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安徽省安庆五校联盟2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


安庆市“五校联盟”2015~2016 学年度第一学期期中考试 高二数学试题
命题人:崔新年 国春霞 鲍成航 殷学锋 朱贤良 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.圆心为 (1,1) 且过原点的圆的方程是( A.
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

) B.
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

C.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 2.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ) ,则下列 说法不正确的是( )

A.若这组样本数据分别是 (1,1),(2,1.5),(4,3),(5, 4.5) , 则其回归直线 $ y ?$ bx ? $ a 必过点 (3, 2.5) B.若求得回归方程为 $ y ? 0.85x ? 85.71 ,则 y 和 x 具有正的线性相关关系 C.若求得回归方程为 $ y ? 0.85x ? 85.71 ,则 x 每增加 1 个单位, y 大约增加 0.85 个单位 D.若求得回归方程为 $ y ? 0.85x ? 85.71 ,且变量 x ? 170 ,则变量 y 必定为 58.79 3. 给出下列流程图,欲输出给定两实数 a , b 中的较小的数,则判断框中应填 ( ) B. a ≥ b ? C. a ? b ? D. a ? b ? )

A. a ? b ?

4.在区间 [ ?2,3] 上随机选取一个数 X ,则 X ≤ 1 的概率为( A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

5.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交于 P,Q 两点,且 ?POQ ? 120? (其中 O 为原点) ,则 k 的值为( A. 2 B. 3 ) C. ? 2 或 2 D. ? 3 或 3

6.从装有 5 只红球、5 只白球的袋中任意取出 3 只球,关于下列四组事件:①“取出 2 只红 球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球”; ②“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取

出 3 只红球”;③“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只白球”;④“取出 3 只 红球”与“取出 3 只白球”.其中是对立事件的是( A.①② B.②③ C.③④ D.③ ) )

7.已知 A(1, ?2,11) , B(4, 2,3) , C (6, ?1, 4) 为三角形的三个顶点,则 ?ABC 是( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形

8.①学校需在高二年级的学号为 001~800 的学生中抽调 20 人参加关于学校管理工作的综合 座谈;②一次高二数学竞赛中,某班有 10 人在 110 分以上,40 人在 90~100 分,12 人低 于 90 分.现在从中抽取 12 人了解有关情况;③学校某班 60 名学生参加 2016 元旦聚会, 要产生 3 名“幸运之星”.关于这三件事,合适的抽样方法为( A.分层抽样,系统抽样,简单随机抽样 抽样 C.分层抽样,简单随机抽样,系统抽样 抽样 9.如图, a, b, c, d , e 是处于断开状态的开关,任意闭合两个,则电路被接通的 概率是( A. ) B. D.系统抽样,分层抽样,简单随机 )

B.简单随机抽样,分层抽样,系统

2 5

3 20

C.

3 5

D.

3 10

10.某教研机构随机抽取某校 20 个班级,调查各班关注汉字听写大 赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图,以组距为 5 将数据分组 成 [0,5),[5,10),[10,15),[15, 20),[20, 25),[25,30),[30,35),[35, 40] 时, 所 作的频率分布直方图如图所示,则原始茎叶图可能是( )

11. 我市某机构为调查 2015 年中学生参加体育活动的情况, 设平均每人每天参加 体育锻炼时间 X(单位:分钟),按锻炼时间分下列四种情况统计:①0~10 分 钟;②11~20 分钟;③21~30 分钟;④30 分钟以上,有 10000 名中学生参加 了此项活动,如图所示是此次调查中某一项的算法框图,其输出的结果是 6200 , 则平 均 每天 参 加体 育 锻 炼时 间在 0 ~ 20 分 钟 内 的学 生 的频 率 是 ( A.0.62 ) B.0.38 C.6200 D.3800

12.已知圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上 的动点, P 为 y 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 26 ? 3 B. 5 2 ? 4 C. 5 ? 2 2 ) D. 17 ? 1

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数据的标准 差为______ _. .

