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第一轮总复习课件(理数):第44讲 简单的线性规划问题新课标高中数学


新课标高中一轮总复习

理数

? 第六单元 ? 不等式及不等式选 讲

第44讲
简单的线性规划问题

1.理解线性约束条件、线性目标函

数、线性规划的概念; 2.掌握在线性约束条件下求线性目 标函数的最优解; 3.了解线性规划问题的图解法; 4.掌握应用简单的

线性规划解决生 产实际中资源配置和降低资源消耗等 问题,培养建立数学模型的能力.

1.不等式组

x-3y+6≥0 x-y+2<0表示的平面区域是( B )

2. 若双曲线 x2-y2=4 的两条渐近线与直线 x=3围成一个三角形区域,则表示该区 域的不等式组是( A )

x-y≥0 A. x+y≥0 0≤x≤3 x-y≤0 C. x+y≤0 0≤x≤3

x-y≥0 B. x+y≤0 0≤x≤3 x-y≤0 D. x+y≥0 0≤x≤3

因为x2-y2=4的两条渐近线为y=±x,如 图为所围成的区域,故选A.

x-y≥-1
3.设变量x、y满足约束条件 x+y≤4

函数z=2x+4y的最大值为(
A.10 C.13 B.12 D.14

y≥2,则目标 C )

作出可行域,如图中阴影部分, 再作出目标函数的等值线,如图中虚线. 3 5 由图可知,等值线经过点A( 2 , 2 )时,目 标函数取得最大值13.

x≥1 4.已知实数x、y满足 x-y+1≤0 x2+y2的最小值是 5 2x-y-2≤0,则 .

作出可行域,由

x-y+1=0
x=1,

得最优解为A(1,2), 所以x2+y2的最小值为5.

5.不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的 8. 面积是

|x-1|+|y-1|≤2可化为
x-1≥0 x-1≥0 x-1≤0

y-1≥0
x+y-4≤0

或 y-1≤0
x-y-2≤0

或y-1≥0
x-y+2≥0

x-1≤0 或 y-1≤0 x+y≥0.

其平面区域如图:

所以面积S=2× ×4×2=8.

1 2

1. 二元一次不等式(组)表示的平面

区域
(1) 一 般 的 , 二 元 一 次 不 等 式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直 线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成的平

面区域(半平面)不含边界线;不等式 Ax+By+C≥0所表示的平面区域 (半平面)包 括边界线.

(2) 判 定 不 等 式 Ax+By+C>0( 或 Ax+By+C<0) 所表示的平面区域时,只要在 直线 Ax+By+C=0 的一侧任意取一点 (x0,y0), 将

它的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足 该点所在一侧 不等式,不等式就表示① 的平 面区域;如果不满足不等式,就表示这个点 另一侧 所在区域的② 平面区域. (3)由几个不等式组成的不等式组表示的 平面区域是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分.

2.线性规划

求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做③ , 可行域 由所有可行解组成的集合叫④ ;使目 标函 数取最大值或最小值的可行解叫做 最优解 ⑤ ,生产实际中有许多问题都可以归 结为线性规划问题.

线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数z=f(x,y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的 公共区域); (5) 利用线性目标函数作平行直线 f(x,y)=t(t 为参数); (6)观察图形,找到直线f(x,y)=t在可行域上 使 t 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给

典例精讲
题型一 平面区域的确定 例1 在坐标平面上,不等式组y≥x-1
y≤-3|x|+1所表示的平面区域的面积为( B ) A. 2
3 2 C. 2

3 B. 2

D.2

在平面直角坐标系,作出不等式组所 表示的平面区域,如图中的阴影部分,可 1 1 求得A( 2 ,- 2 ),B(-1,-2),C(0,1),D(0,-1).

所以 1 S△ABC=S 1 △CDB+S△CDA 3 = 2 |CD|· |xB|+ 2|CD|· |xA|= 2 . 故选B. 点评作出平面区域,并分析其构成,是 准确求出阴影部分面积的关键.

题型二 简单线性规划问题
x+y-3≤0,则x+3y的最大值为

例2 非负实数x,y满足不等式2x+y-4≤0
9.

在平面直角坐标系中 作出不等式组表示的平面区 1 z 域,如图. 点评求线性目标函数在线性约束条件下的 令z=x+3y, 则y=- 3 x+ 3 ,当 最值是一类最基本题型,也是高考命题的重 直线过点 A(0,3)时,z的值最 点.z 这类问题可以借助图形直观地得到答案 . 大, =0+3 × 3=9, 故 x+3y max

变式

x-y-2≤0
y x的最大值是.

设实数x、y满足 x+2y-4≥0 2y-3≤0,则

不等式组确定的平面区域如图阴 影部分.

设 斜率的最大值.

y y =t,则y=tx,求 x 的最大值,即求y=tx的 x

显然y=tx过A点时,t最大. 由
x+2y-4=0 ,解得A(1, 3 ). 2 2y-3=0 y
x

代入y=tx,得t= .所以 的最大值为 .

3 2

点评本题是将非线性规划问题,转化 为线性规划问题求解,体现了数形结 合和化归思想的运用 .这种题型在今后 高考中可能会成为主要命题方向,望 引起同学们的关注.

题型三 简单线性规划的应用
得的利润,而且要考虑可能出现的亏损,某 投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测, 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50% ,可能的最大亏损分别为 30% 和 10% , 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确 保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资 人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能 使可能的盈利最大?

例3 制定投资计划时,不仅要考虑可能获

设投资人分别用x万元、y万元投资甲、 乙两个项目,则
x+y≤10
0.3x+0.1y≤1.8

x≥0,y≥0,

目标函数z=x+0.5y. 作可行域 , 当直线 l:x+0.5y=z 过点 M 时 ,z 取 最大值.



得 x=4 3x+y=18, y=6, 所以点M(4,6). 故当x=4,y=6时,zmax=7. 答:投资甲项目 4 万元,投资乙项目 6 万 元时,可能的盈利最大.

x+y=10

点评这是在高考中第一次以解答题的 形式考查简单的线性规划问题 . 本题是

一道应用题,以投资决策为背景,以 线性规划为素材,考查学生对数学的 应用意识和能力,不落俗套,令人耳 目一新.

备选题 设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角 形的边长},则A所表示的平面区域(不 含边界的阴影部分)是( A )

利用三角形的三边关系
x+y>1-x-y

x-y<1-x-y
y-x<1-x-y, 1
2



x+y> 1

x<

y< ,故A所表示的平面区域为A选项.

2 1 2

方法提炼
简单的线性规划问题是高中数学的主干 知识,也是近年高考命题的热点,是数形结 合思想的载体之一 . 作图求解:作出不等式 组所表示的可行域,确定目标函数的最优位 置,从而获得最优解 . 图解法的实质是数形 结合思想的两次运用:第一次是由上步所得 线性约束条件,作出可行域;第二次是将目 标函数转化为平行直线系进行探究 . 此过程 可 简 述 为 “ 可 行 域 —— 直 线 系 —— 最 优

走进高考
上海卷)已知实数x、y满足 学例1 (2009·
y≤2x y≥-2x -9 x≤3,则目标函数z=x-2y的最小值是 .

作出(x,y)满足的值域 如图,由目标函数的特点知, 在点(3,6)处z取得最小值-9.

北京卷)若实数x,y满足 学例2(2009·
x+y-2≥0 x≤4 y≤5,则s=x+y的最大值为

9

.

可行域为图中阴影 部分,由图可知s=x+y在点 (4,5)处取得最大值, 最大值为s=4+5=9.

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来


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