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安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷


安庆一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(文科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.) 1.抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标是(
2

) C. ( , 0)

A. (0, )

1 4

B. (0, )

1 8

1 8

D. ( , 0)

1 4

2.若椭圆 ( )

x2 y2 x2 y2 1 的离心率为 ,则双曲线 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的渐近线方程为 2 a2 b2 a2 b2

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ? 3 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

3.设 f ? x ? ? x ln x ,若 f ? ? x0 ? =2,则 x0 =( ) A.e
2

B.e

C.

ln 2 2

D.ln 2 )

4. 设 F1 (-4, 0) , F2 (4, 0) 为定点, 动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8, 则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 ) C.圆 D.线段

5.下列命题中正确的是(

A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 B.“ a ? 0 , b ? 0 ”是“

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b

C .命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 D.命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0

6. 若曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 4 x ? y ? 1 ? 0 , 则点 P0 的一个坐标是
3

(

) B. (1,1) C. (?1, ?4) D. (1, 4)

A. (0, ?2)

7.已知 R 上的可导函数 f ? x ? 的图象如图所示,则不等式 x 2 ? 2 x ? 3 f ? ? x ? ? 0 的解集为 ( )
1

?

?

A. ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ?

B. ? ??, ?2 ? ? ?1, 2 ? 错误!未找到引用源。 错

C. 未找到引用源。 D. ? ??, ?1? ? ? ?1, 0 ? ? ? 2, ?? ? 错误! ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ? 3, ?? ? 误!未找到引用源。

→ → 2 8.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA·AF=-4,则点

A 的坐标为(
A.(2,±2 2)

) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2 2)

9.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c.若 d1, 2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( 3 A. 4 B. 2 2 ) C. 3 2 1 D. 2

x a

2

y b

2

10.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2| 4 5 → → =|F1F2|,则PF1·PF2等于( A.24 B.48 ) C.50 D.56

x2 y2

11 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 为 y ? f ?( x) , 当 x ? 0 时 ,

f ?( x) ?

f ( x) 1 1 1 1 ? 0 ,若 a ? f ( ) , b ? ?2 f (?2) , c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小 x 2 2 2 2
) B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? a ? b

关系正确的是( A. a ? c ? b

x2 y 2 12.设 F1 , F2 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是 C 的右支上的 a b
点,射线 PT 平分 ?F1 PF2 ,过原点 O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M ,若 | MP |? 则 C 的离心率为( A. ) B.3 C. 2 D. 3

1 | F1 F2 | , 3

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确的答案填在答题卡的相应位
2

置上) 13.已知命题 p : ?x ? R , ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 .若命题 ? p 是真命题,则实数 a 的取值范 围是 .

14.函数 f ( x) ?

1 3 1 4 x ? x 在区间 (0,3) 上的极值点为________. 3 4
x2 y2 ? ? 1 上 一 点 , 满 足 PF1 ? PF2 , 且 a2 b2


15 . 若 点 P 是 以 F1 , F2 为 焦 点 的 双 曲 线

PF1 ? 2 PF2 ,则此双曲线的离心率为

16. 已 知 f ? x ? 为 定 义 在 ? 0, ?? ? 上 的 可 导 函 数 , 且 f ? x ? ? xf ? ? x ? , 则 不 等 式

?1? x 2 f ? ? ? f ? x ? ? 0 的解集为 ?x?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知命题 p :实数 m 满足 m 2 ? 7 am ? 12a 2 ? 0 (a ? 0) ,命题 q : 实数 m 满足方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,若 ?q 是 ?p 的充分不必要条 m ?1 2 ? m

件,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 10 分)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为

F(? 3 ,0 ) ,且过点 D( . 2,0 )
(1)求该椭圆的标准方程; (2)设点 A( ,若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程. 1 ,)

1 2

19. (本小题满分 12 分)已知椭圆 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0,4) ,离心率为 ; 2 a b 5

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

3

20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,设动点 P 到定点 F (1,0) 的距离与到定直线

l : x ? ?1 的距离相等,记 P 的轨迹为 ? .又直线 AB 的一个方向向量 d ? (1,2) 且过点
(1,0) , AB 与 ? 交于 A、B 两点,求 | AB | 的长.
21. (本小题满分 13 分)如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1、F2 分别 π 为左、右焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线 3 的离心率为 2,求该双曲线的方程.

22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ?

1 . ? a ln x ( a ? 0 , a ? R ) x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值和单调区间; (2)若在区间 ? 0, e ? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数 a 的 取值范围.

