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【优教通,备课参考】2014年高中数学同步教案:第2章 圆锥曲线 椭圆第二课时(北师大版选修1-1)


椭圆的简单性质
教学目标: (1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质; (2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法:讲授法 课型:新授课 教学工具:多媒体设备 一、复习: 1.椭圆的定义,椭圆的焦点坐标,焦距. 2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课: (一)通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能 力. [在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的,我们现在利用焦点在 x 轴 上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为: 1.对称性 复习关于 x 轴,y 轴,原点对称的点的坐标之间的关系: 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y); 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x, y); 点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y); 问题 2 在椭圆的标准方程中①以-y 代 y②以-x 代 x③同时以-x 代 x、以-y 代 y,你有什 么发现? (1) 在曲线的方程里, 如果以-y 代 y 方程不变, 那么当点 P(x,y)在曲线上时, 它关于 x 的轴对称点 P’(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称。 (2) 如果以-x 代 x 方程方程不变,那么说明曲线的对称性怎样呢?[曲线关
-1-

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

于 y 轴对称。] (3) 如果同时以-x 代 x、以-y 代 y,方程不变,这时曲线又关于什么对称呢?[曲线关于 原点对称。] 归纳提问:从上面三种情况看出,椭圆具有怎样的对称性? 椭圆关于 x 轴,y 轴和原点都是对称的。 这时,椭圆的对称轴是什么?[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么?[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 2.范围 [我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围,就是研究椭圆在哪个区域里,只要讨论方程中 x, y 的范围就知道了.] 问题 1 方程中 x、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式

x2 ≤1, a2
即 所以 即 x ≤a , |x|≤a, -a≤x≤a,
2 2

y2 ≤1 b2
y ≤b
2 2

|y|≤b -b≤y≤b

这说明椭圆位于直线 x=±a, y=±b 所围成的矩形里。 3.顶点 [研究曲线的上的某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标 系中的位置,常常需要求出曲线与 x 轴,y 轴的交点坐标.] 问题 3 怎样求曲线与 x 轴、y 轴的交点? 在椭圆的标准方程里, 令 x=0,得 y=±b。这说明了 B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与 y 轴的两个交点。 令 y=0,得 x=±a。这说明了 A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。 因为 x 轴,y 轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做 椭圆的顶点。 线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
-2-

观察图形,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半 轴长,即 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a

在 Rt△OB2F2 中,由勾股定理有 |OF2| =|B2F2| -|OB2| ,即 c =a -b
2 2 2 2 2 2 2 2 2

这就是在前面一节里,我们令 a -c =b 的几何意义。 4.离心率 定义:椭圆的焦距与长轴长的比 e= 因为 a>c>0,所以 0<e<1. 问题 4 观察图形,说明当离心率 e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的? [调用几何画板, 演示离心率变化(分越接近 1 和越接近 0 两种情况讨论)对椭圆形状的影响] 得出结论:(1)e 越接近 1 时,则 c 越接近 a,从而 b 越小,因此椭圆越扁; (2)e 越接近 0 时,则 c 越接近 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a=b 时,c=0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆。 当 e=1 时,图形变成了一条线段。[为什么?留给学生课后思考] 5.例题 例 1 求椭圆 16x +25y =400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出 它的图形. [根据刚刚学过的椭圆的几何性质知, 椭圆长轴长 2a, 短轴长 2b, 该方程中的 a=?b=? c=?因为题目给出的椭圆方程不是标准方程,所以必须先把它转化为标准方程,再讨论它的 几何性质] 解:把已知方程化为标准方程
2 2

c ,叫做椭圆的离心率。 a

x2 y2 ? ? 1 , 这里 a=5,b=4,所以 c= 25 ? 16 =3 52 42

因此,椭圆的长轴和短轴长分别是 2a=10,2b=8 离心率 e=

c 3 = a 5

两个焦点分别是 F1(-3,0),F2(3,0), 四个顶点分别是 A1(-5,0) A1(5,0) A1(0,-4) F1(0,4). [提问:怎样用描点法画出椭圆的图形呢?我们可以根据椭圆的对称性,先画出第一象限 内的图形。] 将已知方程变形为

y??

4 25 ? x 2 ,根据 5
-3-

y?

4 25 ? x 2 5

在 0≤x≤5 的范围内算出几个点的坐标(x,y) x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0

先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图) 说明:本题在画图时,利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质,可以简化画图过程, 保证图形的准确性。 根据椭圆的几何性质,用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图: (1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形; (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点; (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。 [画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性] (四)练习 填空:已知椭圆的方程是 9x +25y =225, (1) 将其化为标准方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___. (3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里. 椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率 e=_____,两个焦点分别是_______、______, 四个顶点分别是______、______、______、_______. 例 2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于 20,离心率等于 0.6 例 3 点 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ? 的轨迹. (教师分析——示范书写) 例 4、如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲 面) 的一部分。过对称轴的截口 ABC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片 门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点 F2。已知 AC?F1F2,|F1A|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm,求截口 ABC 所在椭圆的方程。 三、课堂练习:
-42 2

25 4 的距离之比是常数 ,求点 M 4 5

①比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? ⑴ 9 x2 ? y 2 ? 36 与 因) ②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点 P ?2 2, 0 , Q 0, 5

x2 y 2 ? ?1 16 12

⑵ x2 ? 9 y 2 ? 36 与

x2 y 2 ? ? 1 (学生口答,并说明原 6 10

?

? ?

?

⑵长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P ? 3,0? ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0.8 (学生演板,教师点评) 焦点在 x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.

四、小结 (1)理解椭圆的简单几何性质,给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率; (2)了解离心率变化对椭圆形状的影响; (3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法. 五、布置作业

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