14.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为

15.如图所示,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可按下面方法 估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个 点落入 M 中,则 M 的面积 的估计值为

m ? S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并 n
向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,则落入 M 中的 点的数目是 16 . 已 知 圆
C

. 方 程 为

? x ? 1?

2

? ? y ? 2? ? 25
2

, 直 线

l

方 程 为

? 2m ? ? 1 x??
程_ _.

m ? ?1

y?7 ?R ?? 4, 则直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时直线 l 的一般方 ?mm

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人 民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 时间代号 x 储蓄存款 y (千亿元) 2010 1 4 2011 2 6 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10

? ?$ (Ⅰ)运用最小二乘法原理,求 y 关于 x 的回归直线方程 y bx ? $ a;
(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区 2015 年( x ? 6 )的人民币储蓄存款.

? ?$ 附:回归直线 y b? bx ? $ a 中, $

?? x
n i ?1

i

? x yi ? y
i

??

? ? x y ? nx y
n

?? x
n i ?1

?x

?

2

?

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2

i

? nx

2

,$ a ? y ?$ bx .

18.(本题满分 12 分)已知圆心为 C 的圆经过三个点 O(0,0), A(1,3), B(4,0) . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)求过点 P(3,6) 且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程.

19.(本题满分 12 分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况,从 这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼,称得每条鱼的质量(单 位:千克),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示). (Ⅰ)根据频率分布直方图,估计数据落在[1.15,1.30)中的概率 为多少; (Ⅱ)将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库,几天后再从水库的多处不同位 置捕捞出 120 条鱼,其中带有记号的鱼有 6 条,请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条 数.

20.(本题满分 12 分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1, 2,3 ,这三张卡片除标记 的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次 记为 a , b, c . (Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率; (Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字 a , b, c 不完全相同”的概率.

2 21.(本题满分 12 分)已知以点 C(t , )(t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A ,与 y 轴交于 t
点 O, B ,其中 O 为原点. (Ⅰ)求证: ?OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程.

22.(本题满分 12 分)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 和定点 A(2,1) ,由圆 O 外一点 P(a, b) 向圆 O 引切 线 PQ ,切点为 Q ,且满足 | PQ |?| PA | . (Ⅰ)求实数 a、b 间满足的等量关系; (Ⅱ)求线段 PQ 长的最小值; (Ⅲ)若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时圆 P 的方程.

安庆市“五校联盟”2015~2016 学年度第一学期期中考试 高二数学答案
1-12:CDAB DDAD CABA 13.
4 5 . 5

14. 3 .

15. 2500 .

16. 2 x ? y ? 5 ? 0 .

20. (Ⅰ) 由题意,(a, b, c) 所有可能的取值为 (1,1,1) , (1,1, 2) ,(1,1,3) ,(1, 2,1) ,(1, 2, 2) ,(1, 2,3) , (1,3,1) ,(1,3, 2) ,(1,3,3) ,(2,1,1) ,(2,1, 2) ,(2,1,3) ,(2, 2,1) ,(2, 2, 2) ,(2, 2,3) ,(2,3,1) ,(2,3, 2) , (2,3,3) , (3,1,1) , (3,1, 2) , (3,1,3) , (3, 2,1) , (3, 2, 2) , (3, 2,3) , (3,3,1) , (3,3, 2) , (3,3,3) ,共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”为事件 A ,则事件 A 包括 (1,1, 2) ,(1, 2,3) ,(2,1,3) , 3 1 共 3 种,故“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率为 P( A) ? ? . 27 9 (Ⅱ) 设 “抽取的卡片上的数字 a , b, c 不完全相同” 为事件 B , 则其对立事件 B 包含 (1,1,1) ,
(2, 2, 2) 与 (3,3,3) 三 种 情 况 , 故 “ 抽 取 的 卡 片 上 的 数 字 a , b, c 不 完 全 相 同 ” 的 概 率 为

P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

3 8 ? . 27 9


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