4

高二文科数学答案 一、 选择题 1-5BABDD 6-10CDBDC 二、 填空题 13 16 三、 [0,1) 14 1 15 11-12AA

5

? x 0 ? x ? 1?
2

解答题
2

m ? 7am ? 12a ? 0(a ? 0) ,则 3a ? m ? 4a ,即命题 p : 3a ? m ? 4a 17、由
x2 y2 ? ?1 由 m ?1 2 ? m 表示焦点在 y 轴上椭圆可得: 2 ? m ? m ? 1 ? 0 ,
1? m ?


3 3 q :1 ? m ? 2, 2 即命题

由 ?q 是 ?p 的充分不必要条件, 则 p 是 q 的充分不必

?3a ? 1 ? ? 3 4a ? ? 2 要条件,从而有: ?

1 3 ?a? 8 ∴3

18、 (1)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

3 ,则半短轴 b ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1. 4

(x0 , y0 ) (2)设线段 PA 的中点为 M(x , y) ,点 P 的坐标是 ,
x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? ? 由? 1 ,得 ? 1, y0 ? y0 ? 2 y ? ? ? 2 2 ? ?y ? 2 ?
由点 P 在椭圆上,得
2 ( 2x ? 1 ) 1 2 ? ( 2y ? ) ? 1 , ∴ 线 段 PA 中 点 M 的 轨 迹 方 程 是 4 2

1 2 1 2 (x ? ) ?4 (y ? ) ? 1. 2 4
19、 (1)因为椭圆经过点 A,所以 b=4.

5

又因离心率为

c 3 b2 9 3 ,所以 ? ?1 ? 2 ? ?a ? 5 a 5 a 25 5

所以椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 25 16 x2 y2 4 ? ? 1 ,得 ( x ? 3) ,并将其代入椭圆方程 5 25 16

( 2 )依题意可得,直线方程为 y ?

x2 ? 3x ? 8 ? 0 .
设直线与椭圆的两个交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得, x1 ? x2 ? 3 ,

x1 ? x2 3 6 ? ,并将其代入直线方程得, y ? ? 2 2 5 3 6 故所求中点坐标为 ( ,? ) . 2 5
所以中点横坐标为 20、解 为 由抛物线的定义知,动点 P 的轨迹 ? 是抛物线,方程 y ? 4 x . 直线 AB 的方程
2

x ?1 y ? ,即 y ? 2 x ? 2 . 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) , y ? 2 x ? 2 代入 y 2 ? 4 x ,整 1 2

理,得

x 2 ? 3x ? 1 ? 0 .

所以 | AB |? 2 ? x1 ? x 2 ? 5 .

x2 y2 21、 设双曲线的方程为 2- 2=1,∴F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). a b
π 2 2 2 在△PF1F2 中,由余弦定理,得|F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|·|PF2|·cos 3 =(|PF1|-|PF2|) +|PF1|·|PF2|,即 4c =4a +|PF1|·|PF2|. 1 π 又∵S△PF1F2=2 3,∴ |PF1|·|PF2|·sin =2 3.∴|PF1|·|PF2|=8. 2 3
2 2 2

c 2 3x y 2 2 2 2 ∴4c =4a +8,即 b =2.又∵e= =2,∴a = .∴所求双曲线方程为 - =1. a 3 2 2
22、(1)当 a ? 1 , f ? ? x ? ? ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 , 又 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ,由 f ? ? x ? ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 , 所以 x ? 1 时, f ? x ? 有极小值为 1 .

2

2

1 1 x ?1 ? ? 2 , x2 x x

f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,1? .
6

(2) f ? ? x ? ? ?

1 a ax ? 1 1 ? ? 2 ,且 a ? 0 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得到 x ? ,若在区间 ? 0, e? 上 2 x x x a

存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,即 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值小于 0 .

1 ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立,即 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, a 1 1 故 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a , e e
当x? 由

1 1 1? ? ? a ? 0 ,得 a ? ? ,即 a ? ? ??, ? ? . e e e? ?

1 ? 0 ,即 a ? 0 时, a 1 ①若 e ? ,则 f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, e ? 成立,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递减, a 1 1 则 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a ? 0 , e e
当x? 显然, f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值小于 0 不成立 ②若 0 ?

1 1 ? e ,即 a ? 时,则有 a e

x
f ?? x?
f ? x?

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? ,e? ?a ?

?
?

0
极小值

?
?

所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 f ?

1 ?1? ? ? a ? a ln , a ?a?

由f?

1 ?1? ? ? a ? a ln ? a ?1 ? ln a ? ? 0 ,得 1 ? ln a ? 0 ,解得 a ? e ,即 a ? ? e, ?? ? . a ?a? ? ? 1? e?

综上,由①②可知: a ? ? ??, ? ? ? ? e, ?? ? 符合题意

7


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