ? y ? 4( y ? 0)
2 2

-2

g (x) 的图象是平行的直线系 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 。
要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则圆心 (?2,0) 到直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 的距离

-4 -4

O

x

满足

d?

? 8 ? 3 ? 3a 5

?2

解得 a ? ?5或a ?

5 (舍去) 3

由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想 还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变” ,当然这需要我们不断的去领悟、体会 和总结。


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